張偉偉

（濰坊學院 數(shù)學與信息科學學院，山東 濰坊 261061）

《復變函數(shù)論》課程是數(shù)學與應用數(shù)學專業(yè)學生的專業(yè)主干課程，是數(shù)學分析課程的深入與延續(xù)，也是實變函數(shù)、泛函分析等后續(xù)課程的理論基礎，同時該課程也是研究生階段復分析方向的基礎先行課程。課程的主要內容為復數(shù)與復變函數(shù)、解析函數(shù)、復變函數(shù)的積分、解析函數(shù)的冪級數(shù)表示法、解析函數(shù)的洛朗展式與孤立奇點、留數(shù)理論及其應用、共形映射等。

復變函數(shù)這門課的高度抽象性和復雜性又使其比較難與思政內容相結合，這就需要專任教師深入透徹把握課程知識，在教學過程中恰當挖掘能與思政元素有機結合的切入點，讓思政元素自然的隱性的融入到課堂教學，力求思政元素和教學內容做到無痕對接，產(chǎn)生“潤物無聲”的效果。本文以鐘玉泉編寫的《復變函數(shù)論》[1]這本教材為例，結合教學內容，深入挖掘課程中的思政元素，為復變函數(shù)課程的思政教學改革提供支撐材料。近年來，有關復變函數(shù)思政元素挖掘的文章也出現(xiàn)了一些[2-3]，但僅涉及到課程中的部分知識點，本文從不同的知識點入手，結合多年教學經(jīng)驗，深入挖掘其中的思政元素。

1 構造解析函數(shù)所蘊含的思政元素

復變函數(shù)這門課程的主要研究對象是解析函數(shù)，解析函數(shù)的實部和虛部滿足柯西-黎曼方程,利用解析函數(shù)有任意階導數(shù)的特性,可以證明它們還滿足拉普拉斯方程,即為調和函數(shù)。調和函數(shù)在流體力學、電磁場理論、控制論等學科中有重要應用。解析函數(shù)與調和函數(shù)有密切的聯(lián)系,調和函數(shù)的許多重要性質是由解析函數(shù)所得,而解析函數(shù)的實際應用要以調和函數(shù)為橋梁。

解析函數(shù)的實部和虛部都是調和函數(shù)，由調和函數(shù)構造解析函數(shù)的方法主要有三種，分別是線積分法、偏積分法和原函數(shù)法。我們以已知實部u，找解析函數(shù)為例，比較分析這三種方法的異同，線積分法的思路是先求出虛部v 的全微分，然后通過曲線積分把v 求解出來，最后再和實部u 結合得到解析函數(shù)。偏積分法的思想是先求出虛部v 的偏導數(shù)，再通過對偏導數(shù)求偏積分把v 求解出來，最后和實部u 結合得到解析函數(shù)。原函數(shù)法的思想是直接去求解析函數(shù)的導函數(shù)，然后再找導函數(shù)的原函數(shù)，從而得到解析函數(shù)。

我們用這三種方法分別求解同一個例題，根據(jù)解題過程，很明顯的可以看出這三種方法中原函數(shù)法用起來最簡便，為什么呢？深入挖掘一下，我們發(fā)現(xiàn)這三種方法解決問題的思路是不同的，角度也是不同的，線積分法和偏積分法的著眼點在“局部”，已知實部u，缺虛部v，那就先把缺少的那一部分找出來，然后再和實部組合得到整體的解析函數(shù)。然而原函數(shù)法的思路卻是完全不同的，它的著眼點是“整體”，它直接從全局入手，先求的導函數(shù)，然后只需一步不定積分，就可以很容易的把求解出來。

通過這三種方法的比較，我們發(fā)現(xiàn)如果在解決問題的時候眼光放的長遠一點，能夠從整體出發(fā)，從全局考慮，那么問題解決起來可能會事半功倍。事實上，這里面也蘊含著我們的人生智慧， 正所謂“不謀全局者，不足謀一域”。結合數(shù)學與應用數(shù)學專業(yè)的師范性特點，可以引導學生要胸懷天下，構建“大教育格局”。教育為公，以達天下為公，把天下為公看作是教育工作者應該具備的“大德”。引導學生明白教育要有大情懷大格局，成功的教育也需要大格局。

另外，我們發(fā)現(xiàn)雖然利用原函數(shù)法構造解析函數(shù)更簡便，但是它在使用起來卻有個難點，那就是如何把x，y 的表達式表示成z 的形式，如果這個問題解決不了，那么原函數(shù)就很難求出來。這里我們可以給學生拓展一個簡便的方法，即如果解析函數(shù)的解析區(qū)域包含實軸的某一小段的話，可直接令y=0，x=z，則得z 的表達式。要想透徹理解這種方法，就需要解析函數(shù)的惟一性定理，也就是說想掌握好原函數(shù)法，必須要有更豐富更扎實的知識儲備。人生往往也是如此，我們要想看的遠，就必須站的高，正所謂“會當凌絕頂，一覽縱山小”。 借此引導學生要不斷努力學習、不畏艱難、堅持不懈、永攀高峰，只有站的高，才能看的遠，引導學生弘揚偉大的創(chuàng)造精神、偉大的奮斗精神、偉大的夢想精神。結合數(shù)學與應用數(shù)學專業(yè)的師范性特點，引導學生作為未來潛在的人民教師，更應該努力學習、提高自己的本領，才能成為一名合格的人民教師，正所謂學高為師，身正為范。

2 柯西積分定理所蘊含的思政元素

柯西積分定理是復變函數(shù)論的基本定理，也是研究復變函數(shù)論的鑰匙。它揭示了復積分的值與路徑無關的條件與被積函數(shù)的解析性及解析區(qū)域的單連通性有關，并給出了肯定的回答。通過定理內容和證明的講解，教師可以適時引入柯西、古薩等人物的個人事跡，讓學生從這些名人數(shù)學家的故事中汲取精神營養(yǎng)，努力學習，鼓勵學生不畏艱險、敢于創(chuàng)新，引導學生樹立正確的人生觀、價值觀、世界觀。

如果把單連通區(qū)域解析推廣到多連通區(qū)域解析，就得到復周線上的柯西積分定理，這就是推廣之后的柯西積分定理。在講解閉路變形原理的證明時，需要用到“剪一刀”的方法，對多連通區(qū)域剪了一刀之后，就破壞了洞的存在，從而變成了單連通區(qū)域。通過這種方法就可以把多連通區(qū)域的問題轉化為已知的單連通區(qū)域的問題，這里面就蘊含了化歸的思維方法。解決問題就是把未知的問題轉化為已知的問題，借機培養(yǎng)學生的化歸思維，提高和鍛煉學生的數(shù)學思維，進而培養(yǎng)學生用化歸的思維解決問題的能力。

另外，閉路變形原理揭示了解析函數(shù)的一個良好性質，那就是解析函數(shù)沿閉曲線的積分,不因閉曲線在區(qū)域內作連續(xù)變形而改變它的值。在講解該知識點時，教師可以引導學生思考為什么必須是連續(xù)變形？為什么變形的過程中不能遇到奇點呢？奇點的價值和意義在哪？我們會發(fā)現(xiàn)，影響復積分結果的恰恰就是這些特殊的另類的點——奇點。結合奇點的定義，引導學生深入思考奇點的特別之處和重要意義。其實人生也往往如此，如果你想成為那個關鍵點，你就要努力成為與眾不同的點，要獨具一格，有自己的獨特價值，盡量做到讓自己獨一無二、無可替代，否則就僅僅只是無數(shù)個點中普普通通的一個而已，終將成為被替代的那一個。引導學生找到自己身上的閃光點并不斷放大，最終讓自己成為一個自帶光芒的人，引導學生要不斷奮斗、頑強拼搏，培養(yǎng)學生的奮斗精神，激發(fā)學生的內驅力，努力讓每一個學生都發(fā)展成為擁有自己光環(huán)的不可替代的一份子。

3 結束語

在《復變函數(shù)論》這門課程中，思政元素還有很多的挖掘空間，在復變函數(shù)的教學過程中，要結合教學內容，有意識的去思考挖掘思政元素，將課程思政以潛移默化、潤物無聲的融入德育教學之中，使學生在獲得知識的同時，塑造學生品格、品行，實現(xiàn)“知識傳授、能力培養(yǎng)與價值引領”三位一體思考問題和解決問題的能力進行培養(yǎng)，而這種能力的培養(yǎng)的意義遠遠大于直接告訴學生公式的內容。當然對于泰勒公式，要給出一些具體的案例，開拓學生視野，加深對公式內涵的理解，以至于碰到一些難題時，不會感到惘然。