陳宏亮

摘 要：近年來最值問題成為中考復(fù)習(xí)中的熱點、難點，2022年南通中考25題第三問的直線型軌跡的最值問題全面考查了學(xué)生的思維能力與計算能力，軌跡處理的多樣性決定了解決途徑的多樣化，不同的思考方式?jīng)Q定了不同的處理方式.筆者在教學(xué)時嘗試以大單元微專題的教學(xué)模式，訓(xùn)練學(xué)生以“圖形構(gòu)造”的方式進行思考，進而訓(xùn)練學(xué)生的高階邏輯思維能力，以切實發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)，使學(xué)生真正掌握最值問題的能力.

關(guān)鍵詞：中考復(fù)習(xí)；大單元教學(xué)；直線型軌跡；最值問題

中考幾何壓軸題以高思維力、高靈活度常使學(xué)生望而卻步，因此幾何壓軸題的講評過程是教學(xué)活動中較為復(fù)雜的思維活動的集中體現(xiàn)，對教師的課堂教學(xué)活動設(shè)計要求較高.問題中的輔助線添加更是擺在學(xué)生面前的一道坎.2022年南通中考以軌跡最值問題作為壓軸問題，該問題的表述簡潔，但是方法多樣、思維靈活，極具挑戰(zhàn)性.筆者在大單元中考復(fù)習(xí)中以“直線型最值問題的圖形構(gòu)造”為主線進行微專題教學(xué)，嘗試從代數(shù)、幾何兩方面闡釋最值問題的常規(guī)解決途徑，使學(xué)生真正能從解決問題的角度去思考最值問題中圖形構(gòu)造的來路以及解題出路.

1 試題呈現(xiàn)

關(guān)于軌跡的確定還有其他解決方法，再過點D作軌跡的垂線段即可，本文全部利用三角函數(shù)計算垂線段長度，還可以用相似，或建立直角坐標系后利用點到直線距離公式等方法求解.

3 教學(xué)建議

壓軸題的解決方式具有極強的創(chuàng)造性與關(guān)聯(lián)性，問題的分析既要有思維的發(fā)散也要有思維的發(fā)展.壓軸題講評時，筆者嘗試從條件入手歸納直線型軌跡解決的常用手段，如定角型直線軌跡、定距型直線軌跡、兩點型直線軌跡、瓜豆型直線軌跡、放縮型直線軌跡以及函數(shù)最值構(gòu)造等，在進行微專題研究時，課堂教學(xué)時需要引導(dǎo)孩子從恰當?shù)臈l件入手進行恰當?shù)膱D形構(gòu)造.

3.1 圖形含參代數(shù)構(gòu)造

原則上大部分幾何題都可代數(shù)化，而代數(shù)化后可能會需要進行復(fù)雜的計算.所謂代數(shù)化是通常借助特殊條件把問題中的角、線坐標化，然后借助坐標解決幾何問題.教學(xué)難點在于點的坐標化，教學(xué)中建議教師詳細體現(xiàn)計算過程，這樣的做法有助于學(xué)生觀察模仿.

3.2 圖形殘缺補全構(gòu)造

補全構(gòu)造需要在特殊的圖形背景下進行整體構(gòu)造，如南通中考2021年18題，采用此法就較為簡便.教學(xué)難度在于圖形的還原，教學(xué)中建議教師將部分圖形與完整原圖形對比演示，并引導(dǎo)學(xué)生思考部分圖形與原有圖形的思維方式、問題解決方式之間的異同.

3.3 特殊條件聯(lián)想構(gòu)造

聯(lián)想構(gòu)造需要借助問題中的特殊條件進行構(gòu)造，如中點、角平分線、等腰三角形等等.教學(xué)難點在于相關(guān)圖形的構(gòu)造，這需要學(xué)生有一定的經(jīng)驗積累，如中點的處理、角的處理等.此外還有一個難點，由于問題條件多，以哪個條件為切入口進行分析？這也需要學(xué)生進行選擇.教學(xué)中，建議教師在典型題添加輔助線后及時歸納、總結(jié)輔助線的添加方式，同時還應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會快速選擇條件作為思維的起點.

3.4 模型適用基本構(gòu)造

有些特殊條件與一些幾何模型的條件重合，如旋轉(zhuǎn)全等或相似模型、一線三等角模型中的角度相等，線段比值，直線垂直等.教學(xué)難度在于模型適用性的發(fā)掘，教學(xué)中建議教師需要在一些與模型相關(guān)的問題中，歸納總結(jié)出模型使用的特殊條件.

4 教學(xué)思考

在幾何教學(xué)過程中，教師不能僅僅只分析問題、呈現(xiàn)解題過程，還要引導(dǎo)學(xué)生發(fā)掘幾何條件，讓學(xué)生思考如何處理圖形.通常，單一的題型其理解方式也呈現(xiàn)出多樣化，要求學(xué)生以較廣的視野、較高的思維理解問題，因此以大單元微專題的形式總結(jié)圖形構(gòu)造的來路，發(fā)掘解決問題的出路，有利于學(xué)生的學(xué)習(xí)，同時也能幫助學(xué)生站在思維的最高點，享受提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)后帶來的高階思維的優(yōu)越性.