淺談如何激活初中生的數(shù)形結(jié)合意識(shí)

楊敏

［摘? 要］ 數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)學(xué)科最重要的特征之一，也是數(shù)學(xué)學(xué)科最重要的思想體現(xiàn). 在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要想方設(shè)法地激活學(xué)生的數(shù)形結(jié)合意識(shí)，讓學(xué)生在數(shù)形結(jié)合的過程中將形象思維與抽象思維的作用發(fā)揮到最大，這樣不僅可以為學(xué)生的數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)與運(yùn)用提供內(nèi)在動(dòng)力，還可以為數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的發(fā)展提供驅(qū)動(dòng)力.

［關(guān)鍵詞］ 初中數(shù)學(xué)；數(shù)形結(jié)合；意識(shí)

數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)學(xué)科最重要的特征之一，也是數(shù)學(xué)學(xué)科最重要的思想體現(xiàn). 對(duì)初中生來說，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中理解數(shù)形結(jié)合的內(nèi)涵，在數(shù)形結(jié)合的幫助之下進(jìn)一步促進(jìn)數(shù)學(xué)知識(shí)的建構(gòu)，可以說是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)最重要的目標(biāo)之一. 在傳統(tǒng)的教學(xué)中，教師常常將數(shù)形結(jié)合當(dāng)作教學(xué)內(nèi)容來施教，這在一定程度上窄化了數(shù)形結(jié)合的內(nèi)涵，也忽視了學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ). 實(shí)際上，對(duì)學(xué)生而言，數(shù)形結(jié)合更多的是一種本能. 在學(xué)生成長(zhǎng)的過程中，他們的思維方式從形象思維走向抽象思維，形象思維是學(xué)生與生俱來的思維方式，很多知識(shí)在學(xué)生的頭腦當(dāng)中都是以圖形的形式存在的，學(xué)生思維加工圖形的順利程度遠(yuǎn)超其他抽象符號(hào). 當(dāng)人們強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)是研究數(shù)與形的學(xué)科時(shí)，應(yīng)當(dāng)認(rèn)識(shí)到數(shù)對(duì)應(yīng)著抽象思維，而形對(duì)應(yīng)著形象思維（當(dāng)然數(shù)學(xué)知識(shí)體系當(dāng)中也存在著抽象的形，但對(duì)于相應(yīng)階段的學(xué)生而言，這些形所反映出來的數(shù)學(xué)知識(shí)及其關(guān)系依然比數(shù)所反映出來的關(guān)系形象得多），所以數(shù)形結(jié)合從思維的角度來看，就是抽象思維與形象思維的結(jié)合. 如果說學(xué)生在生活當(dāng)中遇到抽象事物的時(shí)候總會(huì)嘗試借助形去理解，那么在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中進(jìn)行數(shù)形結(jié)合教學(xué)時(shí)，教師就應(yīng)當(dāng)想方設(shè)法地激活學(xué)生已有的數(shù)形結(jié)合意識(shí). 可以肯定的是，只要學(xué)生的數(shù)形結(jié)合意識(shí)被激活，數(shù)形結(jié)合教學(xué)就會(huì)順利得多，學(xué)生自身產(chǎn)生的學(xué)習(xí)內(nèi)驅(qū)力也可以讓數(shù)形結(jié)合思維過程更加高效.

確定這樣的教學(xué)思路，是站在學(xué)生角度做出的教學(xué)判斷. 相對(duì)于將數(shù)形結(jié)合當(dāng)作教學(xué)內(nèi)容而言，通過激活學(xué)生數(shù)形結(jié)合意識(shí)的方式來實(shí)施教學(xué)，是站在學(xué)生的角度激活學(xué)生的內(nèi)在動(dòng)力，是讓學(xué)生在生活當(dāng)中形成的認(rèn)知習(xí)慣有效地遷移到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，從而為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)提供驅(qū)動(dòng)力. 下面結(jié)合蘇科版初中數(shù)學(xué)教材的使用，談?wù)劰P者關(guān)于這一話題的思考與實(shí)踐.

學(xué)生天然具有數(shù)形結(jié)合意識(shí)

上面已經(jīng)提到，學(xué)生在認(rèn)識(shí)這個(gè)世界的時(shí)候，原本就具有從形象思維走向抽象思維、形象思維與抽象思維相結(jié)合的特點(diǎn)，這就意味著從數(shù)學(xué)教學(xué)的角度看初中生的學(xué)習(xí)，可以得出一個(gè)基本結(jié)論，那就是學(xué)生天然具有數(shù)形結(jié)合意識(shí).

這一點(diǎn)很容易被數(shù)學(xué)教師所忽視. 可能部分同行會(huì)提出不同的觀點(diǎn)，因?yàn)閺膶W(xué)術(shù)意義角度來看，數(shù)學(xué)教師對(duì)數(shù)學(xué)結(jié)合的認(rèn)識(shí)通常是這樣的：數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)教學(xué)中常見的教學(xué)方法，它能通過圖形和內(nèi)容等多種方式展現(xiàn)解題思路，從而引導(dǎo)學(xué)生更好地掌握復(fù)雜的數(shù)學(xué)知識(shí). 這一認(rèn)識(shí)本身沒有問題，但這一認(rèn)識(shí)是純粹從概念的角度進(jìn)行闡述的，如果將視野放得更廣一點(diǎn)，將教學(xué)研究的出發(fā)點(diǎn)遷移到學(xué)生身上，就可以發(fā)現(xiàn)，數(shù)形結(jié)合不僅僅是一種數(shù)學(xué)思想方法，也不僅僅作為教學(xué)方法而存在，它原本就是人認(rèn)識(shí)世界的一種方法.

上面已經(jīng)初步提及人認(rèn)識(shí)世界的基本方式就是形象思維和抽象思維. 進(jìn)一步講，如果兒童更擅長(zhǎng)形象思維方式，那成人在遇到復(fù)雜問題的時(shí)候，其實(shí)也傾向于運(yùn)用形象思維來理解并解決. 本文重點(diǎn)闡述初中數(shù)學(xué)教學(xué)，那不妨站在初中生的角度來看數(shù)學(xué)學(xué)習(xí). 此時(shí)會(huì)發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程大致為：首先，從已有的數(shù)學(xué)知識(shí)基礎(chǔ)及生活事物當(dāng)中提取出符合初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的素材，然后在問題的驅(qū)動(dòng)之下加工這些素材. 在這一過程中不難發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)抽象與邏輯推理會(huì)自然出現(xiàn). 所謂數(shù)學(xué)抽象，就是將形象的事物轉(zhuǎn)化為抽象的數(shù)學(xué)研究對(duì)象（其實(shí)就是數(shù)與形）. 而學(xué)生在面對(duì)形象事物的時(shí)候，運(yùn)用的一定是形象思維；學(xué)生在面對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)時(shí)，一定會(huì)運(yùn)用抽象思維，但只要在學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”內(nèi)，學(xué)生的形象思維與抽象思維就都有可能自然出現(xiàn)，這并不會(huì)超越學(xué)生的認(rèn)知能力.

也就是說，學(xué)生其實(shí)天然具有數(shù)形結(jié)合意識(shí). 天然具有的形象思維，加上認(rèn)知世界過程中所形成的抽象思維，是植根于學(xué)生思維世界的兩種思維方式，它們也是與數(shù)形結(jié)合相對(duì)應(yīng)的思維方式.

既然數(shù)形結(jié)合意識(shí)是學(xué)生天然具有的，那么為什么數(shù)學(xué)教學(xué)還要特別強(qiáng)調(diào)要重視數(shù)形結(jié)合思想方法呢？根本原因在于，學(xué)生的形象思維與抽象思維很難自然出現(xiàn)，而其中一個(gè)更深層次的原因是傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)往往并不特別關(guān)注這兩種思維方式的激活，因此到了初中，學(xué)生的這些思維方式往往處于被抑制的狀態(tài). 正因如此，初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)才強(qiáng)調(diào)教師要激活學(xué)生天然具有的數(shù)形結(jié)合意識(shí).

數(shù)形結(jié)合意識(shí)激活的有效途徑

要激活學(xué)生的數(shù)形結(jié)合意識(shí)，并沒有想象中簡(jiǎn)單. 因?yàn)椴⒉皇墙o學(xué)生提供數(shù)與形同時(shí)存在的學(xué)習(xí)對(duì)象，學(xué)生的形象思維與抽象思維就能自然被激活. 事實(shí)上，學(xué)生數(shù)形結(jié)合意識(shí)的激活具有挑戰(zhàn)性，只有梳理其中存在的問題，才能找到數(shù)形結(jié)合被激活的有效途徑. 下面結(jié)合具體教學(xué)實(shí)例進(jìn)行說明.

蘇科版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)編排了“勾股定理”這一內(nèi)容，這是初中數(shù)學(xué)知識(shí)體系中的重要知識(shí)點(diǎn)，也是教學(xué)難點(diǎn)之一. 站在學(xué)生的角度看這一知識(shí)的學(xué)習(xí)，首要的挑戰(zhàn)就是勾股定理的證明. 當(dāng)然，有教師認(rèn)為只要借助面積關(guān)系來證明，學(xué)生還是能聽懂的，這一判斷筆者并不否認(rèn)，但問題是，如果從數(shù)學(xué)探究的角度來實(shí)施本內(nèi)容的教學(xué)，如何才能讓學(xué)生想到運(yùn)用面積關(guān)系來證明勾股定理呢？這才是本節(jié)課教學(xué)的難點(diǎn)之一. 而數(shù)形結(jié)合可以幫助學(xué)生突破這一難點(diǎn).

實(shí)際上，勾股定理本身就是數(shù)形結(jié)合的重要產(chǎn)物. 當(dāng)著名數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯觀看朋友家的地磚形狀和圖案時(shí)，他大腦里所加工的對(duì)象是“形”，但最終得出的結(jié)論是勾股定理，這是以等量關(guān)系來表征的，是典型的“數(shù)”的形式. 對(duì)畢達(dá)哥拉斯來說，看到讓自己感興趣的圖案，并最終用數(shù)量關(guān)系來描述，這是一個(gè)自然而然的數(shù)形結(jié)合的產(chǎn)物. 所以，要讓學(xué)生探究出勾股定理，教師就要走數(shù)形結(jié)合的探究道路，而其前提就是激活學(xué)生的數(shù)形結(jié)合意識(shí).

如果教師不加以干預(yù)，會(huì)發(fā)現(xiàn)學(xué)生在探究的時(shí)候，數(shù)形結(jié)合意識(shí)很難被自主激活. 比如教學(xué)中經(jīng)常出現(xiàn)下面這種現(xiàn)象：當(dāng)教師將教材中所設(shè)計(jì)的內(nèi)容創(chuàng)設(shè)成相應(yīng)的情境提供給學(xué)生時(shí)，學(xué)生的反應(yīng)并不符合教師的期待.

教材是這樣設(shè)計(jì)的：

1955年，希臘發(fā)行了一枚紀(jì)念郵票，郵票上的圖案是根據(jù)一個(gè)著名的數(shù)學(xué)定理設(shè)計(jì)的.

觀察郵票上的圖案（如圖1所示），數(shù)一數(shù)圖案中三個(gè)正方形內(nèi)小方格的個(gè)數(shù)，你有哪些發(fā)現(xiàn)？

細(xì)心的教師可能會(huì)發(fā)現(xiàn)，這樣一段簡(jiǎn)簡(jiǎn)單單的文字是通過兩段內(nèi)容來說明的. 就筆者的判斷，第一段闡述一個(gè)事實(shí)，第二段則將學(xué)生的注意力引向數(shù)學(xué). 教材編寫者設(shè)計(jì)第二段內(nèi)容時(shí)，巧妙地給定了探究方向——數(shù)三個(gè)正方形中小方格的個(gè)數(shù). 這實(shí)際上是將學(xué)生的思維從“形”引向“數(shù)”. 最后還問了一個(gè)問題：你有哪些發(fā)現(xiàn)？

筆者教學(xué)過這一內(nèi)容多次，發(fā)現(xiàn)如果教師不給予任何提示，學(xué)生的發(fā)現(xiàn)多種多樣. 其中不乏有學(xué)生意識(shí)到兩個(gè)小正方形方格的個(gè)數(shù)加起來等于大正方形方格的個(gè)數(shù)，但除此之外其他與課題無關(guān)的“發(fā)現(xiàn)”還有很多. 而且，即使學(xué)生發(fā)現(xiàn)了小正方形方格個(gè)數(shù)之間的等量關(guān)系，依然無法將自己的思維引向勾股定理的表達(dá)形式. 這就說明，學(xué)生的數(shù)形結(jié)合意識(shí)不會(huì)自動(dòng)成為學(xué)習(xí)的助力. 那遇到這種情況教師應(yīng)當(dāng)怎么辦呢？教師應(yīng)注意引導(dǎo)與激活.

筆者在課堂上是這樣做的：

首先，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注郵票上的三個(gè)正方形，讓學(xué)生思考這三個(gè)正方形首尾相接的三條邊所構(gòu)成的三角形最接近哪種三角形. 此時(shí)學(xué)生可以基于幾何直觀（對(duì)應(yīng)著形象思維）猜想這個(gè)三角形是直角三角形. 接著，筆者讓學(xué)生探究猜想中的直角三角形三條邊的長(zhǎng)度關(guān)系. 學(xué)生很容易通過數(shù)數(shù)的方法得到三條邊的長(zhǎng)分別是3，4，5——這一步是數(shù)形結(jié)合的起始環(huán)節(jié)，意味著學(xué)生對(duì)圖形的關(guān)注已經(jīng)將思維的觸角伸到數(shù)上了. 當(dāng)然，此時(shí)學(xué)生并沒有數(shù)形結(jié)合意識(shí)，教師可以適當(dāng)引導(dǎo)，告訴學(xué)生我們不僅要關(guān)注圖形的形狀，還要從數(shù)量關(guān)系角度去研究圖形的規(guī)律.

接下來，筆者引導(dǎo)學(xué)生的思維進(jìn)一步深入. 此時(shí)擺在學(xué)生面前的問題實(shí)際上有兩個(gè)：一是這個(gè)三角形確實(shí)是直角三角形，二是研究直角三角形三條邊之間的數(shù)量關(guān)系. 這兩個(gè)問題的解決依然要依靠數(shù)形結(jié)合思想. 要想在此處激活學(xué)生的數(shù)形結(jié)合意識(shí)，可以通過讓學(xué)生做的方法，也就是通過數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)來完成. 當(dāng)然，這里并不是真正地讓學(xué)生去做實(shí)驗(yàn)，而是讓學(xué)生畫圖，因?yàn)閷W(xué)生動(dòng)手的過程并不是加工實(shí)際物體的過程，而是畫圖的過程. 那讓學(xué)生畫什么呢？讓學(xué)生在方格紙上畫長(zhǎng)度分別為3和4，且相互垂直的兩條邊——把它們作為直角三角形的兩條直角邊，再連斜邊. 此時(shí)學(xué)生思維加工的對(duì)象就是這個(gè)圖形，且已經(jīng)確認(rèn)直角三角形兩條直角邊的長(zhǎng)，而下一步就是確認(rèn)斜邊的長(zhǎng)了. 確認(rèn)斜邊的長(zhǎng)時(shí)，學(xué)生受郵票上圖案的啟發(fā)，會(huì)自發(fā)地畫出分別以兩條直角邊為邊長(zhǎng)的正方形——這是數(shù)形結(jié)合的另一個(gè)突破口，而且這個(gè)時(shí)候?qū)W生不需要教師的啟發(fā)，能夠自發(fā)地畫出來，這說明學(xué)生的數(shù)形結(jié)合意識(shí)此時(shí)已被激活. 這一觀點(diǎn)通過學(xué)生后續(xù)的學(xué)習(xí)也能證實(shí). 接下來，學(xué)生會(huì)將以斜邊為邊長(zhǎng)的正方形畫出來，然后數(shù)這個(gè)大正方形中小方格的個(gè)數(shù). 當(dāng)學(xué)生通過拼湊的方法得出大正方形中小方格的個(gè)數(shù)之后，再與兩個(gè)小正方形中小方格的個(gè)數(shù)進(jìn)行對(duì)比，勾股定理也就呼之欲出了……

數(shù)形結(jié)合是核心素養(yǎng)培育的? ? 基礎(chǔ)

從上面的教學(xué)案例可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合意識(shí)被激活之后，他們的數(shù)學(xué)探究過程會(huì)變得很順利，這就意味著數(shù)學(xué)知識(shí)的建構(gòu)過程會(huì)變得更加高效.

數(shù)學(xué)教師已經(jīng)認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)是一門研究空間形式與數(shù)量關(guān)系的科學(xué)，能夠培養(yǎng)學(xué)生良好的邏輯思維能力［1］. 那么，數(shù)形結(jié)合作為數(shù)學(xué)學(xué)科最基本的特征之一，又能在核心素養(yǎng)背景下初中數(shù)學(xué)教學(xué)中發(fā)揮怎樣的作用呢？對(duì)于這個(gè)問題，筆者的回答是：數(shù)形結(jié)合是核心素養(yǎng)培育的基礎(chǔ). 上述內(nèi)容強(qiáng)調(diào)了一個(gè)觀點(diǎn)——形象思維與抽象思維是人們?cè)谏町?dāng)中就可以形成的思維方式，這兩種思維方式可以在數(shù)學(xué)課堂上得到強(qiáng)化與提升，最終又反哺于生活. 數(shù)形結(jié)合對(duì)應(yīng)著這兩種思維方式，因此數(shù)形結(jié)合既是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ)，又是數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)培育的基礎(chǔ).

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要想方設(shè)法地激活學(xué)生的數(shù)形結(jié)合意識(shí)，讓學(xué)生在數(shù)形結(jié)合的過程中將形象思維與抽象思維的作用發(fā)揮到最大，這樣不僅可以為學(xué)生的數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)與運(yùn)用提供內(nèi)在動(dòng)力，還可以為數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的發(fā)展提供驅(qū)動(dòng)力. 學(xué)生在數(shù)形結(jié)合的基礎(chǔ)上能夠真正做到擁有數(shù)學(xué)的眼光、數(shù)學(xué)的思維，就能靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)的語言，去觀察現(xiàn)實(shí)世界、思考現(xiàn)實(shí)世界，并表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界.

參考文獻(xiàn)：

［1］高愛紅. 數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用研究［J］. 數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2016（02）：37-38+62.