陳和良

【摘 要】解決問(wèn)題的能力，是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的核心素養(yǎng)。隨著教育改革的深入，提升學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題的能力、分析和解決問(wèn)題的能力，便被列為新課標(biāo)的總目標(biāo)之一。其用意是不僅要讓學(xué)生會(huì)做題，更要讓學(xué)生通過(guò)做題掌握其中的一些數(shù)學(xué)方法，體會(huì)其中蘊(yùn)藏的一些數(shù)學(xué)思想，積累一些基本的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)。

【關(guān)鍵詞】小學(xué)數(shù)學(xué) 解決問(wèn)題 能力提升 核心素養(yǎng)

解決問(wèn)題的能力是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的核心素養(yǎng)。那么，如何提升學(xué)生解決問(wèn)題的能力呢？本文結(jié)合課例，談一談提升學(xué)生解決問(wèn)題的能力的一些策略和方法。

一、重視審題教學(xué)，為解決問(wèn)題打好基礎(chǔ)

當(dāng)學(xué)生遇到一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，首先要做的一定是審題。審題不僅要審題目的條件，還要審提出的問(wèn)題。部分學(xué)生，特別是中低年級(jí)的學(xué)生，在審題環(huán)節(jié)出現(xiàn)各種問(wèn)題，導(dǎo)致解決問(wèn)題時(shí)出現(xiàn)錯(cuò)誤。對(duì)于這部分審題能力較弱的學(xué)生，可以從審題開(kāi)始加以訓(xùn)練，以便其能夠順利地進(jìn)行解題。

（一）多讀關(guān)鍵句

審題的要求比較高，不僅要求學(xué)生弄清楚題目中哪些是有用的數(shù)學(xué)信息，哪些是出題者為考查學(xué)生審題能力而呈現(xiàn)的干擾文字，還要弄清楚問(wèn)題是什么。這一系列的要求有的學(xué)生不一定能一氣呵成地完成，教師要允許他們多讀幾遍題目和問(wèn)題，以便能排除干擾文字，提煉出有用的數(shù)學(xué)條件和問(wèn)題。特別是題目中難懂的條件，教師更要引導(dǎo)學(xué)生著重地多讀幾次，多讀題而絕非朗讀。

比如“用4、7、8、9、3和2個(gè)0組成一個(gè)只讀1個(gè)零的最大的七位數(shù)”，這是一道“認(rèn)識(shí)多位數(shù)”的題目，筆者當(dāng)時(shí)執(zhí)教時(shí)錯(cuò)誤率偏高。有小部分學(xué)生在讀題環(huán)節(jié)中把“2”也放入數(shù)的組成中去，導(dǎo)致0只用了一個(gè)，從而出現(xiàn)了錯(cuò)誤。教師應(yīng)該讓學(xué)生養(yǎng)成良好的讀題習(xí)慣，搞清楚有哪些數(shù)字可以組成這個(gè)數(shù)，組成的數(shù)要符合哪些要求等。這就說(shuō)明，教師在讀題環(huán)節(jié)的教學(xué)上也不能疏忽，要讓學(xué)生多讀幾遍，提煉出可用的數(shù)學(xué)信息。

有的教師喜歡用紅色的粉筆把數(shù)字著重寫(xiě)出來(lái)，這固然是提醒學(xué)生要看清數(shù)字，特別是數(shù)位多的時(shí)候。但是反過(guò)來(lái)想想，是不是同時(shí)也弱化了題干中有關(guān)聯(lián)的語(yǔ)句的地位，讓學(xué)生的注意力僅僅集中在數(shù)字上了呢？所以，筆者建議如果要突出，那么應(yīng)該突出的是和題干有邏輯關(guān)系的題干語(yǔ)句，而絕非是僅僅幾個(gè)數(shù)字。

（二）復(fù)述深化理解

針對(duì)部分理解有困難的學(xué)生，教師可以在上述基礎(chǔ)上，讓其用自己的語(yǔ)言復(fù)述題目的大致條件和所求問(wèn)題。學(xué)生在用自己的語(yǔ)言描述的過(guò)程中，勢(shì)必會(huì)對(duì)題目的相關(guān)數(shù)學(xué)信息進(jìn)行二次深加工。如果學(xué)生復(fù)述有困難，教師也可以予以幫助，如“你能用簡(jiǎn)單的語(yǔ)言，說(shuō)說(shuō)已知什么，要求什么嗎”等。這樣一來(lái)，學(xué)生通過(guò)復(fù)述，就能將原本無(wú)法理解的條件轉(zhuǎn)化成他們之前積累的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)中的一部分，從而對(duì)于條件的理解會(huì)更進(jìn)一步。如果學(xué)生仍有困難，教師還可以用語(yǔ)言或者幾何直觀予以幫助。久而久之，再次遇到類似問(wèn)題的時(shí)候，學(xué)生就很有可能會(huì)從已有經(jīng)驗(yàn)中進(jìn)行知識(shí)的遷移去理解和分析問(wèn)題了。

二、多種策略并行，為解題思路提供支撐

到了中高年級(jí)，要解決的問(wèn)題中的條件通常會(huì)比較多，關(guān)系也會(huì)比較復(fù)雜，有的條件還需要用到兩次，對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)，光理解題目條件的表述還不夠，他們?nèi)匀浑y以理清各個(gè)條件和問(wèn)題之間的關(guān)系，難以有效建立已知條件和所求問(wèn)題之間的橋梁，導(dǎo)致做不出來(lái)或者是做錯(cuò)。鑒于此，蘇教版數(shù)學(xué)教材三年級(jí)到六年級(jí)每?jī)?cè)中都安排了一個(gè)“解決問(wèn)題的策略”板塊，以便能幫助學(xué)生提升解決問(wèn)題的能力，形成一些有效的解決問(wèn)題的思想方法，積累一些基本的解題經(jīng)驗(yàn)。

曹培英教授把一些小學(xué)階段常用的方法做了分類，如下圖：

因特殊方法有其適用的特殊前提，所以本文只針對(duì)一般方法和一部分輔助方法加以舉例說(shuō)明。

（一）夯實(shí)基本方法：為條件和問(wèn)題架好橋梁

解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，分析法和綜合法是密不可分的，通常要從條件想想，看看可以求出什么；也要從問(wèn)題想想，要求這個(gè)問(wèn)題需要知道哪些條件，哪些知道了，哪些不知道等?？梢哉f(shuō)，任何人遇到問(wèn)題時(shí)都會(huì)看看條件，想想問(wèn)題，所以分析法和綜合法是解決問(wèn)題的基本思路，也是首要思路。

如四年級(jí)會(huì)有這樣的實(shí)際問(wèn)題：要生產(chǎn)6000個(gè)零件，前3天每天生產(chǎn)120個(gè)，照這樣的速度，還要生產(chǎn)幾天？通過(guò)綜合法，可以得到算式：6000÷120-3；通過(guò)分析法，可以得到算式：（6000-120×3）÷120。教學(xué)完這個(gè)題目后，教師應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生去回顧、體會(huì)思路的不同。在這里，我們發(fā)現(xiàn)綜合法比較簡(jiǎn)單。當(dāng)然也有分析法比較簡(jiǎn)單的例子。

通過(guò)這個(gè)例子，我們可以說(shuō)明分析法和綜合法是解決問(wèn)題的基本方法。在日常教學(xué)中，特別是對(duì)于分析能力較弱的學(xué)生，教師不能放過(guò)任何一次機(jī)會(huì)，要讓這部分學(xué)生體會(huì)分析法和綜合法的優(yōu)點(diǎn)，學(xué)會(huì)既能從條件想問(wèn)題，又能從問(wèn)題去想條件，在條件和問(wèn)題之間架好橋梁。如果經(jīng)常這樣讓學(xué)生去想，那么這部分解決問(wèn)題能力較弱的學(xué)生都能有所提升。

（二）利用幾何直觀：讓數(shù)量關(guān)系“動(dòng)”起來(lái)

除了上述的基本方法外，我們?cè)诜治鲱}目數(shù)量關(guān)系時(shí)也經(jīng)常用到直觀化的教學(xué)策略。比如，我們從低年級(jí)開(kāi)始就讓學(xué)生用線段圖、表格、示意圖、矩形圖、韋恩圖等來(lái)表示數(shù)量之間的關(guān)系。 從而使得復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系形象化，有助于學(xué)生分析、思考，推導(dǎo)出問(wèn)題所要求的結(jié)果。

筆者以最常見(jiàn)的線段圖為例，嘗試說(shuō)明這些輔助手段對(duì)于題目數(shù)量關(guān)系的分析的優(yōu)越性。問(wèn)：“一個(gè)多位數(shù)去掉末尾的兩個(gè)零后，和原來(lái)相差了2277，求原來(lái)這個(gè)多位數(shù)是幾？”顯然，我們可以引導(dǎo)學(xué)生先著重理解“去掉兩個(gè)零后原數(shù)和現(xiàn)在的數(shù)有什么關(guān)聯(lián)”，可以通過(guò)找規(guī)律讓他們發(fā)現(xiàn)，并歸納總結(jié)。理解了這句話之后，可以讓學(xué)生試著用自己的方法表示出題目的條件，有了三年級(jí)的經(jīng)驗(yàn)做鋪墊，那么一張“差倍”的線段圖就畫(huà)出來(lái)了，通過(guò)圖比較容易發(fā)現(xiàn)條件之間的關(guān)系，解決這個(gè)問(wèn)題也就不是什么難事了。

像這樣的例子還有很多，這里就不對(duì)其他輔助手段做逐個(gè)說(shuō)明了。只要我們善于去發(fā)現(xiàn)，就能讓數(shù)量關(guān)系“動(dòng)”起來(lái)，讓學(xué)生在理清數(shù)量關(guān)系這道難關(guān)時(shí)，可以有的放矢、有法可依、有經(jīng)驗(yàn)可以去遷移。

三、豐富教學(xué)方式，全面提升解決問(wèn)題的能力

（一）整體化教學(xué)

很多教師在長(zhǎng)期執(zhí)教過(guò)程中會(huì)發(fā)現(xiàn)這樣的現(xiàn)象，就某個(gè)單元來(lái)說(shuō)，學(xué)生解決問(wèn)題的能力表現(xiàn)得還行，但是兩個(gè)單元一綜合，他們就有問(wèn)題，特別是單元知識(shí)聯(lián)系較為緊密的更是一筆糊涂賬，其中除了難度和綜合性的因素以外，還有一個(gè)重要的原因就是部分學(xué)生在學(xué)習(xí)這兩部分內(nèi)容的時(shí)候無(wú)法溝通這兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系，無(wú)法將知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行有效的串聯(lián)，更別說(shuō)和以往的知識(shí)點(diǎn)有效地織成“知識(shí)網(wǎng)”了，所以才會(huì)造成解決問(wèn)題的能力“突降”。

六年級(jí)的分?jǐn)?shù)、比、百分?jǐn)?shù)問(wèn)題一向是“老大難”，因?yàn)檫^(guò)于抽象，筆者試舉一例來(lái)說(shuō)明整體化教學(xué)方式的重要性。蘇教版數(shù)學(xué)六年級(jí)上冊(cè)中有這樣一道例題：“嶺南小學(xué)六年級(jí)45個(gè)同學(xué)參加學(xué)校運(yùn)動(dòng)會(huì)，其中男運(yùn)動(dòng)員占5/9，女運(yùn)動(dòng)員有多少人？”經(jīng)過(guò)理解題意、畫(huà)線段圖分析數(shù)量關(guān)系之后，我們可以找到45-45×5/9和45×（1-5/9）兩種辦法，教材到此為止。實(shí)際教學(xué)中，我們可以通過(guò)畫(huà)線段圖再利用轉(zhuǎn)化的策略，溝通前面“比”這個(gè)單元的知識(shí)，發(fā)現(xiàn)其他方法，如45-45÷9×5和45÷9×（9-5）這兩種方法。而且就實(shí)際教學(xué)而言，學(xué)生更喜歡用“比”的方法，因?yàn)橹簧婕罢麛?shù)運(yùn)算，計(jì)算更快。這樣一來(lái)，不但溝通了分?jǐn)?shù)和比之間的聯(lián)系，還為解決此類問(wèn)題提供了多樣的方法，有利于提升解決問(wèn)題的能力。但這個(gè)方法只能作為分?jǐn)?shù)辦法的一個(gè)補(bǔ)充，因?yàn)槿魮Q一個(gè)情境，如“3/7公頃的土地，其中有5/9種白菜，其余種黃瓜，種黃瓜的地有多少公頃”這個(gè)問(wèn)題，學(xué)生可能更多地會(huì)用分?jǐn)?shù)的辦法。

（二）變式化教學(xué)

學(xué)生在實(shí)際學(xué)習(xí)過(guò)程中，要掌握某一數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)，教師需要通過(guò)不同的載體和不同的語(yǔ)言描述，對(duì)知識(shí)點(diǎn)從正反面進(jìn)行“敲打”，以便讓學(xué)生從多角度、多層次去把握數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)。在這個(gè)過(guò)程中，教師對(duì)諸如“一題多變、一題多解、多題一解”變式化教學(xué)的及時(shí)滲透，可以更好地讓學(xué)生把握知識(shí)的本質(zhì)，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，提升解決問(wèn)題的能力。

1.一題多變

例如，蘇教版數(shù)學(xué)六年級(jí)上冊(cè)“解決問(wèn)題的策略//假設(shè)”單元例題1：小明把720毫升果汁倒入6個(gè)小杯和1個(gè)大杯，正好都倒?jié)M。已知小杯的容量是大杯的1/3，小杯和大杯容量各是多少毫升？

首先，引入部分我們可以做如下變式，先不給出兩個(gè)杯子之間的關(guān)系，目的是讓學(xué)生體會(huì)根據(jù)兩個(gè)沒(méi)有關(guān)聯(lián)的量是沒(méi)有辦法求出杯子各自容量的，再適時(shí)引入兩個(gè)量之間的關(guān)系。

其次，如果改成“已知小杯的容量是大杯的2/3……”那么又會(huì)引申出一系列非常豐富的教學(xué)資源，如：

生1：2個(gè)小杯換3個(gè)大杯。

生2：不對(duì)，應(yīng)該是一個(gè)小杯相當(dāng)于2/3個(gè)大杯。

生3：你們都不對(duì)，應(yīng)該是小杯與大杯的比是2 ： 3……

這樣的變式辨析，能讓學(xué)生對(duì)于這個(gè)單元所要學(xué)習(xí)的策略的理解、掌握和運(yùn)用能力更上一層樓。

2.一題多解

如上述變式中所描述，借助幾何直觀也好，借助語(yǔ)言描述也罷，我們至少可以得到以下三種解法：

（1）借助“1個(gè)小杯是1個(gè)大杯的2/3”展開(kāi)想象，那么6個(gè)小杯就會(huì)是……1個(gè)大杯的6×2/3=4倍，這樣一來(lái)，720毫升果汁就是4+1=5個(gè)大杯，進(jìn)而算出答案。

（2）還是借助“1個(gè)小杯是1個(gè)大杯的2/3”這句話，用比去想，小杯容量 ： 大杯容量=2 ： 3，720÷（2×6+1×3）=48（毫升），那么小杯48×2=96（毫升），大杯48×3=144（毫升）。

（3）鑒于大小杯之間互換的關(guān)系比較復(fù)雜，可以用方程，設(shè)大杯容量x毫升，則小杯容量2/3x毫升。列出方程為6×2/3x+x=720，也可以解決問(wèn)題。

條件和問(wèn)題的變化以及一題多解（站在不同角度，運(yùn)用不同知識(shí)，出現(xiàn)不同解法）不僅能幫助學(xué)生透過(guò)題目這個(gè)載體，去看清楚知識(shí)的本質(zhì)，還能使其在了解知識(shí)的本質(zhì)后，選擇合適的方法去解決類似的問(wèn)題，從而積累一些基本經(jīng)驗(yàn)，也可以為解決新問(wèn)題、學(xué)習(xí)新知識(shí)做鋪墊。

3.多題一解

多題一解，也是摸清知識(shí)本質(zhì)特征，提升學(xué)生解決問(wèn)題的能力的一種手段。例子有很多，比如五年級(jí)小數(shù)單元中，會(huì)出現(xiàn)“四舍五入到十分位” “精確到十分位”和“舍去十分位后面的尾數(shù)”以及“保留一位小數(shù)”這樣的表述，這些不同的語(yǔ)言描述指向的是同一個(gè)知識(shí)點(diǎn)。因此，我們?cè)谌粘＝虒W(xué)中，要經(jīng)常通過(guò)變換不同的問(wèn)題表征，來(lái)讓學(xué)生理解并掌握知識(shí)的本質(zhì)，引起學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的深度思考，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

四、回顧反思，梳理積累解決問(wèn)題的策略

在蘇教版數(shù)學(xué)六年級(jí)上冊(cè)“解決問(wèn)題的策略——假設(shè)”單元，有一個(gè)“回顧與反思”的板塊，這個(gè)板塊的設(shè)置是很有必要的。

回顧和反思例題所蘊(yùn)含的策略的教學(xué)過(guò)程，可以幫助學(xué)生理清思路的來(lái)龍去脈，也就是教給學(xué)生一個(gè)思考的“序”。有了這個(gè)“序”，學(xué)生遇到類似的問(wèn)題，就可以按照這個(gè)“序”來(lái)一步步解決問(wèn)題，進(jìn)一步豐富學(xué)生的基本思想方法，積累經(jīng)驗(yàn)。

回顧和反思例題解決的過(guò)程，還可以激活學(xué)生的學(xué)習(xí)記憶，使其回憶起以往學(xué)習(xí)過(guò)程中，哪些地方其實(shí)已經(jīng)運(yùn)用過(guò)這個(gè)策略了，溝通新知與舊知之間的聯(lián)系，從而完善和發(fā)展學(xué)生原有的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，提高學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的清晰性、穩(wěn)定性和可遷移性。

回顧和反思的過(guò)程，也是一個(gè)讓學(xué)生進(jìn)一步明確該策略的本質(zhì)特征的過(guò)程，比如我們可以用“是什么” “為什么” “怎么做”等字眼，以及“這個(gè)策略這么好，我們以后能不能用這個(gè)策略來(lái)解決所有問(wèn)題”等問(wèn)題，讓學(xué)生進(jìn)一步明確該策略的使用范圍和使用方法。

在平時(shí)的例題教學(xué)中，我們也要重視對(duì)已經(jīng)解決的問(wèn)題的回顧和反思。我們通常會(huì)輕視檢驗(yàn)的過(guò)程，殊不知這個(gè)檢驗(yàn)的過(guò)程也是一個(gè)知識(shí)再加工和經(jīng)驗(yàn)再積累的過(guò)程。

比如，蘇教版數(shù)學(xué)六年級(jí)上冊(cè)“百分?jǐn)?shù)”單元例題11，就有檢驗(yàn)的要求，原題如下：錢(qián)大伯培育了480棵松樹(shù)苗，比原計(jì)劃多20%。原計(jì)劃培育松樹(shù)苗多少棵？

檢驗(yàn)的時(shí)候可能出現(xiàn)的方法如下：

方法1：400×20%+400看是否和480相等。顯然學(xué)生是利用了“求一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少”來(lái)檢驗(yàn)的。

方法2：（480-400）÷480看是否和20%相等。顯然學(xué)生是利用了“求一個(gè)數(shù)比另一個(gè)數(shù)多百分之幾”的知識(shí)來(lái)檢驗(yàn)的。

方法3：480-400×20%看是否和400相等。顯然學(xué)生利用了“總量減去部分量等于另一部分的量”這個(gè)數(shù)量關(guān)系來(lái)檢驗(yàn)的。

從中可以看出，第一種方法較容易想到，第二種方法稍難一些，第三種方法不容易想到。盡管檢驗(yàn)的目的都是統(tǒng)一的，但是檢驗(yàn)背后學(xué)生思維的角度、思考的深度和思考的難度以及運(yùn)用的知識(shí)是各不相同的。

“回顧與反思”作為一個(gè)重要的教學(xué)資源，應(yīng)該被教師所重視并好好利用起來(lái)。

五、發(fā)現(xiàn)問(wèn)題比解決問(wèn)題更重要

發(fā)現(xiàn)問(wèn)題在提升學(xué)生數(shù)學(xué)思考，發(fā)展學(xué)生創(chuàng)新能力和綜合實(shí)踐能力方面的重要性是不言而喻的。

在小學(xué)階段，考慮到學(xué)生的數(shù)學(xué)能力有限，教師可以誘導(dǎo)，使學(xué)生發(fā)現(xiàn)并提出問(wèn)題，也可以引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)思維互相碰撞，發(fā)現(xiàn)并提出問(wèn)題。

記得筆者有一次去南師附小學(xué)習(xí)，附小教師比較注重培養(yǎng)學(xué)生自學(xué)能力，上課之前都有一張學(xué)習(xí)單，由大問(wèn)題引領(lǐng)，比如“這節(jié)課我們要學(xué)習(xí)的是什么內(nèi)容” “有什么收獲” “還有哪些疑惑” “你還想深入地了解哪些問(wèn)題”等。聽(tīng)課過(guò)程中可以看得出來(lái)，學(xué)生們思維互相碰撞，“問(wèn)題”頻出，但又很快地被其他學(xué)習(xí)小組所解答，還有一些不在要求掌握的知識(shí)范圍內(nèi)的“意外收獲”。這樣的學(xué)習(xí)形式，就能很好地培養(yǎng)學(xué)生憑借一段學(xué)習(xí)材料，通過(guò)深入思考，從而提出問(wèn)題的能力。

在素質(zhì)教育大背景下，我們培養(yǎng)的應(yīng)該是一個(gè)有一定數(shù)學(xué)素養(yǎng)的學(xué)生。因此，解決問(wèn)題的能力的培養(yǎng)，應(yīng)該從義務(wù)教育階段抓起，要貫穿整個(gè)數(shù)學(xué)教育的始終。因?yàn)檫@有助于學(xué)生更好地用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，用數(shù)學(xué)的思維思考世界，用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)世界，也有助于學(xué)生更好地體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)之間、數(shù)學(xué)與其他學(xué)科之間、數(shù)學(xué)與生活之間的聯(lián)系，形成較強(qiáng)的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)。