淺談《計(jì)算方法》課程教學(xué)方法的創(chuàng)新與實(shí)踐

粟一凡 陸汛 王祝君

摘要：?隨著信息化時(shí)代的到來，計(jì)算方法已經(jīng)成為了現(xiàn)代社會中不可或缺的一部分。然而，傳統(tǒng)的計(jì)算方法課程在教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)方法和實(shí)踐環(huán)節(jié)上存在一些不足之處，難以滿足學(xué)生的需求和現(xiàn)代社會對計(jì)算能力的要求。本文提出了一種基于引入實(shí)際應(yīng)用案例、增強(qiáng)編程實(shí)踐內(nèi)容、開展多元化教學(xué)的計(jì)算方法課程教學(xué)改革方案。通過這些改革措施，我們可以更好地提高計(jì)算方法課程的教學(xué)效果，培養(yǎng)學(xué)生的實(shí)際應(yīng)用能力和創(chuàng)新意識，為他們未來的工作和學(xué)習(xí)打下更堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

關(guān)鍵詞：計(jì)算方法；實(shí)際應(yīng)用案例；編程實(shí)踐；多元化教學(xué)；教學(xué)創(chuàng)新

中圖分類號：G642????????文獻(xiàn)標(biāo)識碼：?A

隨著信息化時(shí)代的到來，《計(jì)算方法》課程在大多數(shù)院校已經(jīng)成為理工科學(xué)生的基礎(chǔ)必修課，計(jì)算方法又稱數(shù)值計(jì)算方法或數(shù)值分析[1]，湖南工程學(xué)院（以下簡稱“我?！保┳鳛橐凰こ虘?yīng)用型本科院校，在材料成型、機(jī)械設(shè)計(jì)、機(jī)械電子、焊接技術(shù)、信息與計(jì)算科學(xué)等理工科專業(yè)均開設(shè)了《計(jì)算方法》。計(jì)算方法是一門旨在用數(shù)學(xué)方式來解決具有實(shí)際應(yīng)用背景的數(shù)學(xué)問題的課程，為學(xué)生提供了數(shù)值計(jì)算和科學(xué)計(jì)算的基礎(chǔ)知識。該課程主要研究給定數(shù)學(xué)問題的數(shù)值解的方法，內(nèi)容包含數(shù)值逼近、數(shù)值微積分、數(shù)值代數(shù)、直接法求解線性方程組、迭代法求解線性方程組、矩陣的特征值和特征向量、微分方程數(shù)值解和數(shù)值優(yōu)化等，在航空航天、汽車制造、天氣預(yù)報(bào)、金融等方面有著廣泛的應(yīng)用[2]。計(jì)算方法課程著力于培養(yǎng)學(xué)生在數(shù)學(xué)理論、編程實(shí)踐、實(shí)際應(yīng)用等方面的能力，其重要性不言而喻，因此，計(jì)算方法的課程教學(xué)也需要不斷地改革和創(chuàng)新。本文將以計(jì)算方法的教學(xué)大綱為出發(fā)點(diǎn)，以提高學(xué)生解決問題的能力為落腳點(diǎn)，探索新的教學(xué)改革方法，合理運(yùn)用現(xiàn)代化教學(xué)手段，全面提升計(jì)算方法課程的教學(xué)效果，提高學(xué)生的培養(yǎng)質(zhì)量。

• 計(jì)算方法課程特點(diǎn)與現(xiàn)狀

計(jì)算方法是一門實(shí)用性很強(qiáng)的課程，其內(nèi)容覆蓋面廣，在有限的課時(shí)內(nèi)，教師往往無法同時(shí)兼顧理論教學(xué)和實(shí)踐計(jì)算[3]。根據(jù)我校的《計(jì)算方法》課程大綱，該課程主要面向大二的工科學(xué)生，只有32課時(shí)的理論課，因此，大多數(shù)老師僅注重?cái)?shù)值方法的數(shù)學(xué)相關(guān)理論和公式的推導(dǎo)，忽視了學(xué)生實(shí)踐能力的培養(yǎng)，難免會出現(xiàn)“重理論輕實(shí)踐”的現(xiàn)象[4]；而學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中被動地接受知識，可能會覺得數(shù)學(xué)理論枯燥無味，學(xué)習(xí)興趣不高，沒有主動實(shí)踐，知識無法融會貫通，導(dǎo)致該課程最終的教學(xué)效果未達(dá)到預(yù)期的理想。

因此，我們認(rèn)為在《計(jì)算方法》課程教學(xué)中，要突出重點(diǎn)、以主帶次、培養(yǎng)意識、強(qiáng)化應(yīng)用，以教授學(xué)生學(xué)會正確選擇計(jì)算對象的計(jì)算方法為前提，領(lǐng)會計(jì)算原理和掌握計(jì)算的邏輯結(jié)構(gòu)為主干線，淡化數(shù)學(xué)理論部分的證明[5]，強(qiáng)化數(shù)值方法與計(jì)算機(jī)技術(shù)的應(yīng)用能力訓(xùn)練，著重講授典型的、具有代表性的常用算法和理論[6]。

• 教學(xué)改革創(chuàng)新與實(shí)踐

針對《計(jì)算方法》的課程特點(diǎn)和目前的現(xiàn)狀，為了提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，增強(qiáng)學(xué)生的實(shí)踐能力，使課程教學(xué)達(dá)到良好的效果，我們認(rèn)為可以通過對《計(jì)算方法》課程進(jìn)行教學(xué)改革創(chuàng)新和實(shí)踐，具體從以下幾點(diǎn)入手。

（一）引入實(shí)際應(yīng)用案例

我校機(jī)械工程學(xué)院的大二學(xué)生都需要學(xué)習(xí)《計(jì)算方法》這門課，因此我們可以將計(jì)算方法在機(jī)械工程領(lǐng)域中的實(shí)際應(yīng)用在課堂上與學(xué)生講一講。以下是其中一些例子：

1.結(jié)構(gòu)分析

計(jì)算方法可以用于分析機(jī)械結(jié)構(gòu)得應(yīng)力、應(yīng)變、位移等參數(shù)，以評估結(jié)構(gòu)的可靠性和安全性。例如用有限元法計(jì)算各種機(jī)械結(jié)構(gòu)的應(yīng)力和變形，該方法將結(jié)構(gòu)分割成許多小的有限元素，并對每個(gè)元素進(jìn)行力學(xué)分析，然后將所有元素的分析結(jié)果合并，形成整個(gè)結(jié)構(gòu)得應(yīng)力和變形分析結(jié)果，評估結(jié)構(gòu)得安全性和可靠性，并優(yōu)化結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)。

2.流體力學(xué)

計(jì)算方法可以用于分析機(jī)械系統(tǒng)中的流體運(yùn)動和傳熱，例如空氣動力學(xué)、燃燒和熱傳導(dǎo)等，通過數(shù)值模擬，可以預(yù)測流體的流動和傳熱特性，從而優(yōu)化機(jī)械系統(tǒng)的設(shè)計(jì)和性能。

3.動力學(xué)模擬

計(jì)算方法可以用于模擬機(jī)械系統(tǒng)的動態(tài)行為，例如機(jī)器人、汽車、船舶等等，通過數(shù)值模擬，可以預(yù)測系統(tǒng)的響應(yīng)、穩(wěn)定性和控制性能，從而優(yōu)化系統(tǒng)設(shè)計(jì)和控制策略。

4.模擬優(yōu)化

計(jì)算方法可以用于優(yōu)化機(jī)械系統(tǒng)的設(shè)計(jì)和性能，例如遺傳算法可以用于尋找機(jī)械系統(tǒng)的最優(yōu)設(shè)計(jì)，而模擬退火算法可以用于尋找機(jī)械系統(tǒng)的最優(yōu)控制策略。

5.控制系統(tǒng)

計(jì)算方法可以用于設(shè)計(jì)機(jī)械系統(tǒng)的控制器，例如PID控制器和模糊控制器等。通過數(shù)值模擬，可以評估控制器的性能和穩(wěn)定性，從而優(yōu)化控制策略和提高系統(tǒng)的控制精度。

這些只是計(jì)算方法在機(jī)械工程領(lǐng)域中的一部分應(yīng)用案例。計(jì)算方法在機(jī)械工程領(lǐng)域的應(yīng)用范圍非常廣泛，涵蓋了結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)、動力學(xué)模擬、流體力學(xué)、優(yōu)化設(shè)計(jì)和控制系統(tǒng)等多個(gè)方面，對于推動機(jī)械工程領(lǐng)域的研究和發(fā)展具有重要的作用。當(dāng)然，計(jì)算方法在其他領(lǐng)域內(nèi)同樣有著廣泛的應(yīng)用，所以我們在教學(xué)時(shí)適當(dāng)引入實(shí)際應(yīng)用案例，對提高學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性和主觀能動性是非常有幫助的。

（二）增加編程實(shí)踐內(nèi)容

在現(xiàn)代科技和工業(yè)生產(chǎn)中，計(jì)算機(jī)編程已經(jīng)成為必備的技能之一。因此，在計(jì)算方法教學(xué)中增加編程內(nèi)容可以幫助學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)原理，并掌握實(shí)際應(yīng)用的技能?？梢赃x擇使用流行的編程語言如Python、MATLAB等，讓學(xué)生編寫簡單的程序進(jìn)行數(shù)值計(jì)算。

圖1和圖2是以微積分?jǐn)?shù)值積分為例，用MATLAB編寫程序來計(jì)算某個(gè)函數(shù)的定積分。圖1提供了用MATLAB編寫的數(shù)值積分函數(shù)，在這段代碼中，我們定義了一個(gè)名為numerical_integration的函數(shù)，它接受四個(gè)輸入?yún)?shù)，分別是被積函數(shù)f、積分區(qū)間的左右端點(diǎn)a和b，以及分段數(shù)N。在函數(shù)體內(nèi)，我們首先計(jì)算每個(gè)小區(qū)間的長度h，然后計(jì)算每個(gè)小區(qū)間的中點(diǎn)x，并使用被積函數(shù)計(jì)算每個(gè)小區(qū)間的積分值y。最后，我們對所有小區(qū)間的積分值y求和，得到數(shù)值積分的結(jié)果I。使用這個(gè)函數(shù)可以很方便地計(jì)算任意函數(shù)的數(shù)值積分，例如我們需要計(jì)算函數(shù)在區(qū)間上的數(shù)值積分，在MATLAB編輯框中輸入：f=@（x）x.^2;a=0;b=1;N=1000;I=numerial_integration（f，a，b，N）即可得到數(shù)值解為I=0.3333。通過編寫程序，可以幫助學(xué)生更好地理解數(shù)值積分的原理和實(shí)現(xiàn)方法，并鍛煉了學(xué)生的編程能力。

圖2和圖3展示了一個(gè)用MATLAB進(jìn)行多項(xiàng)式插值的例子。假設(shè)我們有一些數(shù)據(jù)，需要使用多項(xiàng)式插值方法來估計(jì)一些未知點(diǎn)的值，圖2是一個(gè)MATLAB程序的示例，在這個(gè)程序中，我們首先定義了一些數(shù)據(jù)點(diǎn)，每個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)存儲在x和y變量中。接下來，我們使用polyfit函數(shù)來進(jìn)行多項(xiàng)式插值。在這個(gè)例子中，我們使用一個(gè)三次多項(xiàng)式進(jìn)行插值，因此polyfit函數(shù)的第三個(gè)參數(shù)是3。polyfit函數(shù)返回一個(gè)多項(xiàng)式系數(shù)向量p，它的長度為4，因?yàn)槲覀兪褂萌味囗?xiàng)式進(jìn)行插值。然后，我們定義了一些新點(diǎn)，使用linspace函數(shù)生成一個(gè)從-2到3的均勻網(wǎng)格，并將其存儲在x_new變量中。接下來，我們使用polyval函數(shù)來計(jì)算新點(diǎn)的值，將結(jié)果存儲在y_new變量中。最后，我們使用plot函數(shù)來繪制數(shù)據(jù)點(diǎn)和插值曲線。如圖3所示，該圖清楚地描繪了我們已給的數(shù)據(jù)點(diǎn)和所求的3次多項(xiàng)式插值曲線，這條插值曲線過給定點(diǎn)，即在給定點(diǎn)上的誤差為0。通過這個(gè)例子，學(xué)生可以更形象地知道多項(xiàng)式插值的過程和結(jié)果，不僅鍛煉了學(xué)生的動手能力，而且進(jìn)一步鞏固了所學(xué)的知識。

（三）開展多元化的教學(xué)

傳統(tǒng)的數(shù)值計(jì)算方法課程在教學(xué)上存在一些問題，如教學(xué)內(nèi)容和方法的單一性、理論和實(shí)踐的脫節(jié)等。因此，我們可以采用多元化的教學(xué)方式，針對學(xué)生不同的學(xué)習(xí)風(fēng)格，可以通過課堂講授、小組討論、實(shí)驗(yàn)演示等不同的教學(xué)方法，讓學(xué)生更好地理解和掌握計(jì)算方法的原理和技能。例如，在數(shù)值微分的教學(xué)中，可以讓學(xué)生自己動手設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)，通過實(shí)驗(yàn)來比較不同的數(shù)值微分方法的優(yōu)缺點(diǎn)，并結(jié)合小組討論來分享彼此的實(shí)驗(yàn)結(jié)果和經(jīng)驗(yàn)。下面簡單介紹小組討論的一些具體操作步驟：

（1）分組：將學(xué)生分成小組，每組人數(shù)不宜過多，一般建議4-6人為宜?？梢愿鶕?jù)學(xué)生的興趣、專業(yè)、能力等因素來組成小組。

（2）主題：確定小組討論的主題，一般可以選取數(shù)值計(jì)算方法中的一個(gè)具體問題或應(yīng)用場景，如求根、插值、微積分和線性代數(shù)等。

（3）材料：為小組提供相應(yīng)的材料，如教材、參考書、論文等，讓學(xué)生可以有足夠的材料來準(zhǔn)備和討論。

（4）時(shí)間：為小組討論設(shè)置足夠的時(shí)間，一般建議在課堂內(nèi)安排30-45分鐘，或者在課后安排1-2小時(shí)，讓學(xué)生可以有足夠的時(shí)間來深入討論和交流。

（5）組織：在小組討論期間，教師可以在旁邊進(jìn)行指導(dǎo)和監(jiān)督，鼓勵學(xué)生互相交流和討論，提高學(xué)生的思維能力和溝通能力。

（6）總結(jié)：小組討論結(jié)束后，可以安排一定時(shí)間來匯報(bào)和總結(jié)各組的討論成果，讓學(xué)生可以互相學(xué)習(xí)和分享。

在小組討論中，學(xué)生可以互相討論和交流，共同探討數(shù)值計(jì)算方法的應(yīng)用和實(shí)現(xiàn)過程，從而提高自己的學(xué)習(xí)效果和能力水平。同時(shí)，小組討論也可以促進(jìn)學(xué)生之間的交流和合作，增強(qiáng)學(xué)生的團(tuán)隊(duì)意識和合作能力。因此，采用多樣化的教學(xué)手段可以滿足不同學(xué)生的學(xué)習(xí)需求和興趣，讓學(xué)生在不同的教學(xué)環(huán)境中學(xué)習(xí)計(jì)算方法，提高課堂互動，發(fā)揮學(xué)生的主動性，讓學(xué)生積極參與課程學(xué)習(xí)。結(jié)語

在數(shù)值計(jì)算方法課程的教學(xué)改革中，我們深刻認(rèn)識到傳統(tǒng)的教學(xué)方式已經(jīng)無法滿足現(xiàn)代學(xué)生的需求，因此，必須進(jìn)行適應(yīng)時(shí)代變化的改革。通過引入新的教學(xué)方法和技術(shù)，如引入實(shí)際應(yīng)用案例、增加編程實(shí)踐內(nèi)容和開展多元化教學(xué)等，可以更好地激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高課程的教學(xué)效果。此外，我們還應(yīng)該加強(qiáng)與工業(yè)界的聯(lián)系，讓學(xué)生更加深入地了解數(shù)值計(jì)算方法在實(shí)際工程中的應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生解決實(shí)際問題的能力。另外，課程內(nèi)容也需要不斷更新和完善，以適應(yīng)不斷變化的科技和工業(yè)領(lǐng)域的需求?？傊?，數(shù)值計(jì)算方法課程教學(xué)改革是一個(gè)不斷迭代、不斷探索的過程，我們需要不斷跟進(jìn)時(shí)代的變化，積極探索新的教學(xué)方式和內(nèi)容，為培養(yǎng)具有創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力的優(yōu)秀人才做出貢獻(xiàn)。

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基金項(xiàng)目：2021年度湖南省普通高等學(xué)校教學(xué)改革研究項(xiàng)目“《計(jì)算方法》的科研融入式教學(xué)與數(shù)學(xué)軟件實(shí)踐”（編號：HNJG-2021-0845）；2019年度湖南省自然科學(xué)青年基金項(xiàng)目“Maxwell方程的高效計(jì)算方法及其在光子學(xué)中的應(yīng)用”（編號：2019JJ50611）；2021年度湖南省教育科學(xué)“十四五”規(guī)劃年度立項(xiàng)課題“基于人工智能算法的大學(xué)生學(xué)習(xí)倦怠預(yù)警與干預(yù)研究”（編號：XJK21BGD032-ND214029）

作者簡介：陸汛（1986—??），男，漢族，江蘇新沂人，博士，湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院，副教授，碩士生導(dǎo)師，主要從事麥克斯韋方程及其應(yīng)用方面的研究；王祝君（1972—?），女，漢族，湖南邵陽人，博士，湖南工程學(xué)院計(jì)算科學(xué)與電子學(xué)院，教授，碩士生導(dǎo)師，主要從事最優(yōu)化理論與方法方面的研究。

*通訊作者：粟一凡（1988—??），女，漢族，湖南湘潭人，博士，講師，碩士生導(dǎo)師，主要從事偏微分方程數(shù)值解方面的研究。