師三分

摘 要：初中數學的教學中，不論是分式，還是一元二次的方程，其相關運算都與因式分解有著密切關聯.而十字相乘法更多是對二次三項的式子實施分解因式，還可以將其運用于一元二次方程、二次函數和x軸的交點坐標、二次不等式等求解中.由此可知，十字相乘法對于因式分解的問題解決有著顯著幫助.

關鍵詞：初中數學；因式分解；十字相乘法；運用思路

十字相乘法是對多項式實施因式分解的重要方法，其在中學數學的相關運算過程中通常有著重要作用.不論是初中階段的數學教學，還是高中階段的數學教學，因式分解都有著重要作用.部分試題中所提及的提公因式法以及公式法通常都無法實施分解因式，但是，通過十字相乘法實施因式分解，不僅有助于學生自身的思維拓展，而且還能使學生更便利地解決相關數學習題，從而使學生實現高效解題.

1 十字相乘法及其在因式分解中的作用

1.1 十字相乘法概述

十字相乘法是通過畫出十字交叉線進行系數分解，以此對二次三項式進行分解的方法.如圖1所示，十字的左邊兩因數相乘與常數項相等，交叉相乘得出的結果進行相加，得出一次項系數，此時，二次三項式能夠分解成兩個多項式相乘的積.

若二次項的系數為負數，就能先將負號提到括號外，將二次項系數轉變成正數，接著再實施因式分解；若二次項的系數為正數，可分兩種情況探討：情況1，二次項系數是1的二次三項式x²+bx+c，即把常數項c拆分為兩個因數，即c₁與c₂，讓這兩個因數的乘積結果正好是常數c，且c₁與c₂二者的和則是一次項系數b.情況2，二次項的系數不是1的二次三項式子ax²+bx+c，也就是將二次項系數a與常數c分別拆為兩個因數，即a₁與a₂、c₁與c₂，其中，a₁與a₂的乘積為a，c₁與c₂的乘積為c，且a₁和c₁或c₂當中的任一個進行相乘得出的積加剩余的因數相乘得出的積正好與一次項的系數b相等.

1.2 十字相乘法在因式分解中的作用

數學教材中因式分解的方法通常有兩種，也就是提公因式法與公式法，就提公因式法來說，其通常屬于多項式的因式進行分解時最為常用的方法，但不論是提公因式法，還是公式法，都有著較大局限性.其更多適合部分多項式，如x²-4x+4可通過平方公式分解成（x-2）²，但有些式子僅通過教材中的方法是無法分解出來的.例如，分解因式x²-3x+2，通過上述兩種方法是無法分解的，而運用十字相乘法，則能對式子進行輕易分解，將其分解為（x-2）（x-1）.

2 以“十字相乘法”進行因式分解

2.1 二項式的平方差

2.1.1 一項是字母平方，一項是數字平方

例1 分解因式x²-9.

解析：如圖2，十字中的左邊x和x相乘得到的結果是多項式第一項x²，右邊-3和3相乘得到的結果則是多項式第二項-9.因此，x²-9=（x-3）（x+3）.

2.1.2 兩項都是字母的平方

例2 分解因式x²-y².

解析：如圖3，十字的左邊為x和x，相乘得到的結果是多項式第一項x²，右邊-y和y相乘得到的結果則是多項式第二項-y².因此，x²-y²=（x-y）（x+y）.

2.1.3 兩項都是數字和字母的平方

例3 分解因式（9x）²-（4y）².

解析：如圖4，十字的左邊為3x和3x，相乘得到的結果是多項式第一項9x²，右邊-2y和2y相乘得到的結果則是多項式第二項-4y².因此，（9x）²-（4y）²=（3x-2y）（3x+2y）.

2.2 三項式因式分解

2.2.1 三項可形成完全平方

例4 分解因式x²+6x+9.

解析：如圖5，雖然該因式是完全平方的一個式子，但通過十字相乘法也能夠有效分解，也就是分解二次項與常數項.十字的左邊為x和x，相乘得到的結果是多項式第一項x²，右邊3和3相乘得到的結果則是多項式常數項9，每條直線的兩式子的乘積和是6x.因此，x²+6x+9=（x+3）（x-3）=（x+3）².同理，如果一次項系數為負數，就能把常數分為兩個負的乘積.

2.2.2 三項包含二次項、一次項、常數項，一次項系數為1

例5 分解因式x²-6x+8.

解析：如圖6，本因式主要是對二次項與常數項進行分解.十字的左邊為x和x，相乘得到的結果是多項式第一項x²，右邊-2和-4相乘得到的結果則是多項式常數項8，每條直線的兩式子的乘積和是-6x.因此，x²-6x+8=（x-2）（x-4），常數分解的兩個數的正負是由一次項系數正負所決定的.

2.2.3 三項包含二次項、一次項、常數項，一次項系數并非1

例6 分解因式2x²-3x+1.

解析：如圖7，本因式主要是對二次項與常數項進行分解.十字的左邊為2x和x，相乘得到的結果是多項式第一項2x²，右邊-1和-1相乘得到的結果則是多項式常數項1，每條直線的兩式子的乘積和是-3x.因此，2x²-3x+1=（2x-1）（x-1），一次項系數是由二次項系數與常數項所確定的.

2.2.4 三項都是二次項

例7 分解因式3x²+5xy+2y².

解析：如圖8，本因式主要是對x和y的平方項進行分解.十字的左邊為3x和x，相乘得到的結果是多項式第一項3x²，右邊2y和y相乘得到的結果則是多項式常數項2y²，每條直線的兩式子的乘積和是5xy.因此，3x²+5xy+2y²=（3x+2y）（x+y）.

2.3 多項式因式ax²+bxy+cy²+dx+ey+f分解

例8 分解因式3x²+5xy-2y²+x+9y-4.

解析：將多項式看作為xy的二次式，依據降冪，將式子整理成（3x²+5xy-2y²）+（x+9y）-4，再對前3項進行十字相乘，將十字相乘法的右邊畫為十字，將常數分解為2個因數，以此使2個因數位于第2個十字中的交叉乘積的和等于3x²+5xy-2y²+x+9y-4當中包含y的一次項系數，同時，和第1個十字左邊的兩個因數交叉的乘積和等于3x²+5xy-2y²+x+9y-4當中包含x的一次項系數，列出雙十字相乘的圖，如圖9，3x²+5xy-2y²+x+9y-4=（3x-y+4）（x+2y-1）.

2.4 多項式因式ax²+bxy+cy²+dxz+eyz+fz²分解

例9 分解因式2x²+5xy-3y²+xz+10yz-3z².

解析：依據十字列出雙十字相乘的圖，詳見圖10：

依據圖10進行系數驗證：

x²：2×1=2；

xy：2×3+1×（-1）=5；

y²：-1×3=-3；

xz：2×（-1）+1×3=1；

yz：-1×（-1）+3×3=10；

z²：3×（-1）=-3.

那么，2x²+5xy-3y²+xz+10yz-3z²=（2x-y+3z）（x+3y-z）.

3 結束語

綜上所述，在初中數學的因式分解中運用十字相乘法，既能實現解題速度的加快，又能實現解題準確率的提高，從而使分式與一元二次方程在進行分解及相關問題解答時，能夠實現問題的清晰化與簡單化，并實現高效解題.