“圓錐曲線”復(fù)習(xí)課教學(xué)設(shè)計(jì)

付秀波

摘? 要：在學(xué)完解析幾何的相關(guān)內(nèi)容后開(kāi)設(shè)章末復(fù)習(xí)課，設(shè)計(jì)的基本思路是：以任務(wù)驅(qū)動(dòng)學(xué)生自主復(fù)習(xí)，在回顧并總結(jié)知識(shí)的過(guò)程中引導(dǎo)學(xué)生歸納概括圓錐曲線的研究方法，在找共性的過(guò)程中逐步明晰解析幾何的基本思想.

關(guān)鍵詞：復(fù)習(xí)課；知識(shí)回顧總結(jié)；方法歸納概括

一、教學(xué)內(nèi)容解析

本節(jié)課是北師大版《普通高中教科書(shū)·數(shù)學(xué)》選擇性必修第一冊(cè)（以下統(tǒng)稱“教材”）第二章“圓錐曲線”的復(fù)習(xí)課. 平面解析幾何的基本思想是把幾何圖形放到平面直角坐標(biāo)系中，用代數(shù)方法研究幾何問(wèn)題，基本方法是坐標(biāo)法. 建立平面直角坐標(biāo)系后，平面上的點(diǎn)可以用坐標(biāo)表示，即將幾何中最基本的元素（點(diǎn)）和有序數(shù)對(duì)（x，y）之間建立一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，從而平面上的一條曲線就可以由含有兩個(gè)變量的代數(shù)方程來(lái)表示. 這樣，我們就可以利用方程來(lái)研究幾何對(duì)象之間的關(guān)系及其本身的幾何性質(zhì). 具體探究過(guò)程如圖1所示.

圓錐曲線是高中平面解析幾何的核心內(nèi)容，也是一類重要的數(shù)學(xué)模型，其研究方法充分體現(xiàn)了解析幾何的基本思想，在天文、物理等領(lǐng)域中同樣占有重要地位，在生產(chǎn)或生活實(shí)際中有著大量應(yīng)用. 圓錐曲線中包含了豐富的數(shù)學(xué)文化內(nèi)容，是進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的內(nèi)在興趣及科學(xué)精神的良好載體.

橢圓、雙曲線和拋物線在定義、研究方法與基本思想方法上有諸多共性，是培養(yǎng)學(xué)生自主復(fù)習(xí)、共同歸納的良好素材. 教材第82頁(yè)的閱讀材料“圓錐曲線的共同特征”中對(duì)圓錐曲線的統(tǒng)一定義及對(duì)極坐標(biāo)系下圓錐曲線統(tǒng)一方程的瞭望，是開(kāi)闊學(xué)生認(rèn)識(shí)、打開(kāi)學(xué)生眼界的良好材料.

二、教學(xué)目標(biāo)設(shè)置

通過(guò)課前自主復(fù)習(xí)、課上展示交流等互動(dòng)學(xué)習(xí)過(guò)程，獲得對(duì)圓錐曲線基礎(chǔ)知識(shí)的進(jìn)一步理解；通過(guò)對(duì)橢圓、雙曲線和拋物線研究方法的歸納，對(duì)圓錐曲線的研究方法產(chǎn)生深刻的理解，培養(yǎng)學(xué)生的歸納能力；通過(guò)對(duì)圓錐曲線，以及直線、圓等幾何圖形研究方法的提煉，獲得對(duì)解析幾何基本思想的認(rèn)識(shí).

通過(guò)課前自主復(fù)習(xí)、課上交流過(guò)程中的自我感受，以及教師的引導(dǎo)、分析、明晰、引申，進(jìn)一步認(rèn)識(shí)圖形的對(duì)稱美、方程的結(jié)構(gòu)美、數(shù)學(xué)的邏輯美等，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣.

通過(guò)重溫名稱來(lái)源，結(jié)合解析幾何思想的歸納及例題的求解過(guò)程，獲得數(shù)學(xué)文化的熏陶.

三、學(xué)生學(xué)情分析

本節(jié)課的授課對(duì)象是高二年級(jí)的學(xué)生，他們已經(jīng)知道直線、圓、橢圓、雙曲線和拋物線的相關(guān)知識(shí)，感受過(guò)它們的研究方法，初步了解了坐標(biāo)系、解析幾何的來(lái)源和主要內(nèi)容，以及與之有關(guān)的數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)故事. 學(xué)生具有一定的圖形分析和代數(shù)推理能力，有通過(guò)建立平面直角坐標(biāo)系得出曲線的方程和通過(guò)方程分析曲線的性質(zhì)或者曲線之間的位置關(guān)系的經(jīng)驗(yàn)；具有一定與圓錐曲線基礎(chǔ)知識(shí)有關(guān)的題目?jī)?chǔ)備和解題經(jīng)驗(yàn). 這些為本節(jié)課的學(xué)習(xí)提供了充分的基礎(chǔ)知識(shí)和思想方法準(zhǔn)備.

要達(dá)成本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)，上述學(xué)生已經(jīng)具備的知識(shí)、能力和經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)不可或缺，但本次復(fù)習(xí)的重點(diǎn)是對(duì)知識(shí)的系統(tǒng)整理和對(duì)研究方法的歸納，學(xué)生在這方面的經(jīng)驗(yàn)還不夠，這是達(dá)成本節(jié)課教學(xué)目標(biāo)的難點(diǎn).

四、教學(xué)策略分析

1. 精心設(shè)置自主復(fù)習(xí)提綱，任務(wù)驅(qū)動(dòng)

從重溫圓錐曲線的來(lái)源和分析本節(jié)課教學(xué)的必要性和意義入手，精心設(shè)置自主復(fù)習(xí)提綱，設(shè)計(jì)思維螺旋上升的階梯，引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)、梳理、比較、總結(jié)、聯(lián)系、概括已學(xué)知識(shí)，提煉共性并形成清晰的思維主線，提高認(rèn)識(shí)、發(fā)展能力.

2. 充分開(kāi)展學(xué)生活動(dòng)，歸納探究

站在學(xué)生的角度，從學(xué)生已有的認(rèn)知出發(fā)，給學(xué)生提供參與課堂教學(xué)的機(jī)會(huì)和自我領(lǐng)悟的空間，讓學(xué)生在自主學(xué)習(xí)、充分展示和相互交流的氛圍中學(xué)習(xí).

五、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)

為了讓學(xué)生熟悉找共性的復(fù)習(xí)方法，同時(shí)引領(lǐng)學(xué)生從復(fù)習(xí)知識(shí)深入到總結(jié)方法、提煉思想，并感受思想方法的應(yīng)用，本節(jié)課的教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)為7個(gè)環(huán)節(jié)，依次是重溫名稱來(lái)源、自主復(fù)習(xí)提綱、知識(shí)回顧總結(jié)、方法歸納概括、探究解決問(wèn)題、課堂學(xué)習(xí)小結(jié)、課后作業(yè)布置.

1. 重溫名稱來(lái)源

在章起始課中，教師通過(guò)文字、視頻、動(dòng)畫(huà)等途徑，與學(xué)生分享了關(guān)于圓錐曲線的科普知識(shí)，其中包括數(shù)學(xué)家梅內(nèi)克繆斯在沖擊數(shù)學(xué)難題時(shí)發(fā)現(xiàn)并命名圓錐曲線的故事. 在雙曲線和拋物線的新授課教學(xué)中，教師引導(dǎo)學(xué)生類比橢圓的研究方法展開(kāi)對(duì)雙曲線和拋物線的研究. 基于已學(xué)內(nèi)容，提出以下問(wèn)題.

問(wèn)題1：圓錐曲線具體包括什么？它們?yōu)槭裁唇y(tǒng)稱為圓錐曲線？

問(wèn)題2：新授課中，我們是用什么方法對(duì)雙曲線和拋物線進(jìn)行探究的？

【設(shè)計(jì)意圖】創(chuàng)設(shè)熟悉情境，使學(xué)生自然融入課堂，自然引出課題，同時(shí)對(duì)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)文化和科學(xué)精神的熏陶.

2. 自主復(fù)習(xí)提綱

教師在課前給出復(fù)習(xí)提綱，引導(dǎo)學(xué)生基于復(fù)習(xí)任務(wù)對(duì)相關(guān)內(nèi)容展開(kāi)自主復(fù)習(xí).

閱讀教材（包括閱讀材料），思考并完成以下任務(wù).

（1）簡(jiǎn)述橢圓、雙曲線和拋物線的主要內(nèi)容.

（2）簡(jiǎn)述橢圓、雙曲線和拋物線各自采用的研究方法.

（3）簡(jiǎn)述橢圓、雙曲線和拋物線在研究方法上的共同點(diǎn).

（4）簡(jiǎn)述圓錐曲線和直線與圓在研究方法上的共性.

（5）簡(jiǎn)述解析幾何問(wèn)題研究的基本思想.

【設(shè)計(jì)意圖】復(fù)習(xí)是學(xué)習(xí)中非常重要的一個(gè)環(huán)節(jié)，自學(xué)是一種非常重要的能力. 讓學(xué)生在課前試著完成五個(gè)前置任務(wù)，指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行課前自主復(fù)習(xí)，進(jìn)而有效提高學(xué)生的自學(xué)能力. 課中再次展示，使學(xué)生更加明晰本節(jié)課的研究?jī)?nèi)容和研究過(guò)程.

3. 知識(shí)回顧總結(jié)

師生活動(dòng)1：學(xué)生上臺(tái)展示前置任務(wù)（1）的學(xué)習(xí)成果，師生共同點(diǎn)評(píng).

預(yù)設(shè)評(píng)價(jià)：若展示學(xué)生出現(xiàn)知識(shí)性錯(cuò)誤，教師和其他學(xué)生要立即糾正；若學(xué)生所展示的內(nèi)容有遺漏或者有重復(fù)，教師和其他學(xué)生進(jìn)行及時(shí)補(bǔ)充或刪減. 學(xué)生展示后，教師可以從展示內(nèi)容、書(shū)寫(xiě)卷面、展示狀態(tài)、語(yǔ)言表達(dá)、臨場(chǎng)反應(yīng)等多種角度挖掘?qū)W生的優(yōu)點(diǎn)，給予表?yè)P(yáng)和鼓勵(lì).

【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生再次熟悉橢圓、雙曲線和拋物線的主要內(nèi)容，為接下來(lái)尋找圓錐曲線的共性作鋪墊. 同時(shí)，給予學(xué)生表現(xiàn)的機(jī)會(huì)，增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)表達(dá)能力，提升學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的成就感和自信心.

通過(guò)對(duì)橢圓、雙曲線和拋物線主要內(nèi)容的回憶和鞏固，學(xué)生不難發(fā)現(xiàn)橢圓、雙曲線和拋物線在研究?jī)?nèi)容上具有共性，即新授課階段分別學(xué)習(xí)了橢圓、雙曲線和拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì).

師生活動(dòng)2：教師先帶領(lǐng)學(xué)生尋找橢圓、雙曲線和拋物線在定義上的共性，即曲線定義反映的是曲線的幾何特征. 接著讓學(xué)生思考橢圓、雙曲線和拋物線的定義分別反映了對(duì)應(yīng)曲線的什么幾何特征. 在學(xué)生完成回答后，教師用課件展示橢圓、雙曲線和拋物線的幾何特征，并引導(dǎo)學(xué)生思考這些特征都與哪個(gè)幾何要素有關(guān)系.

教師再次強(qiáng)調(diào)橢圓、雙曲線和拋物線的特征都和距離有關(guān)系，而教材第82頁(yè)的閱讀材料“圓錐曲線的共同特征”中更是將圓錐曲線的定義統(tǒng)一為“到一個(gè)定點(diǎn)和一條定直線的距離”，順勢(shì)讓學(xué)生聯(lián)想統(tǒng)一整齊的事物會(huì)給人以美的感受，而圓錐曲線的統(tǒng)一定義則反映了數(shù)學(xué)的統(tǒng)一美.

師生活動(dòng)3：教師帶領(lǐng)學(xué)生尋找橢圓、雙曲線和拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的共性，學(xué)生容易發(fā)現(xiàn)橢圓、雙曲線和拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程都是二元二次方程. 教師繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生思考基于圓錐曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的特征能提出什么問(wèn)題，進(jìn)而向?qū)W生簡(jiǎn)單介紹極坐標(biāo)系下圓錐曲線具有的統(tǒng)一方程.

師生活動(dòng)4：教師帶領(lǐng)學(xué)生尋找橢圓、雙曲線和拋物線在簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)上的共性，學(xué)生完成表1的填寫(xiě)，發(fā)現(xiàn)橢圓、雙曲線和拋物線在簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)上的共性是研究的主要性質(zhì)都是范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)和離心率. 教師進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生回憶通過(guò)方程得出曲線的范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)和圖形的方法（函數(shù)法）.

函數(shù)法即先限定方程中的變量x，y均是正數(shù)，再對(duì)方程變形得出y關(guān)于x的函數(shù)，進(jìn)而用函數(shù)知識(shí)得出函數(shù)圖形，從而得出方程對(duì)應(yīng)的第一象限的曲線，再根據(jù)曲線的對(duì)稱性，得出完整的曲線圖形. 這部分是學(xué)生的薄弱點(diǎn)，需要對(duì)學(xué)生進(jìn)行強(qiáng)化鞏固，同時(shí)讓學(xué)生進(jìn)一步感受數(shù)學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系美.

【設(shè)計(jì)意圖】在回顧橢圓、雙曲線和拋物線主要內(nèi)容的基礎(chǔ)上，引領(lǐng)學(xué)生不斷探尋橢圓、雙曲線和拋物線在研究?jī)?nèi)容上的共性. 不斷深入、提煉，激發(fā)學(xué)生思考，從而培養(yǎng)學(xué)生的理性思維和對(duì)數(shù)學(xué)的內(nèi)在興趣，引領(lǐng)學(xué)生感悟數(shù)學(xué)之美.

4. 方法歸納概括

師生活動(dòng)5：學(xué)生上臺(tái)展示橢圓、雙曲線和拋物線各自采用的研究方法及研究方法上的共同點(diǎn). 在學(xué)生展示后，教師多角度地對(duì)學(xué)生進(jìn)行表?yè)P(yáng)性、激勵(lì)性和鼓勵(lì)性評(píng)價(jià).

上述過(guò)程，使學(xué)生對(duì)代數(shù)表達(dá)有了更深刻的理解和感悟. 教師進(jìn)一步指明代數(shù)表達(dá)的重要性——代數(shù)表達(dá)是把幾何語(yǔ)言翻譯為代數(shù)語(yǔ)言，而正因?yàn)橛形膶W(xué)語(yǔ)言的翻譯，才讓世界更了解我們中國(guó)燦爛輝煌的文化，也正因?yàn)橛袛?shù)學(xué)語(yǔ)言的翻譯，才讓人們更深刻地認(rèn)識(shí)了自然規(guī)律，促進(jìn)了科技的發(fā)展.

【設(shè)計(jì)意圖】引領(lǐng)學(xué)生參與提煉圓錐曲線研究方法的過(guò)程，復(fù)盤研究方法中的代數(shù)表達(dá)，促進(jìn)學(xué)生對(duì)研究方法更深層的理解，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的提升，發(fā)展學(xué)生邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象、直觀想象等素養(yǎng)，滲透文化自信和數(shù)學(xué)自信，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的育人價(jià)值.

問(wèn)題3：在圓錐曲線之前，我們學(xué)習(xí)了什么重要的平面曲線？

問(wèn)題4：直線與圓在研究方法上與圓錐曲線有什么共性？

【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)問(wèn)題3和問(wèn)題4，引導(dǎo)學(xué)生得出直線、圓和圓錐曲線在研究方法上的共性，即通過(guò)合理建立平面直角坐標(biāo)系，得出幾何圖形的代數(shù)表達(dá)，再通過(guò)分析推斷幾何性質(zhì). 促使學(xué)生思考上述研究方法更簡(jiǎn)練的表達(dá)方式，進(jìn)而提煉出“形—數(shù)—形”的研究方法.

在“形—數(shù)—形”的研究中，前面的“形”代表研究的起點(diǎn)是幾何圖形，后面的“形”代表研究的終點(diǎn)是圖形的性質(zhì)，而中間的“數(shù)”代表了用代數(shù)方法研究幾何問(wèn)題的研究方法，也就是解析幾何的基本思想. 而能使用“數(shù)”的前提是建立平面直角坐標(biāo)系，把點(diǎn)用坐標(biāo)進(jìn)行表示，進(jìn)而帶領(lǐng)學(xué)生再次了解笛卡兒的主要事跡，了解并感受笛卡兒發(fā)明坐標(biāo)系、創(chuàng)立解析幾何、開(kāi)創(chuàng)數(shù)學(xué)新紀(jì)元的偉大貢獻(xiàn)和不斷追求數(shù)學(xué)真理、勇于探索的科學(xué)精神.

【設(shè)計(jì)意圖】帶領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷“把書(shū)讀厚再把書(shū)讀薄”的過(guò)程，幫助學(xué)生學(xué)習(xí)不斷總結(jié)節(jié)與節(jié)之間、章與章之間共性的復(fù)習(xí)方法，建立知識(shí)體系，提煉通性通法，使學(xué)生積累數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展數(shù)學(xué)思維，并感悟數(shù)學(xué)智慧、數(shù)學(xué)美和數(shù)學(xué)精神.

5. 探究解決問(wèn)題

【設(shè)計(jì)意圖】以卡西尼卵形線為背景，設(shè)計(jì)學(xué)生沒(méi)見(jiàn)過(guò)但又感覺(jué)有些熟悉的例題，讓學(xué)生運(yùn)用解析幾何的思想方法解決一道背景豐富、新穎且具有挑戰(zhàn)性的題目，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和科學(xué)精神，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理素養(yǎng)，同時(shí)增加學(xué)生的數(shù)學(xué)文化儲(chǔ)備，激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣.

6. 課堂學(xué)習(xí)小結(jié)

7. 課后作業(yè)布置

【設(shè)計(jì)意圖】設(shè)置可供選擇的作業(yè)題目，讓不同層次學(xué)生得到鍛煉，獲得學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的成就感；設(shè)置對(duì)比性題目，讓學(xué)生再次感受橢圓、雙曲線和拋物線的共性和個(gè)性，讓學(xué)生課后繼續(xù)在思維方法上有深入研究．

參考文獻(xiàn)：

［1］中華人民共和國(guó)教育部. 普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）［M］. 北京：人民教育出版社，2020.

［2］史寧中，王尚志.《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》解讀［M］. 北京：高等教育出版社，2020.