多元表征，讓數(shù)學(xué)思維之花綻放
——以《認(rèn)識(shí)平均分》教學(xué)為例

文|胡小慧

【教學(xué)內(nèi)容】

蘇教版二年級(jí)上冊(cè)第42、43 頁(yè)。

【教學(xué)過(guò)程】

一、見(jiàn)字聯(lián)想，引出“平均分”

師：看到“分”字，你想到了什么？

生1：人民幣的單位“分”。

生2：分開(kāi)。

生3：分一分。

生4：分東西。

師：在生活中,我們經(jīng)常會(huì)遇到分東西,你能舉一些例子嗎？

師：其實(shí)在這些分的過(guò)程中,蘊(yùn)含了很多的數(shù)學(xué)知識(shí),今天的學(xué)習(xí)就從分東西開(kāi)始。

二、動(dòng)手操作，學(xué)習(xí)“平均分”

1.感知“平均分”

師：老師帶來(lái)了6 個(gè)桃，要把這6 個(gè)桃子分成兩堆。你會(huì)分嗎？

師：大家可以用圓片代替桃，動(dòng)手分一分。

師：誰(shuí)來(lái)把你分的結(jié)果與大家分享一下？

生1：一堆1 個(gè)，一堆5 個(gè)。

生2：一堆2 個(gè)，一堆4 個(gè)。

生3：一堆3 個(gè)，另一堆也是3 個(gè)。

提問(wèn)：把6 個(gè)桃子分成2 堆，同學(xué)們想出了三種分法，你更喜歡哪種分法？為什么？

生：第三種。因?yàn)榈谌N公平，每一份都同樣多。

師：在數(shù)學(xué)王國(guó)中，像這種每份分得同樣多叫做平均分。這就是今天我們要學(xué)習(xí)的內(nèi)容——認(rèn)識(shí)平均分。

追問(wèn)：要怎樣分才是平均分？

師：那么這6 個(gè)桃，還可以怎么平均分呢？

預(yù)設(shè)：

預(yù)設(shè)：

追問(wèn)：觀察這3 種平均分的方法，它們有什么相同的地方和不同的地方嗎？

小結(jié)：不管分成幾份，只要每份分得同樣多，就是平均分。

師：這兩幅桃子圖的分法是平均分嗎？為什么？

生1：第二幅圖是平均分。因?yàn)? 個(gè)桃，每份3 個(gè)，分成了3 份。

生2：第一幅圖不是平均分。因?yàn)槊糠莘值貌煌瑯佣?，一?個(gè)，一份4 個(gè)。

師：你有什么辦法讓第一幅圖成為平均分？

生1：左邊去掉1 個(gè)桃。

生2：右邊添上1 個(gè)桃。

……

2.探索“怎樣分”

師：現(xiàn)在老師給你們8 個(gè)桃子，怎么分呢？每個(gè)小朋友分2個(gè)，可以分給幾個(gè)小朋友？

師：先在圖中分一分。

師：同學(xué)們真了不起，有的畫(huà)小豎線，有的在下面畫(huà)橫線，還有的用圈一圈方法都表示了8 個(gè)桃，每人分2 個(gè)。一般情況下我們用圈一圈的方法來(lái)表示。

拓展：8 個(gè)桃，每個(gè)小朋友分（ ）個(gè)，可以分給（ ）個(gè)小朋友。

追問(wèn)：這些分法都是平均分嗎？為什么？

小結(jié)：都是8 個(gè)桃，雖然分得方法不一樣，但都是平均分。（板書(shū)：每幾個(gè)一份）

三、拓展練習(xí)，運(yùn)用平均分

1.“想想做做”第2 題

師：（出示10 塊餅干，前2 塊餅干被圈出來(lái)）表示什么意思？

生：表示每2 塊一份。

師：想一想，10 塊餅干，每2塊一份，分成了幾份呢？

學(xué)生交流：10 塊餅干，每?jī)蓧K圈一個(gè)圈，分成了5 份。

師：還有糖果、巧克力要分，老師想讓同學(xué)們自己完成，請(qǐng)打開(kāi)課本第43 頁(yè)“想想做做第2題”，找到要分的糖果和巧克力，拿出鉛筆在書(shū)上圈一圈，再填空。

2.過(guò)渡：出示氣球

出示題目：15 個(gè)氣球，每人分3 個(gè)，可以分給（ ）人。

師：自己先想一想，用什么辦法來(lái)解決，再填空。

生2：3×5=15。

生3：15÷3=5。

四、無(wú)限創(chuàng)意，拓展平均分

先四人一小組交流，再選一小組上臺(tái)交流。

提問(wèn)：你們真會(huì)思考、會(huì)合作、更會(huì)交流，想出了5 種不同的分法。分的都是12 根小棒，這些分法為什么都是“平均分”？

師：你們能把這5 種分法有序地排排隊(duì)嗎？

（學(xué)生整理略）

師：像這樣有序地排列，能夠讓我們不重復(fù)也不遺漏，把所有的分法清清楚楚地表示出來(lái)。請(qǐng)同學(xué)們仔細(xì)觀察這些平均分的方法，你發(fā)現(xiàn)什么了？

生1：我發(fā)現(xiàn)沒(méi)有每份5 根。

師：為什么沒(méi)有每份5 根呢？

生2：因?yàn)槿绻糠? 根的話(huà)就不能每份分得同樣多，就不是平均分了。

生3：我發(fā)現(xiàn)都是12 根小棒，每份的根數(shù)越多，分成的份數(shù)就越少。

師：總數(shù)不變時(shí)，每份的根數(shù)越多，分的份數(shù)就越少；每份的根數(shù)越少，分的份數(shù)就越多。

師：請(qǐng)同學(xué)們大膽地去想象，大膽地去創(chuàng)作，用彩筆記錄下來(lái)。

反饋交流：創(chuàng)作好的同學(xué)可以把你的作品展示出來(lái)。

師：你能把這些作品也按照一定的順序排排隊(duì)嗎？

師：根據(jù)排列好的作品，你有什么發(fā)現(xiàn)嗎？

生1：我發(fā)現(xiàn)圖形的個(gè)數(shù)每次都在增加，每幾個(gè)一份也在增加。

生2：我還發(fā)現(xiàn)圖形的個(gè)數(shù)每次增加4 個(gè)，4、8、12……，都是分成了4 份。

五、回顧反思，深化平均分

師：下面我們一起來(lái)回顧今天的學(xué)習(xí)過(guò)程。首先通過(guò)分桃、分餅干、分糖果等學(xué)習(xí)了平均分，知道了什么才是平均分，怎樣分才是平均分，最后老師還讓大家進(jìn)行無(wú)限創(chuàng)意，創(chuàng)作了許多的作品，你們都是小小創(chuàng)作家。

【課后思考】

一、教材深度盤(pán)活，促進(jìn)概念建構(gòu)

本節(jié)課我充分研究教材，盤(pán)活教材，關(guān)注學(xué)生的興趣點(diǎn)、障礙點(diǎn)和發(fā)展點(diǎn)。首先在黑板上出示“分”字，讓學(xué)生說(shuō)一說(shuō)看到“分”字你能想到什么？接著根據(jù)學(xué)生的回答，巧用素材，努力做到一“材”多用、一“材”多變、一“材”多效，結(jié)合現(xiàn)實(shí)、有趣的教學(xué)情境，引導(dǎo)學(xué)生從分桃的生活經(jīng)驗(yàn)入手，進(jìn)行無(wú)序地分；然后聚焦生成的基礎(chǔ)性資源，讓學(xué)生觀察3 種分法，你更喜歡哪一種分法，從而引出每份分得的“同樣多”就是“平均分”的概念，突出平均分的本質(zhì)屬性，幫助學(xué)生理解概念的內(nèi)涵。整節(jié)課讓學(xué)生在“分”物品的過(guò)程中，感受平均分的內(nèi)涵和外延，以“分”促思，促進(jìn)概念的意義建構(gòu)，讓學(xué)生真正理解“平均分”。

二、豐盈思維過(guò)程，提升思維能力

數(shù)學(xué)是思維的體操，數(shù)學(xué)教學(xué)的主要目的是發(fā)展學(xué)生的思維，幫助學(xué)生獲得認(rèn)知的建構(gòu)。鄭毓信教授認(rèn)為：基于學(xué)生核心素養(yǎng)培養(yǎng)的數(shù)學(xué)概念教學(xué)，應(yīng)當(dāng)努力幫助學(xué)生建立抽象數(shù)學(xué)概念的適當(dāng)表征，由“單一表征”過(guò)渡到“多元表征”。理解概念的關(guān)鍵在于將數(shù)學(xué)概念的抽象定義的含義轉(zhuǎn)換成易于學(xué)生理解和運(yùn)用的適當(dāng)?shù)男睦肀硐蟆?/p>

本節(jié)課以“分”為主線，在現(xiàn)實(shí)情境中借助實(shí)物表征、動(dòng)作表征、圖形表征、言語(yǔ)表征、符號(hào)表征等，引導(dǎo)學(xué)生勾連各種表征之間的聯(lián)系，并通過(guò)這種聯(lián)系全面理解數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)，透過(guò)多元表征表象透視知識(shí)內(nèi)核，在習(xí)得方法的同時(shí)促進(jìn)思維向縱深發(fā)展，加深對(duì)數(shù)學(xué)概念的認(rèn)識(shí)，完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)，形成穩(wěn)固的知識(shí)體系，促進(jìn)數(shù)學(xué)思維拔節(jié)生長(zhǎng)，提升思維能力。

本節(jié)課在認(rèn)識(shí)了平均分后，讓學(xué)生思考這6 個(gè)桃還可以怎樣平均分，通過(guò)對(duì)學(xué)生3 種平均分的觀察，追問(wèn)：同樣都是6 個(gè)桃，為什么這3 種不同的分法都是“平均分”呢？再次凸顯平均分的本質(zhì)含義，強(qiáng)化學(xué)生對(duì)平均分的認(rèn)識(shí)。再讓學(xué)生分8 個(gè)桃，每個(gè)小朋友分2 個(gè)，可以分給幾個(gè)小朋友，學(xué)生動(dòng)手操作，分一分，圈一圈，讓學(xué)生初步感悟“平均分”的方法。接著讓學(xué)生繼續(xù)分一分，8個(gè)桃，如果每個(gè)小朋友分4 個(gè)，可以分給幾個(gè)小朋友，如果每個(gè)小朋友分1 個(gè)，可以分給幾個(gè)小朋友。3 次分完后，追問(wèn)：這3 種分法是不是都是平均分？為什么？學(xué)生通過(guò)老師的不斷追問(wèn)，在追問(wèn)中不斷思考，感悟平均分的本質(zhì)含義。因?yàn)榻處熣业接袃r(jià)值的核心問(wèn)題，學(xué)生的思維會(huì)圍繞問(wèn)題產(chǎn)生興奮。思維的興奮將激發(fā)學(xué)生產(chǎn)生思考的愿望，產(chǎn)生學(xué)習(xí)的激情，并積極參與到互動(dòng)交流中去。

三、創(chuàng)意深度開(kāi)發(fā)，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)

為了重塑課堂結(jié)構(gòu)和流程，讓數(shù)學(xué)課堂充盈對(duì)話(huà)、啟迪、爭(zhēng)辯和挑戰(zhàn)，我精心組織了兩次創(chuàng)意活動(dòng)，層層推進(jìn)，不斷完善“平均分”的概念理解，從而為學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升創(chuàng)造了更為積極、有利的條件。

第一次創(chuàng)意活動(dòng)：12 根小棒，每幾根一份，可以分成幾份？請(qǐng)你先動(dòng)手圈一圈，再填空。接著讓學(xué)生觀察所有的分法，并且有序排列，教師追問(wèn)：分的都是12 根小棒，這些分法為什么都是“平均分”？初步感悟總數(shù)、每份數(shù)與份數(shù)的關(guān)系：每份分的根數(shù)越多，分的份數(shù)就越少，每份分的根數(shù)越少，分的份數(shù)就越多。

第二次創(chuàng)意活動(dòng)：請(qǐng)你用自己喜歡的圖和方式表示出平均分。我畫(huà)了（ ）個(gè)圖形，每（ ）個(gè)一份，分成了4 份。請(qǐng)同學(xué)們大膽地去想象、大膽地去創(chuàng)作，用彩筆記錄下來(lái)。學(xué)生經(jīng)常經(jīng)歷這樣的思維“歷練”，其敏銳度和深刻度會(huì)得到質(zhì)的飛躍，學(xué)生的思維能向縱深發(fā)展，真正提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2022 年版）指出，認(rèn)真聽(tīng)講、獨(dú)立思考、動(dòng)手實(shí)踐、自主探索、合作交流等是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式。本節(jié)課這兩個(gè)富含趣味的數(shù)學(xué)創(chuàng)意活動(dòng)，通過(guò)小組合作，全班分享，增進(jìn)學(xué)習(xí)合力，提高了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的積極性，提升了數(shù)學(xué)素養(yǎng)。課堂不應(yīng)成為教師或部分學(xué)生唱“獨(dú)角戲”的舞臺(tái)，而應(yīng)是所有學(xué)生都能自信展示、暢所欲言的地方，當(dāng)學(xué)生的思維被調(diào)動(dòng)起來(lái)，思維層次就能得到提升。

通過(guò)學(xué)生的分享能“見(jiàn)樹(shù)木更見(jiàn)森林”，使“我的學(xué)習(xí)”走向“我們的學(xué)習(xí)”，使學(xué)生有機(jī)會(huì)從不同視角來(lái)看待同一材料，生長(zhǎng)出新的想法。課堂中發(fā)揮大腦的無(wú)限認(rèn)知能力和創(chuàng)造功能，激發(fā)學(xué)生創(chuàng)造潛力，每名學(xué)生都能充分參與，享受數(shù)學(xué)帶來(lái)的無(wú)限樂(lè)趣。