顏智清

求數(shù)列前 n 項(xiàng)和問題具有較強(qiáng)的綜合性，側(cè)重考查等差和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、定義、性質(zhì)以及前 n 項(xiàng)和公式.常見的命題形式有：（1）根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系式求數(shù)列的前 n 項(xiàng)和；（2）根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)公式求數(shù)列的前 n 項(xiàng)和；（3）根據(jù)一個(gè)數(shù)列的前 n 項(xiàng)和求另一個(gè)相關(guān)聯(lián)數(shù)列的前 n 項(xiàng)和.解答數(shù)列求和問題的常用方法有分組求和法、錯(cuò)位相減法、裂項(xiàng)相消法、并項(xiàng)求和法、倒序相加法.下面結(jié)合實(shí)例，談一談這幾種途徑的特點(diǎn)以及應(yīng)用技巧.

一、分組求和

分組求和法是指將數(shù)列中的各項(xiàng)分為幾組，分別進(jìn)行求和.在解題時(shí)，要先仔細(xì)研究數(shù)列的通項(xiàng)公式，將其合理地拆分為幾個(gè)等差、等比、常數(shù)數(shù)列通項(xiàng)公式的和、差；再將數(shù)列劃分為多個(gè)組，分別根據(jù)等差、等比數(shù)列的前 n 項(xiàng)和公式求得每一組數(shù)列的和.

例1.已知Sn 為數(shù)列{an}的前?n 項(xiàng)和，4an =3Sn +1.

（1）求數(shù)列{an} 的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè){bn -an} 是等差數(shù)列，且?b1=2，b2=6，求{bn} 的前?n 項(xiàng)和?Tn .

解：

仔細(xì)觀察數(shù)列{bn} 的通項(xiàng)公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，可發(fā)現(xiàn)該數(shù)列由等差數(shù)列{n} 和等比數(shù)列{4n -1} 的和構(gòu)成，于是將數(shù)列分為兩組，根據(jù)等差、等比數(shù)列的前?n 項(xiàng)和公式分別求出每一組數(shù)列的和，再將所得的結(jié)果相加，即可求得數(shù)列的前?n 項(xiàng)和.

二、錯(cuò)位相減

若一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)為一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)的積，則可采用錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前 n 項(xiàng)和.先將數(shù)列的各項(xiàng)乘以等比數(shù)列的公比，并將各項(xiàng)相加；再將其與數(shù)列的前 n 項(xiàng)和式錯(cuò)位相減，化簡(jiǎn)所得結(jié)果，即可求得數(shù)列的前 n 項(xiàng)和.在解題時(shí)，需重點(diǎn)關(guān)注：（1）數(shù)列通項(xiàng)公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)；（2）錯(cuò)位相減時(shí)，要將指數(shù)相等的項(xiàng)對(duì)齊，并作差，這樣便于運(yùn)算.

例2.設(shè)數(shù)列{an} 的前?n 項(xiàng)和為?Sn ，若?a1=1，?Sn =an +1-1.

（1）求數(shù)列{an} 的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)bn = ，求數(shù)列{bn} 的前?n 項(xiàng)和?Tn .

解：

列出數(shù)列的前?n 項(xiàng)和式，并在該式的左右同乘以等比數(shù)列的公比?，即可得到與①結(jié)構(gòu)相似的式子.此時(shí)只需將①②兩式錯(cuò)開一位，將指數(shù)相同的項(xiàng)相減，即可運(yùn)用等比數(shù)列的前?n 項(xiàng)和公式求得數(shù)列{bn} 的前?n 項(xiàng)和.

三、裂項(xiàng)相消

若數(shù)列的通項(xiàng)公式可裂為兩項(xiàng)之差的形式，如 1 n（n + 1） = 1 n - 1 n + 1 、 1 n + n + k = 1 k （ n + k - n ） ，就 可以采用裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的前n項(xiàng)和.將裂項(xiàng)后的 部分項(xiàng)抵消，化簡(jiǎn)剩余的項(xiàng)，即可快速求得數(shù)列的和.

例3

解：

數(shù)列的各項(xiàng)均為分式，且均可分裂成兩項(xiàng)之差的 形式：1 an = 2 n（n + 1） = 2? è ? ? 1 n - 1 n + 1 .于是采用裂項(xiàng)相消 法，將裂項(xiàng)之后的各項(xiàng)相加，即可求得數(shù)列的和.裂項(xiàng) 相消法較為簡(jiǎn)單，解題的關(guān)鍵在于將數(shù)列的通項(xiàng)公式 進(jìn)行合理的拆分.

例4

解：

我們先將數(shù)列的通項(xiàng)公式裂項(xiàng)，即 bn = 1 4 × 1 n（n + 1） = 1 4 ? è ? ? 1 n - 1 n + 1 ；然后將各項(xiàng)相加，那么各項(xiàng)中絕對(duì)值 相等、符號(hào)相反的項(xiàng)就會(huì)相互抵消，通過簡(jiǎn)單的化簡(jiǎn)， 即可解題.

四、并項(xiàng)求和

運(yùn)用并項(xiàng)求和法求數(shù)列的前 n 項(xiàng)和，需將有規(guī)律的前后項(xiàng)合并作為新的項(xiàng)，構(gòu)造出新數(shù)列，再進(jìn)行求和.用該方法解題的關(guān)鍵在于仔細(xì)研究數(shù)列中各項(xiàng)的規(guī)律，選取合適的對(duì)象進(jìn)行合并，從而簡(jiǎn)化和式.

例5.

解：

根據(jù) an + 1 + an = （n + 1）cos nπ 2 可知，該數(shù)列中每?jī)?項(xiàng)之和存在一定規(guī)律，于是采用并項(xiàng)求和法，先將第 二、三項(xiàng)，第四、五項(xiàng)，第六、七項(xiàng)相加……再根據(jù) cos nπ 2 的周期性求得 S2021 的值.并項(xiàng)求和法主要適用 于求解數(shù)列中幾項(xiàng)的和、差為定值的問題.

五、倒序相加

運(yùn)用倒序相加法求數(shù)列的前?n 項(xiàng)和，要先將所求數(shù)列各項(xiàng)的順序顛倒；再將其各項(xiàng)與原數(shù)列的各項(xiàng)相對(duì)應(yīng)，并相加，即將原來的第一項(xiàng)與新數(shù)列的第一項(xiàng)相加，原來的第二項(xiàng)與新數(shù)列的第二項(xiàng)相加……得（a1+ an） +（a2+ an -1） +（a3+ an -2） +…+（an -1+ a2） +（an + a1）.若數(shù)列中與首末項(xiàng)等距的兩項(xiàng)之和等于首末兩項(xiàng)之和，那么就可以運(yùn)用倒序相加法快速求得數(shù)列的和.

例6.

解：

由?f（x） +f（y） =2可知數(shù)列中的每?jī)身?xiàng)之和存在一定的規(guī)律，于是將數(shù)列各項(xiàng)的順序倒過來，并將其與原數(shù)列相加，得到（n +1）ln（xn yn） ，從而求得數(shù)列的和.

求數(shù)列前 n 項(xiàng)和的方法很多，各種求和方法的應(yīng)用技巧均有所不同，同學(xué)們需熟悉各種方法的特點(diǎn)、適用情形，根據(jù)數(shù)列及其通項(xiàng)公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，選擇與之相應(yīng)的方法進(jìn)行求解.

（作者單位：福建省永春第一中學(xué)）