徐亮

摘 要：運(yùn)算素養(yǎng)是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要組成部分，是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)應(yīng)該具備的關(guān)鍵能力。培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)算素養(yǎng)旨在明細(xì)運(yùn)算對象的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生依據(jù)算法、算理解決數(shù)學(xué)問題。在新課標(biāo)指導(dǎo)下，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)算素養(yǎng)已經(jīng)成為廣大數(shù)學(xué)教師的重要教學(xué)任務(wù)。文章立足于高中數(shù)學(xué)教學(xué)，分析了學(xué)生運(yùn)算素養(yǎng)的特點(diǎn)以及影響因素，研究了培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)算素養(yǎng)的高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)策略，力爭依托高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)，提升學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)，提高數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量，為促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)發(fā)展奠定基礎(chǔ)。

關(guān)鍵詞：高中；數(shù)學(xué)教學(xué)；運(yùn)算素養(yǎng)；解題

中圖分類號(hào)：G6３? ? ? ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A? ? ? ? ? 文章編號(hào)：1673-9132（2023）22-0057-03

DOI：10.16657/j.cnki.issn1673-9132.2023.22.019

運(yùn)算素養(yǎng)是學(xué)生運(yùn)算能力、觀察能力、邏輯思維能力、表述能力等多種能力的綜合反映，是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要內(nèi)容。歷年高考試題都有大部分題目考查了學(xué)生運(yùn)算素養(yǎng)，這些考題不單單考查了學(xué)生的計(jì)算能力，還考查了學(xué)生對數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)技能、數(shù)學(xué)思維的綜合應(yīng)用，集中反映了學(xué)生綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力?？梢哉f，運(yùn)算素養(yǎng)也是衡量學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的重要指標(biāo)。但是很多學(xué)生在解題過程中出現(xiàn)運(yùn)算出錯(cuò)、運(yùn)算受阻等問題，其根本原因在于學(xué)生運(yùn)算素養(yǎng)發(fā)展不足?；诖耍處煴仨毤訌?qiáng)學(xué)生運(yùn)算素養(yǎng)的培養(yǎng)，以期提高學(xué)生的解題效率。

一、運(yùn)算素養(yǎng)及其特點(diǎn)分析

（一）運(yùn)算素養(yǎng)內(nèi)涵解讀

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）》指出：運(yùn)算能力主要是指能夠根據(jù)法則和運(yùn)算律正確地進(jìn)行運(yùn)算的能力。培養(yǎng)運(yùn)算能力有助于學(xué)生理解運(yùn)算的算理，尋求合理簡潔的運(yùn)算途徑來解決問題。學(xué)生應(yīng)具備的運(yùn)算素養(yǎng)主要指學(xué)生對數(shù)字的計(jì)算、估值、近似計(jì)算，對數(shù)學(xué)式子組合變形與分解，對幾何圖形和幾何量的計(jì)算能力，具體包括學(xué)生分析運(yùn)算條件、選擇運(yùn)算公式、探究運(yùn)算方向、確定運(yùn)算程序的思維能力。這些能力是與學(xué)生記憶理解、判斷推理能力密不可分的，是一種綜合能力。結(jié)合高中階段數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容以及高中數(shù)學(xué)對學(xué)生的基本要求來看，運(yùn)算素養(yǎng)的構(gòu)成包括如下幾方面：

一是學(xué)生對數(shù)學(xué)題目信息的挖掘能力。運(yùn)算的前提是分析運(yùn)算對象，題目中的已知條件、結(jié)論隱含的信息都是運(yùn)算對象，是尋求和設(shè)計(jì)更合理、更簡便的運(yùn)算途徑的必要條件。學(xué)生之所以可以快速準(zhǔn)確地運(yùn)算出結(jié)果，主要源于學(xué)生能夠深入挖掘題目中的各項(xiàng)重要信息。

二是學(xué)生對數(shù)學(xué)運(yùn)算方法的選擇能力。運(yùn)算方法直接決定運(yùn)算量的大小，選擇更優(yōu)方法是提高解題效率的關(guān)鍵。學(xué)優(yōu)生之所以比學(xué)困生運(yùn)算能力強(qiáng)，關(guān)鍵就在于其選擇運(yùn)算方法的能力較強(qiáng)，能夠從眾多運(yùn)算方法中選擇最合適、最簡便、最高效的運(yùn)算方法，從而減少運(yùn)算量，確保運(yùn)算結(jié)果的正確性。

三是學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)方法和思想的能力。高中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中學(xué)生會(huì)學(xué)習(xí)到多種數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)思想，比如待定系數(shù)法、消元法、換元法、配方法等基本運(yùn)算方法，函數(shù)與方程、分類討論、化歸、轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想，學(xué)生能否在具體的問題情境中靈活應(yīng)用這些方法和思想是衡量學(xué)生運(yùn)算能力的重要標(biāo)準(zhǔn)。

四是學(xué)生估算能力。估算，顧名思義估摸著計(jì)算，但不是毫無邏輯的“亂算”，而是依據(jù)問題情境中的元素進(jìn)行合理推算，是提高運(yùn)算效率的重要能力保障。

（二）數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)特點(diǎn)分析

運(yùn)算素養(yǎng)具有層次性。結(jié)合數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)對數(shù)學(xué)運(yùn)算概念的界定來看，高中數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)可以分為如下三個(gè)層次：（1）基本要求——運(yùn)算的正確性，這是對學(xué)生運(yùn)算能力的最基本要求，也是運(yùn)算的根本要求，沒有正確性的運(yùn)算毫無存在價(jià)值。（2）較高要求——運(yùn)算的合理性、簡捷性、快速性，這是建立在學(xué)生掌握算理、算法的基礎(chǔ)上的，是提高學(xué)生運(yùn)算效率、解題能力的關(guān)鍵。（3）高標(biāo)準(zhǔn)要求——運(yùn)算的技巧性和靈活性，這需要學(xué)生掌握一定的數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)思想，并能夠從多種方法和數(shù)學(xué)思想中靈活選擇合適的方法和思想，從而達(dá)到提高解題效率的目的。

運(yùn)算素養(yǎng)具有較強(qiáng)的綜合性。運(yùn)算素養(yǎng)不單單指學(xué)生計(jì)算的能力，更是學(xué)生記憶、觀察、理解、聯(lián)想、表述等多種能力的綜合。運(yùn)算素養(yǎng)不可能離開數(shù)學(xué)知識(shí)孤立存在，也不能離開其他能力而孤立發(fā)展，運(yùn)算能力始終和其他數(shù)學(xué)思維能力相互滲透、相互支持。

因此，教師要有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生掌握運(yùn)算相關(guān)知識(shí)，引導(dǎo)學(xué)生正確分析運(yùn)算對象的特點(diǎn)、性質(zhì)，合理選擇運(yùn)算規(guī)律、運(yùn)算法則，靈活應(yīng)用邏輯方法判斷推理。學(xué)生只有具備這一系列運(yùn)算技能，才會(huì)逐步實(shí)現(xiàn)運(yùn)算素養(yǎng)的提升。

二、影響學(xué)生運(yùn)算素養(yǎng)發(fā)展的關(guān)鍵因素探討

高中數(shù)學(xué)對學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)據(jù)分析等能力有較高要求，這幾方面能力也是高考重點(diǎn)考查內(nèi)容。運(yùn)算素養(yǎng)作為這幾大素養(yǎng)的基礎(chǔ)，既影響著學(xué)生數(shù)學(xué)能力的發(fā)展，也影響學(xué)生學(xué)習(xí)效率的提高。當(dāng)下不少學(xué)生的運(yùn)算能力比較差，無法取得理想的數(shù)學(xué)成績。導(dǎo)致學(xué)生運(yùn)算能力較差的因素有很多，關(guān)鍵因素包括以下幾個(gè)方面：一是數(shù)學(xué)教材“淡化”了運(yùn)算，教材沒有著重突出運(yùn)算內(nèi)容，教師忽略了學(xué)生運(yùn)算能力的培養(yǎng)；二是學(xué)生基礎(chǔ)不扎實(shí)，算理、算法理解偏差，機(jī)械照搬數(shù)學(xué)公式，無法舉一反三、靈活應(yīng)用；三是學(xué)生缺乏結(jié)果意識(shí)，盲目推演，缺乏合理選擇算法的意識(shí)和能力；四是學(xué)生運(yùn)算習(xí)慣較差，審題—分析—選擇—運(yùn)算整個(gè)過程存在粗心大意現(xiàn)象。

三、基于運(yùn)算素養(yǎng)的高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)策略探究

（一）依托課堂解題教學(xué)，培養(yǎng)運(yùn)算素養(yǎng)

引導(dǎo)學(xué)生解決問題是數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的關(guān)鍵一環(huán)，也是提高學(xué)生綜合能力的重要措施。在日常教學(xué)中，教師都會(huì)設(shè)計(jì)幾個(gè)例題，通過例題引導(dǎo)學(xué)生深入探究，充分應(yīng)用課堂所學(xué)知識(shí)和方法解決問題，以達(dá)到理論聯(lián)系實(shí)際以及鞏固提升的教學(xué)目的。鑒于此，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)首要任務(wù)就是立足于課堂典型例題，指導(dǎo)學(xué)生挖掘問題情境中的價(jià)值信息，靈活選擇運(yùn)算方法，綜合應(yīng)用數(shù)學(xué)思想和方法，以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)。以“函數(shù)與方程”相關(guān)內(nèi)容為例，教師可設(shè)計(jì)教學(xué)程序（如圖1所示），增設(shè)典型例題指導(dǎo)，給學(xué)生講解含參問題的求解方法。教學(xué)片段呈現(xiàn)如下：

例1：函數(shù)f（x）＝x2-2，x≤02x-6+1nx，x＞0的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是____。

設(shè)計(jì)意圖：借助典型例題，引導(dǎo)學(xué)生分析問題和歸納求解函數(shù)零點(diǎn)的方法。

訓(xùn)練1：如圖2所示，函數(shù)f（x）＝2xlogx－1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（? ）。A.1? ? B.2? ? C.3? ? D.4

設(shè)計(jì)問題：訓(xùn)練一可以運(yùn)用哪種方法解決？

設(shè)計(jì)意圖：以一題帶出多題，引導(dǎo)學(xué)生靈活選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ń忸}。

師生活動(dòng)：歸納總結(jié)判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的方法：解方程法、數(shù)形結(jié)合法、零點(diǎn)存在性定理法。

這一教學(xué)過程主要以典型例題展開，通過典型例題分析引導(dǎo)學(xué)生掌握本節(jié)課重點(diǎn)知識(shí)，同時(shí)也對學(xué)生進(jìn)行思維能力訓(xùn)練，提高學(xué)生的運(yùn)算素養(yǎng)。

（二）開展專題訓(xùn)練，發(fā)展運(yùn)算能力

在教學(xué)中，我們常常發(fā)現(xiàn)很多學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)扎實(shí)，也掌握了必要的解題方法和數(shù)學(xué)公式，但面對很多常規(guī)題型時(shí)思路閉塞，解題錯(cuò)誤，運(yùn)算效率不高。究其根本原因在于很多學(xué)生沒有真正做到活學(xué)活用，思維窄化制約了解題效率，也影響了學(xué)生運(yùn)算能力的發(fā)展。針對此，我建議廣大數(shù)學(xué)教師加強(qiáng)專題訓(xùn)練，尤其是增加“習(xí)題變式”和“一題多解”專題訓(xùn)練，通過習(xí)題變式處理拓寬學(xué)生的思維空間，促使學(xué)生對所學(xué)知識(shí)進(jìn)行內(nèi)化，達(dá)到觸類旁通、舉一反三的學(xué)習(xí)效果；一題多解則側(cè)重于學(xué)生發(fā)散思維培養(yǎng)，引導(dǎo)學(xué)生多角度分析問題，鼓勵(lì)學(xué)生就同一問題探尋不同的解題方法，開闊學(xué)生解題思路，并從眾多解題方法中總結(jié)歸納最適合自己、最簡單高效的方法，以此提高運(yùn)算效率。同樣以“函數(shù)與方程”相關(guān)內(nèi)容為例，在指導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)了這部分內(nèi)容后，教師可增加“一題多解”和“一題多變”專題訓(xùn)練。

例2：函數(shù)f（x）＝x3－3x2＋a，假設(shè)f（x）存在唯一的零點(diǎn)，求a的取值范圍。

方法一：導(dǎo)數(shù)法+數(shù)形結(jié)合法（畫出圖像）

方法二：令f（x）=0得a=- x3＋3x2，將原函數(shù)設(shè)計(jì)成兩個(gè)函數(shù)：g（x） =- x3＋3x2， h（x） =a， f（x）存在唯一的零點(diǎn)，然后在同一個(gè)直角坐標(biāo)系中作出兩個(gè)函數(shù)的圖像，即可得出a的取值范圍（-∞，0）∪（4，+∞）。

例3：函數(shù)f（x）＝ax3－3x2＋1，假設(shè)f（x）存在唯一的零點(diǎn)，求a的取值范圍。

此題主要設(shè)計(jì)了分類討論思想和數(shù)形結(jié)合思想，需要啟發(fā)學(xué)生作圖、分類討論a＝0，a≠0，a>0，a<0等情況，是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的經(jīng)典習(xí)題。而在指導(dǎo)學(xué)生解決這一習(xí)題后，為進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)算素養(yǎng)，可增設(shè)如下變式訓(xùn)練。

變式訓(xùn)練一：函數(shù)f（x）＝ax3－3x2＋1，假設(shè)f（x）存在兩個(gè)零點(diǎn)，則a的值是________。

變式訓(xùn)練二：將例3中的條件“f（x）存在唯一的零點(diǎn)”改為“f（x）存在三個(gè)零點(diǎn)”，其他條件不變，求a的取值范圍。

通過一題多解和一題多變專題訓(xùn)練，學(xué)生能夠掌握利用函數(shù)有零點(diǎn)求參數(shù)值的常用方法：別離參數(shù)法、數(shù)形結(jié)合法。適當(dāng)開展此類專題訓(xùn)練，不僅可以活泛學(xué)生思維，拓寬學(xué)生思考問題的思路，同時(shí)也能起到鞏固提升、拓展應(yīng)用的教學(xué)目的，促進(jìn)學(xué)生運(yùn)算素養(yǎng)的提升。

（三）培養(yǎng)計(jì)算習(xí)慣，提高運(yùn)算效率

數(shù)學(xué)運(yùn)算是一個(gè)枯燥的過程，不僅需要學(xué)生具備扎實(shí)的運(yùn)算知識(shí)、較強(qiáng)的運(yùn)算技能、靈活的運(yùn)算思維，更需要學(xué)生具備良好的運(yùn)算習(xí)慣。從近幾年高考題型來看，關(guān)于數(shù)學(xué)運(yùn)算的難度逐漸加大，這對學(xué)生的運(yùn)算習(xí)慣要求更高。鑒于此，數(shù)學(xué)教師在日常教學(xué)中要注重學(xué)生運(yùn)算習(xí)慣的培養(yǎng)，提高學(xué)生的運(yùn)算能力。一是規(guī)范學(xué)生解題過程。在日常教學(xué)過程中，要嚴(yán)格要求學(xué)生按照規(guī)范的解題過程進(jìn)行運(yùn)算，避免格式不規(guī)范、解答過程缺乏邏輯等現(xiàn)象。二是培養(yǎng)學(xué)生檢驗(yàn)運(yùn)算結(jié)果的習(xí)慣。結(jié)束運(yùn)算后，教師要讓學(xué)生回顧一遍運(yùn)算過程，檢驗(yàn)運(yùn)算結(jié)果，發(fā)現(xiàn)問題并及時(shí)解決問題。三是培養(yǎng)學(xué)生善用兩個(gè)“本”的習(xí)慣?！氨尽敝覆莞灞?，高中數(shù)學(xué)涉及的運(yùn)算類題目運(yùn)算量還是比較大的，大部分題通過口算是無法直接解決的，所以草稿本是必須的。學(xué)生需要做到草稿本規(guī)范、整潔、有序，方便自我檢查，從而提高運(yùn)算效率。“本”又指錯(cuò)題本，引導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成整理錯(cuò)題的習(xí)慣尤為重要。在錯(cuò)題本上做好錯(cuò)因分析、正確解題過程整理、考點(diǎn)分析、錯(cuò)題歸納、定期翻閱，既可幫助學(xué)生有效規(guī)避同類問題再犯現(xiàn)象，也能幫助學(xué)生鞏固復(fù)習(xí)，提高學(xué)生的運(yùn)算能力。

（四）注重測驗(yàn)后的反思，形成較強(qiáng)的運(yùn)算能力

數(shù)學(xué)運(yùn)算是一個(gè)復(fù)雜的思維活動(dòng)過程，尤其是高中數(shù)學(xué)運(yùn)算，大部分高中數(shù)學(xué)題都不可能通過三兩步就得出結(jié)果。著名數(shù)學(xué)家、教育家波利亞有一句名言“教學(xué)生解題是意志的教育”。換言之，數(shù)學(xué)運(yùn)算需要學(xué)生具備良好的解題意識(shí)，教師要對學(xué)生進(jìn)行解題心理訓(xùn)練和指導(dǎo)，幫助學(xué)生在牢固掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和數(shù)學(xué)技能的同時(shí)形成過硬的心理素質(zhì)、頑強(qiáng)的意志品質(zhì)，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生克服困難的勇氣和信心，這是幫助學(xué)生提高運(yùn)算能力的重要措施。因此，在每一次考試或者測試后，教師都應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生正確看待結(jié)果，加強(qiáng)算理講解和算法比對分析，促使學(xué)生自主反思總結(jié)，啟發(fā)學(xué)生多走一步、多想一想這道題的運(yùn)算結(jié)果是否合理、算理的應(yīng)用是否合理、運(yùn)算過程是否有遺漏或多余、運(yùn)算過程還能否進(jìn)一步優(yōu)化等，促使學(xué)生在反思中內(nèi)省、在總結(jié)中進(jìn)步，進(jìn)而擁有積極面對數(shù)學(xué)問題的自信，做到正確運(yùn)算。

四、結(jié)語

一絲不茍、嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)是學(xué)好數(shù)學(xué)非常重要的兩個(gè)品質(zhì)，而這兩個(gè)品質(zhì)都可以通過計(jì)算訓(xùn)練得來。數(shù)學(xué)教師應(yīng)該重視學(xué)生運(yùn)算素養(yǎng)的培養(yǎng)，引導(dǎo)學(xué)生正確、合理、有效計(jì)算，不斷提升學(xué)生的運(yùn)算素養(yǎng)，促使學(xué)生的解題能力獲得全面發(fā)展。

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