陳穎

摘 要：深度學(xué)習(xí)是培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的有效途徑.而初中數(shù)學(xué)活動(dòng)課中如何進(jìn)行深度學(xué)習(xí)的研究較少.通過(guò)研究實(shí)踐，筆者總結(jié)出初中數(shù)學(xué)活動(dòng)課可以通過(guò)遵循學(xué)生認(rèn)知、理解數(shù)學(xué)本質(zhì)、發(fā)展應(yīng)用意識(shí)和促進(jìn)思維發(fā)展這四個(gè)方面來(lái)進(jìn)行設(shè)計(jì)，進(jìn)而促進(jìn)學(xué)生的深度學(xué)習(xí).

關(guān)鍵詞：深度學(xué)習(xí)；活動(dòng)課；核心素養(yǎng)

初中數(shù)學(xué)活動(dòng)課是數(shù)學(xué)知識(shí)和方法在現(xiàn)實(shí)生活及其他領(lǐng)域中的應(yīng)用.數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)是指在教師引領(lǐng)下，學(xué)生圍繞具有挑戰(zhàn)性的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)主題，積極參與、體驗(yàn)成功、獲得發(fā)展的有意義的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程.初中數(shù)學(xué)活動(dòng)課的深度學(xué)習(xí)體現(xiàn)了《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡(jiǎn)稱(chēng)《標(biāo)準(zhǔn)》）中提到的核心素養(yǎng)三會(huì)要求“會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界”.

筆者有幸參與了福州市市級(jí)課題《深度學(xué)習(xí)背景下的初中數(shù)學(xué)活動(dòng)課教學(xué)設(shè)計(jì)研究》，對(duì)數(shù)學(xué)活動(dòng)課的教學(xué)有了更深的思考.深度學(xué)習(xí)關(guān)注的是“學(xué)生的獲得”，學(xué)生是否學(xué)有所得，是否能夠?qū)χR(shí)學(xué)以致用，舉一反三.通過(guò)研究實(shí)踐，筆者總結(jié)出初中數(shù)學(xué)活動(dòng)課可以通過(guò)以下幾方面來(lái)進(jìn)行設(shè)計(jì).

1 深度思考，遵循學(xué)生認(rèn)知

學(xué)生的認(rèn)知是數(shù)學(xué)知識(shí)和心理結(jié)構(gòu)相互作用形成的產(chǎn)物，是學(xué)生頭腦中的數(shù)學(xué)知識(shí)按照自己理解的深度、廣度，結(jié)合自己的感覺(jué)、知覺(jué)、記憶、思維等認(rèn)知特點(diǎn)組成的具有內(nèi)部規(guī)律的整體.學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)需要深度思考，唯有深入才能領(lǐng)悟，而深度學(xué)習(xí)的主體是學(xué)生，只有遵循學(xué)生的認(rèn)知，才能激發(fā)其學(xué)習(xí)內(nèi)驅(qū)力，挖掘數(shù)學(xué)潛能，獲得數(shù)學(xué)能力.下面以人教版九年級(jí)上冊(cè)“圓”這章的活動(dòng)課“探究四點(diǎn)共圓的條件”為例來(lái)闡述如何遵循學(xué)生認(rèn)知來(lái)進(jìn)行深度思考.

設(shè)計(jì)思路1：

問(wèn)題1：經(jīng)過(guò)一個(gè)點(diǎn)可以確定幾個(gè)圓？

問(wèn)題2：經(jīng)過(guò)兩個(gè)點(diǎn)可以確定幾個(gè)圓？

問(wèn)題3：經(jīng)過(guò)三個(gè)點(diǎn)可以確定幾個(gè)圓？

問(wèn)題4：經(jīng)過(guò)四個(gè)點(diǎn)可以確定幾個(gè)圓？

而后從正方形、矩形、菱形、平行四邊形、等腰梯形、直角梯形切入探索四點(diǎn)共圓的條件有哪些，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)能夠四點(diǎn)共圓的四邊形共同特征：對(duì)角互補(bǔ).

設(shè)計(jì)思路2：

問(wèn)題1：經(jīng)過(guò)三個(gè)點(diǎn)可以確定幾個(gè)圓？

問(wèn)題2：圓內(nèi)接四邊形有什么性質(zhì)？

問(wèn)題3：經(jīng)過(guò)四個(gè)點(diǎn)可以確定幾個(gè)圓？

教師在課前設(shè)計(jì)了兩套方案，通過(guò)問(wèn)題情境來(lái)引發(fā)學(xué)生的思考.在具體的分層教學(xué)實(shí)踐中，因?yàn)锳班（程度較好）的同學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)中已有的經(jīng)驗(yàn)“圓的內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)”，他們可以通過(guò)其逆命題來(lái)猜測(cè)四點(diǎn)共圓的條件，但在證明時(shí)卻無(wú)從下手.于是教師充分利用這一觀念，采用設(shè)計(jì)思路2進(jìn)行教學(xué)，設(shè)置了3個(gè)問(wèn)題串做鋪墊，通過(guò)三點(diǎn)是否共圓的情況，復(fù)習(xí)分類(lèi)討論思想及反證法，為四點(diǎn)共圓的證明搭好腳手架，突破本課的難點(diǎn).對(duì)于B班（基礎(chǔ)較弱）的同學(xué)來(lái)說(shuō)，他們無(wú)法通過(guò)聯(lián)想相關(guān)的知識(shí)進(jìn)行猜測(cè)，這時(shí)采用設(shè)計(jì)思路1，他們更容易理解和接受，從常見(jiàn)四邊形感知四點(diǎn)共圓的條件，培養(yǎng)了學(xué)生的幾何直觀，調(diào)動(dòng)其學(xué)習(xí)熱情，在教師的引導(dǎo)下不斷思考得出結(jié)論.

在不同學(xué)習(xí)程度的班級(jí)采用不同的教學(xué)設(shè)計(jì)思路，目的是貼近學(xué)生思維的最近發(fā)展區(qū)，遵循學(xué)生的認(rèn)知.問(wèn)題串的呈現(xiàn)內(nèi)容要根據(jù)學(xué)生積極思考的結(jié)果做即時(shí)調(diào)整，只有這樣才能激發(fā)學(xué)生頭腦中更多的知識(shí)元.學(xué)生如果能從解決老師提出的問(wèn)題轉(zhuǎn)變到能自己提出問(wèn)題，利用觀察、猜測(cè)、實(shí)驗(yàn)、推理等方法分析問(wèn)題、解決問(wèn)題，就達(dá)到了促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí)，發(fā)展學(xué)生思維，落實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培養(yǎng)的目的.

2 深度探究，理解數(shù)學(xué)本質(zhì)

這是深度學(xué)習(xí)的關(guān)鍵環(huán)節(jié).數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不能只關(guān)注結(jié)果，要讓學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)發(fā)生、發(fā)展的全過(guò)程，只有學(xué)生自己能描述知識(shí)形成的過(guò)程才是深度學(xué)習(xí).因此在這一過(guò)程中，教師要先明確本課中的數(shù)學(xué)本質(zhì)，設(shè)置漸進(jìn)式的探究環(huán)節(jié)，以教師為主導(dǎo)，讓學(xué)生動(dòng)腦、動(dòng)手參與到活動(dòng)探究中，進(jìn)而學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)挖掘出新知識(shí)的本質(zhì)，內(nèi)化并納入到原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中.

以七年級(jí)下冊(cè)“二元一次方程組”這章節(jié)中的數(shù)學(xué)活動(dòng)課“二元一次方程（組）的幾何意義”為例，本節(jié)活動(dòng)課的目的是讓學(xué)生認(rèn)識(shí)二元一次方程的幾何意義，從圖形的角度認(rèn)識(shí)解二元一次方程組就是求兩個(gè)二元一次方程的公共解.而要掌握這些知識(shí)點(diǎn)，就是要抓住“二元一次方程的圖象是一條直線”這一數(shù)學(xué)本質(zhì)，進(jìn)而求二元一次方程組的解就是求兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，為一次函數(shù)的學(xué)習(xí)留下伏筆.

學(xué)生在平面直角坐標(biāo)系中學(xué)過(guò)可以用有序數(shù)對(duì)表示點(diǎn)的坐標(biāo)，初步感受了數(shù)形結(jié)合這一數(shù)學(xué)思想.而本節(jié)的學(xué)習(xí)要理解數(shù)學(xué)本質(zhì)，也可以從數(shù)形這兩方面考慮：其一，從形的角度看，以二元一次方程的解為對(duì)應(yīng)的直線上坐標(biāo)的點(diǎn)；其二，從數(shù)的角度看，直線上的每一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)是這個(gè)二元一次方程的解.教師通過(guò)設(shè)置如下3個(gè)探究活動(dòng)、6個(gè)問(wèn)題讓學(xué)生通過(guò)思考問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題來(lái)理解其本質(zhì).

探究活動(dòng)1：從數(shù)的角度研究，教師讓學(xué)生從研究最簡(jiǎn)單的二元一次方程x-y=0入手，設(shè)置問(wèn)題1、問(wèn)題2、問(wèn)題3，搭建有序數(shù)對(duì)描點(diǎn)方法的腳手架，進(jìn)而繪制出點(diǎn).設(shè)置問(wèn)題4，教師和學(xué)生共同討論得出，所描的點(diǎn)都在同一條直線上.接著師生猜測(cè)x-y=0的圖象是一條過(guò)原點(diǎn)的直線.教師追問(wèn)，畫(huà)出二元一次方程圖象的一般步驟有哪些？和學(xué)生一起歸納得出：① 選取方程的解，② 將方程的解轉(zhuǎn)化坐標(biāo)，③ 描點(diǎn)，④ 任取兩點(diǎn)連線，⑤ 驗(yàn)證.

探究活動(dòng)2：從形的角度研究，設(shè)置問(wèn)題5，讓學(xué)生先從圖象上發(fā)現(xiàn)點(diǎn)的坐標(biāo)滿(mǎn)足方程，教師可借助幾何畫(huà)板找出圖象上的點(diǎn)，利用幾何畫(huà)板的功能，得到點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而檢驗(yàn)發(fā)現(xiàn)直線上的每一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)是這個(gè)二元一次方程的解.最后讓學(xué)生以小組為單位上臺(tái)操作幾何畫(huà)板，驗(yàn)證結(jié)論.

探究活動(dòng)3：設(shè)置問(wèn)題6，任取a，b（a≠0，b≠0）的值，繪制ax+by=0的圖象，同組間同學(xué)交流發(fā)現(xiàn)結(jié)論，讓學(xué)生感受從特殊到一般的思想方法.最后，借助幾何畫(huà)板驗(yàn)證任意二元一次方程的圖象是一條直線.

在這些環(huán)節(jié)中，幾何畫(huà)板這一信息技術(shù)的應(yīng)用為挖掘數(shù)學(xué)本質(zhì)提供了平臺(tái)，這充分體現(xiàn)《標(biāo)準(zhǔn)》中提到的“促進(jìn)信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程融合”的課程理念.通過(guò)教師的連續(xù)追問(wèn)讓學(xué)生的思維外顯，有助于促進(jìn)學(xué)生對(duì)知識(shí)的深度理解，解決了“二元一次方程的圖象是一條直線”這一本質(zhì)問(wèn)題，二元一次方程組的圖象問(wèn)題也迎刃而解.

我國(guó)數(shù)學(xué)家華羅庚說(shuō)過(guò)，數(shù)缺形時(shí)少直觀，形缺數(shù)時(shí)難入微.所以在教學(xué)過(guò)程中再借助如下示意圖1和示意圖2進(jìn)行輔助分析.

3 深度遷移，發(fā)展應(yīng)用意識(shí)

判斷學(xué)生是否學(xué)會(huì)，遷移應(yīng)用是深度學(xué)習(xí)的目標(biāo)達(dá)成的特征之一.學(xué)生在深度理解知識(shí)后，對(duì)知識(shí)進(jìn)行有效的遷移，將知識(shí)創(chuàng)造性的運(yùn)用于新情境中，有助于培養(yǎng)學(xué)生的模型意識(shí)和應(yīng)用意識(shí)，發(fā)展其數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

以二次函數(shù)這章的活動(dòng)課“活動(dòng)1”為例，在經(jīng)歷了發(fā)現(xiàn)模型“若a+b=m，則a=b=m/2時(shí)，ab最大”，用二次函數(shù)的知識(shí)驗(yàn)證模型之后，接著進(jìn)入應(yīng)用模型階段.

問(wèn)題1：已知x+y=8，求xy的最大值.

問(wèn)題2：已知3x+4y=16，求xy的最大值.

問(wèn)題3：分別用定長(zhǎng)為l的線段圍成矩形和圓，哪種圖形面積大？為什么？

問(wèn)題4：對(duì)某條線段的長(zhǎng)度進(jìn)行n次測(cè)量，得到n種結(jié)果x₁，x₂，…x_n，如果用x作為這條路長(zhǎng)度的近似值，當(dāng)x為何值時(shí)，（x-x₁）²+（x-x₂）²+…+（x-x_n）²最??？

在這個(gè)設(shè)計(jì)中，問(wèn)題1，是對(duì)模型公式的簡(jiǎn)單運(yùn)用；問(wèn)題2考查整體化思想，會(huì)用換元的方法運(yùn)用公式；問(wèn)題3和問(wèn)題4是分別出現(xiàn)在“圓”和“數(shù)據(jù)的分析”章節(jié)中的課后題，讓學(xué)生建立新舊知識(shí)間的聯(lián)系，發(fā)現(xiàn)二次函數(shù)在幾何、概率統(tǒng)計(jì)中的應(yīng)用，發(fā)展用聯(lián)系的觀點(diǎn)看問(wèn)題.可以看出遷移不應(yīng)只停留在單一的知識(shí)點(diǎn)，它往往是會(huì)與多個(gè)模塊產(chǎn)生聯(lián)系，要把活動(dòng)中的多個(gè)知識(shí)綜合起來(lái)才能解決實(shí)際問(wèn)題.因此教師在教學(xué)中要重視變式教學(xué)和數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)，促進(jìn)學(xué)生對(duì)知識(shí)的靈活應(yīng)用，提高數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí).教師對(duì)學(xué)生應(yīng)用意識(shí)的培養(yǎng)要經(jīng)歷循序漸進(jìn)、不斷深入的過(guò)程，只有當(dāng)學(xué)生從無(wú)意識(shí)的模仿應(yīng)用狀態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)橛幸庾R(shí)的理解應(yīng)用狀態(tài)，應(yīng)用意識(shí)這一核心素養(yǎng)才能真正得到落實(shí)和提升.

4 深層梳理，促進(jìn)思維發(fā)展

知識(shí)不是孤立的，而是相互關(guān)聯(lián)的，因此新課標(biāo)中提出了單元整體化教學(xué)的理念，提出了要注重教學(xué)內(nèi)容的結(jié)構(gòu)化.對(duì)內(nèi)容的結(jié)構(gòu)化整合，就需要對(duì)知識(shí)進(jìn)行深層梳理.引導(dǎo)深層梳理，可以從知識(shí)梳理和方法梳理兩方面進(jìn)行.知識(shí)梳理可以將知識(shí)之間進(jìn)行深度融合，形成新的知識(shí)結(jié)構(gòu).方法梳理可以通過(guò)系統(tǒng)梳理，找到知識(shí)間相同的思想方法，重建基于思想方法體系的知識(shí)群.

以八年級(jí)活動(dòng)課“用全等三角形研究箏形”為例，這節(jié)課是學(xué)習(xí)完“全等三角形”后的活動(dòng)課，而又在“平行四邊形”學(xué)習(xí)之前，同為幾何研究，可以借鑒三角形的研究思路研究箏形這一特殊的四邊形的性質(zhì).先從定義和性質(zhì)這兩方面知識(shí)進(jìn)行研究.這樣的研究也為后面平行四邊形、矩形、菱形和正方形的研究提供了鋪墊和方向.本節(jié)活動(dòng)課只是對(duì)性質(zhì)進(jìn)行探究，類(lèi)比全等三角形這單元學(xué)習(xí)的研究思路，還可以啟發(fā)學(xué)生對(duì)判定進(jìn)行研究.因此師生再次一起歸納得出研究幾何圖形的基本思路：明確研究對(duì)象（定義）——明確研究?jī)?nèi)容（性質(zhì)、判定）——明確研究意義（應(yīng)用）；得出研究幾何圖形的基本方法：發(fā)現(xiàn)——猜想——驗(yàn)證——證明.

學(xué)生頭腦中的幾何學(xué)習(xí)從最開(kāi)始的直線、射線、線段——相交線與平行線——三角形——全等三角形——軸對(duì)稱(chēng)——平行四邊形——圓，從一維到二維，可以說(shuō)幾何學(xué)習(xí)是層層遞進(jìn)，通過(guò)不斷同化和順應(yīng)，引發(fā)新舊知識(shí)間的聯(lián)系，重建原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，促進(jìn)高階思維的發(fā)展.

深度學(xué)習(xí)是培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的有效途徑，課堂上良好的教學(xué)策略有助于課堂的減負(fù)增效.深度學(xué)習(xí)的目標(biāo)是培養(yǎng)學(xué)生的高階思維，使學(xué)生從“學(xué)會(huì)”走向“會(huì)學(xué)”.深度學(xué)習(xí)是一個(gè)長(zhǎng)期的過(guò)程，因此教師應(yīng)在教學(xué)中多研究、多反思，不斷提高自身深度教學(xué)的水平.

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