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      控制力矩陀螺微振動(dòng)時(shí)的固有頻率波動(dòng)機(jī)理研究

      2023-07-06 09:51:58朱澤昊周徐斌劉興天馮彥軍
      航天器環(huán)境工程 2023年3期
      關(guān)鍵詞:慣量組合體蜂窩

      朱澤昊,周徐斌,劉興天,杜 冬,馮彥軍

      (1.上海衛(wèi)星工程研究所;2.上海航天裝備微振動(dòng)環(huán)境模擬工程技術(shù)研究中心:上海 201109)

      0 引言

      控制力矩陀螺(CMG)是航天器姿態(tài)控制系統(tǒng)的重要執(zhí)行機(jī)構(gòu),被廣泛用于以高分辨率衛(wèi)星[1]為代表的高精度航天器的姿態(tài)控制。近年來(lái),在工程研制中常發(fā)生CMG 擾動(dòng)引發(fā)蜂窩板等彈性支撐結(jié)構(gòu)共振的問(wèn)題,直接影響航天器姿控精度和相機(jī)工作,導(dǎo)致圖像扭曲和模糊,并造成CMG 內(nèi)部機(jī)械部件工作環(huán)境惡化。如何從CMG 的振動(dòng)機(jī)理出發(fā),指導(dǎo)地面試驗(yàn)進(jìn)行不同工況的共振風(fēng)險(xiǎn)測(cè)試,以確保衛(wèi)星在軌工作的可靠性,成為相關(guān)系統(tǒng)設(shè)計(jì)的關(guān)鍵問(wèn)題之一。

      為防止發(fā)生共振,設(shè)計(jì)CMG 時(shí)通常會(huì)避免寬頻激勵(lì)的頻帶范圍覆蓋其固有頻率,然而在CMG旋轉(zhuǎn)過(guò)程中其固有頻率并非定值,因此存在發(fā)生設(shè)計(jì)外共振的風(fēng)險(xiǎn)。具體而言,CMG 是一個(gè)變結(jié)構(gòu)系統(tǒng),其內(nèi)轉(zhuǎn)子和框架的轉(zhuǎn)動(dòng)導(dǎo)致其固有頻率存在不可忽視的波動(dòng)范圍,這使得其共振風(fēng)險(xiǎn)較傳統(tǒng)結(jié)構(gòu)明顯增加。上海航天技術(shù)研究院近幾年對(duì)多個(gè)遙感型號(hào)地面試驗(yàn)和在軌案例的分析也證明了上述情況。

      CMG 的動(dòng)力學(xué)研究是基于轉(zhuǎn)子和陀螺的特性展開的。文獻(xiàn)[2-4]通過(guò)理論建模深入研究了CMG的微振動(dòng)擾動(dòng)輸出特性,但未對(duì)CMG 的本征特性進(jìn)行具體分析。綜合現(xiàn)有研究可知,CMG 固有頻率波動(dòng)的力學(xué)機(jī)理包括兩方面:一是由于旋轉(zhuǎn)機(jī)構(gòu)帶來(lái)的系統(tǒng)慣量變化和陀螺力矩方向的變化;二是由于不同柔性支承結(jié)構(gòu)(如隔振器[4]、蜂窩板[5]、軸承非線性[6])導(dǎo)致的支承剛度變化。

      CMG 的動(dòng)力學(xué)地面試驗(yàn)與飛輪的類似。文獻(xiàn)[7]闡述了剛性邊界下,飛輪靜止時(shí)(未考慮陀螺效應(yīng))安裝界面處的加速度測(cè)量方法。文獻(xiàn)[8-9]考慮陀螺效應(yīng)的影響,設(shè)計(jì)了飛輪旋轉(zhuǎn)時(shí)安裝界面處的加速度測(cè)量方法。CMG 與飛輪最大的區(qū)別在于其框架角的變化會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)慣量和陀螺力矩方向發(fā)生變化,文獻(xiàn)[10]研究得出在不同框架角下CMG微振動(dòng)的響應(yīng)幅值不同,但并未對(duì)CMG 的局部模態(tài)進(jìn)行分析。文獻(xiàn)[11]發(fā)現(xiàn)添加測(cè)力計(jì)導(dǎo)致CMG的一階固有頻率發(fā)生偏移,同時(shí)影響微振動(dòng)響應(yīng),但沒有分析框架角對(duì)固有頻率的影響??傮w來(lái)說(shuō),研究人員對(duì)CMG 固有頻率變化與微振動(dòng)特性的影響關(guān)注較少。

      本文從CMG-蜂窩板組合體固有頻率波動(dòng)的機(jī)理出發(fā),建立蜂窩板上CMG 的等效動(dòng)力學(xué)模型,通過(guò)等效板理論和薄板理論求解蜂窩板剛度矩陣,結(jié)合CMG 工作時(shí)變化的慣量矩陣和陀螺矩陣,得到柔性界面CMG 系統(tǒng)的固有頻率曲線,并分析其波動(dòng)量的影響因素,提出CMG 設(shè)計(jì)優(yōu)化策略,以期為CMG 地面試驗(yàn)設(shè)計(jì)提供理論指導(dǎo),解決CMG 與蜂窩板共振問(wèn)題。

      1 數(shù)學(xué)模型建立

      1.1 CMG-蜂窩板固有頻率波動(dòng)機(jī)理分析

      CMG 作為典型的陀螺系統(tǒng),含有兩個(gè)旋轉(zhuǎn)部件——高速轉(zhuǎn)子系統(tǒng)和低速框架系統(tǒng)。在蜂窩板等柔性支承邊界下,框架低速旋轉(zhuǎn)改變CMG 的主慣量方向,轉(zhuǎn)子高速旋轉(zhuǎn)與蜂窩板的形變產(chǎn)生陀螺效應(yīng),從而改變CMG-蜂窩板組合體的固有頻率。而組合體固有頻率分析需要求解陀螺系統(tǒng)的二次特征值[12]問(wèn)題,即

      式中:M、K為對(duì)稱的慣量矩陣和剛度矩陣,G為反對(duì)稱的陀螺矩陣,皆為六階實(shí)方陣,分別取決于CMG的質(zhì)量特性和蜂窩板的剛度特性;λ和X分別為陀螺系統(tǒng)的特征值和特征向量,分別對(duì)應(yīng)組合體的固有頻率和振型。顯然,M、K、G三者決定了CMG 的固有頻率。下面對(duì)各系統(tǒng)矩陣進(jìn)行詳細(xì)建模。

      1.2 CMG-蜂窩板動(dòng)力學(xué)模型建立

      1.2.1 相關(guān)假設(shè)與坐標(biāo)系建立

      柔性界面CMG 固定坐標(biāo)系Ogxgygzg和蜂窩板面內(nèi)坐標(biāo)系Oxyz如圖1 和圖2 所示,首先假設(shè):

      圖1 柔性界面CMG 坐標(biāo)系Fig.1 Coordinate of flexible interface CMG

      圖2 蜂窩板安裝面坐標(biāo)系Fig.2 Coordinate of honeycomb panel installation

      1)CMG 的質(zhì)量和慣量集中在其質(zhì)心Og處,基座主慣量的方向不變,框架和轉(zhuǎn)子的主慣量方向隨框架旋轉(zhuǎn);

      2)CMG 內(nèi)轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)速固定為Ω;

      3)CMG 安裝在長(zhǎng)×寬×高為a×b×h的蜂窩板上,4 個(gè)固定安裝點(diǎn)(記為Oi,i=1, 2, 3, 4)呈矩形分布(面積m×n),該矩形的中心與板的中心重合,CMG 質(zhì)心Og的高度為d;

      4)Og有6 個(gè)自由度,而由蜂窩板的性質(zhì)可知Oi各有3 個(gè)平動(dòng)自由度。

      1.2.2 慣量矩陣和陀螺矩陣

      在CMG 固定坐標(biāo)系Ogxgygzg下,參考文獻(xiàn)[4],采用一般形式的拉格朗日方程得到柔性支撐CMG 無(wú)阻尼自由振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程

      式中:

      式(2)~式(6)中:xg為CMG 的平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)自由度;m為總質(zhì)量矩陣;Jb為基座主慣量陣;Jg為框架(含轉(zhuǎn)子)初始總主慣量陣;A為坐標(biāo)轉(zhuǎn)換陣;G0為初始陀螺矩陣;δ為框架角;Jp為轉(zhuǎn)子軸向慣量。

      分析式(3)、(4)可知,與轉(zhuǎn)子固有頻率的Cambell圖[12]類似,CMG 的固有頻率受到陀螺效應(yīng)的影響而發(fā)生偏移,區(qū)別在于CMG 的框架繞y軸旋轉(zhuǎn),導(dǎo)致其主慣量陣和陀螺矩陣隨框架角δ變化,且兩矩陣在x、z方向交替變化,因此引起CMG 固有頻率的周期性波動(dòng)??梢姡绊憫T量陣的變量為框架角δ以及CMG 在x、z方向的初始主慣量比Jg1/Jg3,影響陀螺矩陣的變量為框架角δ、轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速Ω和轉(zhuǎn)子軸向慣量Jp。

      1.2.3 蜂窩板剛度矩陣?yán)碚摻?/p>

      CMG-蜂窩板組合體的剛度矩陣K以仿真解為主,未見其數(shù)學(xué)模型以及理論解,而理論解在研究一般規(guī)律時(shí)有更好的效果。為得到組合體的等效剛度矩陣,采用柔度法計(jì)算剛度矩陣,即參考Hoff理論[13]將蜂窩板等效為各向同性板,在板的中心作用單位力(矩)矢量,得到柔度矩陣U,對(duì)其求逆即得剛度矩陣K=U-1。

      1)薄板彎曲問(wèn)題:在(xj,yj)作用集中力Zj,該問(wèn)題有解析解,參考文獻(xiàn)[15],薄板的撓度為

      式中:Cps為滿足力/位移邊界條件的待定常數(shù);k為撓度函數(shù)的階數(shù)。由文獻(xiàn)[15]得四邊簡(jiǎn)支板的待定常數(shù)

      式中D為薄板的彎曲剛度,D=Eh3/[12(1-μ2)],其中E和μ分別為薄板的楊氏模量和泊松比。

      2)平面應(yīng)力問(wèn)題:在(xj,yj)作用集中力Xj、Yj,設(shè)面內(nèi)位移方程為

      式中,Aps、Bps為面內(nèi)位移函數(shù)的待定系數(shù),下面依照其邊界條件進(jìn)行求解。

      將集中力用脈沖函數(shù)δ等效為體作用力,則有平面應(yīng)力問(wèn)題的平衡微分方程組

      式(12)中:Fj=[XjYjZj]T,為各安裝點(diǎn)的各向集中力;Uj=(xj,yj,zj),為各安裝點(diǎn)的位移。

      記板中心到安裝點(diǎn)的矢量為L(zhǎng)i=(ai,bi, 0),板中心位移為U0=(x0,y0,z0,α0,β0,γ0)T時(shí),安裝點(diǎn)位移為

      式中Gi為位移傳遞矩陣,

      則總位移傳遞矩陣為

      其中,U=[U1U2U3U4]T,G=[G1G2G3G4]T。

      同理,得到力的傳遞關(guān)系

      式中:F0=(Fx0,Fy0,Fz0,Mα0,Mβ0,Mγ0)T,為作用在板中心的外力;F=[F1F2F3F4]T。

      綜合式(13)、(16)、(17)及剛度定義式F0=KU0,得總剛度矩陣

      式(18)得到了CMG 質(zhì)心與蜂窩板中心重合時(shí)剛度的解析解,并將蜂窩板等效為一個(gè)六階解耦的彈性單元,當(dāng)蜂窩板中心與CMG 質(zhì)心的距離為d時(shí),平動(dòng)與轉(zhuǎn)動(dòng)剛度存在耦合,最終的剛度矩陣為

      其中

      根據(jù)上述分析,在蜂窩板材料、尺寸確定的情況下,CMG-蜂窩板組合體的剛度矩陣與CMG 的安裝面積S=m×n、安裝區(qū)域長(zhǎng)寬比m/n以及質(zhì)心高度d相關(guān)。

      2 CMG 固有頻率波動(dòng)數(shù)值的仿真結(jié)果分析

      2.1 模型正確性驗(yàn)證

      將式(3)、式(4)與式(19)代入式(1)即可求解CMG-蜂窩板組合體的固有頻率,為驗(yàn)證式(1)所得固有頻率理論解的正確性,采用有限元軟件模態(tài)分析進(jìn)行對(duì)比,仿真參數(shù)的取值見表1。

      表1 CMG-蜂窩板組合體仿真參數(shù)Table 1 Simulation parameters for CMG-honeycomb panel assembly

      CMG-蜂窩板組合體的等效有限元模型如圖3所示,蜂窩板等效為單層板單元,四邊固支并通過(guò)4 個(gè)連接點(diǎn)與CMG 質(zhì)心Og連接。組合體的4 種振型如圖4 所示,其中(a)為繞y軸的彎曲模態(tài),對(duì)應(yīng)X/RY 模態(tài);(b)為繞x軸的彎曲模態(tài),對(duì)應(yīng)Y/RX模態(tài);(c)為沿z軸的線位移模態(tài),對(duì)應(yīng)Z 模態(tài);(d)為繞z軸的扭轉(zhuǎn)模態(tài),對(duì)應(yīng)RZ 模態(tài)。

      圖3 CMG-蜂窩板組合體的有限元模型Fig.3 Finite element model of the CMG-honeycomb panel assembly

      圖4 CMG-蜂窩板組合體的振型Fig.4 Vibration mode of the CMG-honeycomb panel assembly

      對(duì)比δ=0°、Ω=0 Hz 時(shí)CMG 固有頻率的理論解和有限元解(如表2 所示),隨著位移函數(shù)階數(shù)k的增大,理論解與有限元解之間的偏差減小,當(dāng)k=40時(shí),最大偏差為RZ 模態(tài)的13.87%,其余模態(tài)的偏差都在10%以下,說(shuō)明平面應(yīng)力的求解方法收斂較慢,但可以見到其收斂趨勢(shì),故此理論解的正確性得到驗(yàn)證。

      表2 固有頻率的有限元解與理論解對(duì)比Table 2 Comparison between finite element solution and theoretical solution of natural frequency

      2.2 等效剛度矩陣分析

      蜂窩板的等效剛度矩陣與CMG 的安裝面積S=m×n以及安裝區(qū)域長(zhǎng)寬比m/n相關(guān)。令S不變,m/n從0.1 到10 變化,板剛度曲線如圖5 所示,當(dāng)m/n→0.1, 10 時(shí),安裝區(qū)域退化為長(zhǎng)梁,剛度顯著增大;而當(dāng)m/n處于0.2~5 的區(qū)間范圍時(shí),安裝區(qū)域符合板的設(shè)定,剛度沒有變化。

      圖5 板剛度與m/n 的關(guān)系Fig.5 Relationship between plate stiffness and m/n

      令m/n=1.5 不變,改變S,板剛度曲線如圖6 所示,圖中的橫坐標(biāo)為安裝面積比(S/(a×b))??梢钥闯?,隨著安裝面積的增大,安裝區(qū)域邊界趨近板的邊界時(shí),板的剛度迅速增大;當(dāng)安裝區(qū)域邊界無(wú)限靠近板邊界時(shí),板剛度無(wú)窮大。

      圖6 板剛度與安裝面積比的關(guān)系Fig.6 Relationship between plate stiffness and installation area ratio

      上述分析說(shuō)明,當(dāng)CMG 安裝在蜂窩板的中心,且其安裝面積S固定時(shí),安裝區(qū)域的長(zhǎng)寬比不影響板的剛度;安裝區(qū)域面積越大(越接近邊界),板的等效剛度越大。上述方法同樣可用于計(jì)算載荷未安裝在板的中心以及安裝區(qū)域不規(guī)則的情況。

      2.3 CMG 固有頻率分析

      CMG 安裝于蜂窩板時(shí),影響其固有頻率的因素為框架角δ、CMG 質(zhì)心高度d和轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速Ω,最終表現(xiàn)形式為其模態(tài)耦合,如表3 所示:質(zhì)量矩陣使得RZ、RX 慣量耦合,剛度矩陣分別使RX、Y 和RY、X 的平動(dòng)與轉(zhuǎn)動(dòng)剛度耦合,陀螺矩陣使得3 個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度互相耦合。

      表3 CMG 的模態(tài)耦合情況Table 3 Modal coupling of CMG

      由于 CMG 系統(tǒng)矩陣的耦合情況很復(fù)雜,下面分幾種情況進(jìn)行討論。

      1)只考慮剛度耦合,即δ=0,Ω=0,d≠0

      如圖7 所示,改變CMG 的安裝高度d,則x、y向的轉(zhuǎn)動(dòng)剛度與平動(dòng)剛度耦合,使得RY、RX 自由度的固有頻率降低,x、y自由度的固有頻率增加,此時(shí)RX、RY 頻率可能與轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速Ω的擾動(dòng)力共振。

      圖7 CMG 固有頻率隨其質(zhì)心高度的變化Fig.7 Variation of natural frequency with height of center-ofmass

      2)不考慮剛度耦合,即δ≠0,Ω≠0,d=0

      當(dāng)d=0 時(shí)剛度矩陣為對(duì)角陣,圖8 為CMG 位于δ=0°位置時(shí),其固有頻率隨轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速Ω變化的Cambell 圖,其中RX、RY 模態(tài)為正反進(jìn)動(dòng)曲線,由于RX 模態(tài)頻率與Ω在100 Hz 附近有交點(diǎn),存在共振危險(xiǎn)。圖9 為轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速為Ω=100 Hz 時(shí),不同框架角δ下CMG 框架旋轉(zhuǎn)時(shí)六階固有頻率的周期性波動(dòng)情況,可以看到,此時(shí)RX、RY、RZ 模態(tài)頻率都發(fā)生了頻率波動(dòng),由式(3)、(4)可知RX、RZ 的頻率波動(dòng)來(lái)源于x、z方向慣量的交替變化,而RY的波動(dòng)量來(lái)源于增加的陀螺矩陣。

      圖8 CMG 固有頻率隨轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速Ω 變化的Campbell 圖(δ=0°)Fig.8 Campbell plot of CMG natural frequency varying with rotor speed Ω (δ=0°)

      圖9 CMG 固有頻率隨框架角δ 的變化Fig.9 Natural frequency varying with frame angle δ

      2.4 CMG 共振頻帶分析

      由于CMG 框架和轉(zhuǎn)子的旋轉(zhuǎn)導(dǎo)致慣量方向和陀螺力矩方向改變,兩者共同作用使得CMG 的固有頻率發(fā)生復(fù)雜的變化。圖10 為轉(zhuǎn)子升速到100 Hz時(shí),CMG 固有頻率隨框架角變化的包絡(luò)曲線,陰影區(qū)域即為在固定轉(zhuǎn)角下,轉(zhuǎn)子升速時(shí)CMG 固有頻率的變化量。令df1為陰影區(qū)域的最大長(zhǎng)度,df2為該頻率的波動(dòng)寬度,兩者分別表征δ、Ω引起頻率波動(dòng)的頻帶大小。將兩者除以δ=0、Ω=0 時(shí)的基頻f0,得到無(wú)量綱參數(shù)分別表征δ、Ω引起i(i=X, Y, Z, RX, RY, RZ)階模態(tài)頻率波動(dòng)的頻帶大小。

      圖10 不同角度下CMG 固有頻率包絡(luò)(Ωmax=100 Hz)Fig.10 Natural frequency envelope of CMG at different angles (Ωmax=100 Hz)

      當(dāng)轉(zhuǎn)子軸向慣量Jp從0 增加到1 kg·m2時(shí),如圖11 所示,令縱坐標(biāo)為相對(duì)波動(dòng)量riI,橫坐標(biāo)為轉(zhuǎn)子慣量與CMG 同方向慣量的比值Jp/Jg3。由圖可知,與Jp/Jg3成正比,即轉(zhuǎn)子慣量增加時(shí)陀螺效應(yīng)變強(qiáng),這是轉(zhuǎn)子系統(tǒng)所共有的特性。

      圖11相對(duì)波動(dòng)量riI的變化規(guī)律Fig.11 Changepatternof relativefluctuation variable riI

      圖12 相對(duì)波動(dòng)量riII 的變化規(guī)律Fig.12 Change pattern of relative fluctuation variable riII

      3 結(jié)論及建議

      本文建立了蜂窩板上CMG 的動(dòng)力學(xué)模型,分析了導(dǎo)致CMG 固有頻率波動(dòng)的多方面因素,得到結(jié)論如下:1)CMG 的安裝面積比越大,CMG-蜂窩板組合體的等效剛度越大。2)CMG 的安裝高度越高、轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速越快,由于剛度耦合以及陀螺效應(yīng)引起的固有頻率偏移越大;3)轉(zhuǎn)子軸向慣量相對(duì)框架同方向的慣量越大,陀螺效應(yīng)對(duì)CMG 固有頻率的影響越大;4)框架慣量交替變換引起CMG 固有頻率周期性波動(dòng),且交替變換的兩個(gè)慣量差值越大,波動(dòng)量越大。

      基于上述分析結(jié)果提出對(duì)應(yīng)設(shè)計(jì)建議:1)CMG的安裝區(qū)域應(yīng)接近蜂窩板邊界,以確保達(dá)至盡可能高的界面剛度;2)適當(dāng)降低CMG 的安裝高度和轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速,以確保組合體固有頻率的偏移量在可接受的范圍;3)在保證轉(zhuǎn)子慣量Jp滿足姿軌控的角動(dòng)量需求基礎(chǔ)上,通過(guò)適當(dāng)增大框架沿轉(zhuǎn)子軸的慣量Jg3,可以有效減弱陀螺力矩對(duì)CMG 固有頻率的影響。4)令框架慣量Jg3與Jg1(Jg2為電機(jī)軸慣量)接近,可以減小慣量變化引起的固有頻率波動(dòng)。

      同時(shí),上述分析對(duì)CMG 的地面試驗(yàn)也有指導(dǎo)作用,體現(xiàn)在:1)CMG 的固有頻率在其工作過(guò)程中是一個(gè)變值,對(duì)其進(jìn)行準(zhǔn)確測(cè)量較為困難,因此先基于理論分析得到CMG 固有頻率再進(jìn)行微振動(dòng)測(cè)試可以簡(jiǎn)化試驗(yàn)流程;2)通過(guò)CMG 固有頻率的理論分析結(jié)果對(duì)掃頻試驗(yàn)時(shí)的共振頻率進(jìn)行預(yù)測(cè),有助于對(duì)其結(jié)構(gòu)模態(tài)進(jìn)行充分辨識(shí),從而制定更有效的振動(dòng)抑制策略。

      本文主要基于已有的地面試驗(yàn)和在軌測(cè)試現(xiàn)象進(jìn)行理論分析,條件具備時(shí)將對(duì)文中研究?jī)?nèi)容進(jìn)行專門的驗(yàn)證試驗(yàn)。

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