李建英 易良斌

編者按：《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》提出改變過于注重以課時為單位的教學(xué)設(shè)計，推進(jìn)單元整體教學(xué)設(shè)計，體現(xiàn)數(shù)學(xué)知識之間的內(nèi)在邏輯關(guān)系，以及學(xué)習(xí)內(nèi)容與核心素養(yǎng)表現(xiàn)的關(guān)聯(lián). 但從教師的理性自省和實踐自覺上看，能把握好從單元到課時的關(guān)系，并真正將單元整體教學(xué)有效落在實處，仍然不盡如人意. 由本刊推出的“單元整體視角下的數(shù)學(xué)核心內(nèi)容研究”專題征稿活動，意在倡導(dǎo)廣大中學(xué)數(shù)學(xué)教師提高教學(xué)立意，聚焦數(shù)學(xué)核心內(nèi)容，增強(qiáng)教師從單元到課時的設(shè)計意識，落實數(shù)學(xué)教學(xué)的整體觀、聯(lián)系觀，更好地培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

為了推動單元整體教學(xué)研究，本期集中刊出3篇“單元整體視角下的數(shù)學(xué)核心內(nèi)容研究”專題文章. 希望這些案例能對廣大讀者有所啟發(fā)，引發(fā)對有關(guān)內(nèi)容更廣泛而深刻的討論，產(chǎn)生更多的研究成果.

歡迎廣大讀者就單元整體教學(xué)的研究踴躍投稿，本刊將擇優(yōu)繼續(xù)刊登.

摘? 要：在深度教學(xué)理念的引領(lǐng)下，教學(xué)越來越注重數(shù)學(xué)知識的整體性，以及教學(xué)對象研究過程的整體性. 基于整體理解的教學(xué)設(shè)計能夠有效把握教材和學(xué)生，逆向教學(xué)設(shè)計以生為本，以目標(biāo)為綱，以評價為索. 以“因式分解”單元起始課的教學(xué)為例，闡述單元整體視角下的逆向教學(xué)設(shè)計有助于學(xué)生建立知識與知識之間的聯(lián)系，直至產(chǎn)生知識結(jié)構(gòu)，在課堂中逐步形成和發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

關(guān)鍵詞：單元整體；逆向教學(xué)設(shè)計；核心素養(yǎng)

作者簡介：李建英（1985— ），女，一級教師，主要從事初中數(shù)學(xué)教學(xué)研究；

易良斌（1963— ），男，高級教師，浙江省特級教師，主要從事初中數(shù)學(xué)教育研究.

有厚度的數(shù)學(xué)教學(xué)要求教師在教學(xué)設(shè)計中做到眼中有“木”，腦中有“林”，心中有“森”. 教師有意識地從單元整體視角設(shè)計教學(xué)，不僅有利于學(xué)生更深刻地理解數(shù)學(xué)知識，更有利于學(xué)生感受知識建構(gòu)的內(nèi)在邏輯關(guān)系. 教師要改變傳統(tǒng)的淺理解、輕目標(biāo)、缺評估的教學(xué)模式，創(chuàng)新教學(xué)設(shè)計流程，即優(yōu)先關(guān)注學(xué)生的預(yù)期學(xué)習(xí)結(jié)果，制訂教學(xué)目標(biāo)，以評價任務(wù)為導(dǎo)向，以目標(biāo)賦能設(shè)計課堂教學(xué)活動，最后檢驗教學(xué)成效. 教學(xué)的主體也從“以教師為主體”轉(zhuǎn)變?yōu)椤耙詫W(xué)生為主體”. 如何將單元整體教學(xué)與逆向教學(xué)設(shè)計完美融合，發(fā)揮“1 + 1 > 2”的功效？本文以浙教版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》七年級下冊（以下統(tǒng)稱“教材”）第4章“因式分解”單元起始課為例進(jìn)行闡述.

一、基于單元整體的目標(biāo)設(shè)定

教學(xué)目標(biāo)是一節(jié)課的總綱領(lǐng)，基于單元整體的教學(xué)設(shè)計不僅要著眼于本課時的短期目標(biāo)，更要與大單元的目標(biāo)深度結(jié)合. 本單元延續(xù)第3章學(xué)習(xí)的整式的乘除運算的內(nèi)容，基于整式運算的完備性討論的需要引入因式分解，讓學(xué)生體會在進(jìn)行多項式除以多項式時，需要將多項式變形為乘積的形式才能夠解決問題，從而引出學(xué)習(xí)因式分解的必要性. 因式分解的基本方法是依據(jù)整式乘法法則和乘法公式. 其中，提取公因式是解決高次多項式的通法，而公式法則讓學(xué)生關(guān)注特殊情況. 本單元研究因式分解的路徑是“概念—方法—應(yīng)用”. 學(xué)生在這一章的學(xué)習(xí)中會反復(fù)經(jīng)歷整式乘法到因式分解的逆向變形，以培養(yǎng)學(xué)生逆向思考的習(xí)慣. 在第1課時的教學(xué)中類比分解質(zhì)因數(shù)的概念導(dǎo)入新課，體現(xiàn)類比思想. 在方法的獲得上，學(xué)生通過觀察大量實例，能夠?qū)Χ囗検降慕Y(jié)構(gòu)自主進(jìn)行歸納分析，形成文字語言和符號語言，提升觀察歸納的能力；利用因式分解進(jìn)行簡便運算和代數(shù)式求值，需要學(xué)生運用合理、簡潔的方法求解，能夠提升學(xué)生的運算能力.

基于以上對教材內(nèi)容的邏輯關(guān)系、知識上下位關(guān)系，以及學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)發(fā)展需要的分析，筆者將本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)設(shè)置如下.

（1）能類比因數(shù)分解到因式分解，了解因式分解的概念.

（2）經(jīng)歷整式乘法到因式分解的逆向變形，了解因式分解與整式乘法互逆的關(guān)系.

（3）通過自主舉例、分類歸納，歸納因式分解的常用方法，體現(xiàn)歸納思想.

（4）構(gòu)建單元整體知識結(jié)構(gòu)，滲透數(shù)學(xué)知識之間的整體聯(lián)系，體會“為什么學(xué)、學(xué)什么、怎么學(xué)”的新知學(xué)習(xí)路徑.

（5）培養(yǎng)學(xué)生逆向思考問題的習(xí)慣，感受類比思想、歸納思想在代數(shù)學(xué)習(xí)中的重要地位，發(fā)展學(xué)生觀察分析與交流表達(dá)的能力.

二、基于單元整體確定學(xué)生能達(dá)成預(yù)期學(xué)習(xí)結(jié)果的評估內(nèi)容及標(biāo)準(zhǔn)

確定學(xué)習(xí)目標(biāo)后，教師要思考根據(jù)什么標(biāo)準(zhǔn)來衡量、評價學(xué)生的任務(wù)完成情況，以及通過怎樣的評價活動與任務(wù)來檢驗學(xué)習(xí)目標(biāo)的完成情況，即評價證據(jù).

1. 確定衡量標(biāo)準(zhǔn)

達(dá)成教學(xué)目標(biāo)（1）的標(biāo)志：能感受因式分解的必要性，能類比因數(shù)分解得到因式分解的概念，會根據(jù)因式分解的概念辨別等式變形是否屬于因式分解.

達(dá)成教學(xué)目標(biāo)（2）的標(biāo)志：能將整式乘法變形為因式分解，會利用整式的乘法檢驗因式分解的正確性.

達(dá)成教學(xué)目標(biāo)（3）的標(biāo)志：了解公因式的概念，會確定多項式的公因式；掌握提取公因式法，體會整體思想在本節(jié)內(nèi)容中的應(yīng)用；快速辨別能否利用平方差公式、完全平方公式分解多項式，知道公式中的[a，b]既可以是單項式也可以是多項式；掌握分解因式的一般步驟.

達(dá)成教學(xué)目標(biāo)（4）的標(biāo)志：能自主梳理知識體系，構(gòu)建思維導(dǎo)圖.

達(dá)成教學(xué)目標(biāo)（5）的標(biāo)志：在后期的學(xué)習(xí)中自覺運用類比思想、歸納思想.

2. 確定評價證據(jù)

診斷性評價：教師利用前測喚醒學(xué)生的舊知，以問題串搭建整體知識框架，引出新知；教師通過學(xué)生在自評、口答等方面的表現(xiàn)對學(xué)生的解釋能力作出評價，指向教學(xué)目標(biāo)（1）.

形成性評價：教師引導(dǎo)學(xué)生類比分解質(zhì)因數(shù)，探究并歸納因式分解，通過自主探究、小組合作等學(xué)生活動發(fā)現(xiàn)因式分解的實質(zhì)并進(jìn)行方法探究，教師對學(xué)生在這些活動中的洞察、闡明、應(yīng)用等能力作出適當(dāng)評價，指向教學(xué)目標(biāo)（2）（3）.

總結(jié)性評價：教師對學(xué)生的知識遷移、應(yīng)用能力，以及積極解決問題的能力作出評價. 學(xué)生通過如圖1所示的學(xué)后反思完成自評，教師根據(jù)學(xué)生在自評中表現(xiàn)出的自我認(rèn)知、自我觀察、自我反思作出評價，指向教學(xué)目標(biāo)（4）.

三、基于單元整體的目標(biāo)達(dá)成及教學(xué)實施

逆向教學(xué)設(shè)計的第三階段是依據(jù)既定目標(biāo)設(shè)計教學(xué)過程，開展教學(xué)活動，整體的教學(xué)活動安排都是為了完成第二階段的評價任務(wù)而進(jìn)行的. 也就是說，一節(jié)課結(jié)束后，學(xué)生能夠在教師的引導(dǎo)下完成評價任務(wù)并掌握相應(yīng)的知識和技能.

1. 探究觸發(fā)，知識本源

環(huán)節(jié)1：獲得概念.

通過前測鞏固整式的乘除法運算.

（1）[a2b ? -3ab3]；

（2）[2xx-3y]；

（3）[x-1x+2]；

（4）[x-1x+1]；

（5）[y+22]；

（6）[3abc2÷-abc]；

（7）[3xy-6x2y2÷3x]；

（8）[5yy+22y-2÷yy+2].

問題1：我們學(xué)習(xí)的整式乘法有哪些類型？整式的除法呢？

追問1：我們還可能遇到哪種類型的運算？

追問2：你能計算[x-yx+y÷x+y]嗎？[x2-y2÷][x+y]呢？

【設(shè)計意圖】引導(dǎo)學(xué)生從已有認(rèn)知出發(fā)解決具體問題，讓學(xué)生體會在進(jìn)行多項式除以多項式的運算時需要將多項式變形為乘積的形式才能夠解決問題，引出因式分解的必要性. 指向教學(xué)目標(biāo)（1）的評估.

2. 概括提升，探求本質(zhì)

環(huán)節(jié)2：明確概念.

問題2：運算中，有時要將一個多項式變形成幾個整式乘積的形式，類比小學(xué)階段學(xué)習(xí)的因數(shù)分解，這樣的多項式變形可以叫做什么呢？

追問1：類比分解質(zhì)因數(shù)的定義，嘗試用文字語言說一說什么是因式分解.

追問2：我們知道，在小學(xué)學(xué)習(xí)的數(shù)中，整數(shù)的乘法和因數(shù)分解是互逆的運算，那整式的乘法與因式分解有什么關(guān)系呢？

練習(xí)1：判斷下列代數(shù)式變形中哪些是因式分解.

（1）[2m2-2mn=2mm-n]；

（2）[2mm-n=2m2-2mn]；

（3）[4x2-4x+1=2x-12]；

（4）[4x2-4x+1=4xx-1+1]；

（5）[2x2-1=2x+12x-1]；

（6）[x3-5x2+6x=xx-2x-3].

追問1：練習(xí)1中，哪些是因式分解？你判斷的依據(jù)是什么？

追問2：注意第（1）（2）題的關(guān)系，說明因式分解與整式乘法有什么關(guān)系？

追問3：第（4）小題雖然變形正確，但不是因式分解，說明因式分解的結(jié)構(gòu)特征是什么？其本質(zhì)是什么？

追問4：第（5）小題雖然結(jié)構(gòu)是符合的，但仍然不是因式分解，說明我們在因式分解的過程中還應(yīng)該關(guān)注什么？

追問5：第（1）（3）（6）小題的因式分解正確嗎？你是如何判斷的？

【設(shè)計意圖】通過類比小學(xué)階段學(xué)習(xí)的因數(shù)分解的概念，獲得因式分解的概念. 通過有意識的板書（略）類比引導(dǎo)學(xué)生觀察得到整式乘法與因式分解是互逆變形的關(guān)系，形成由數(shù)到式的自然過渡，讓學(xué)生的認(rèn)知遵循從特殊到一般、從具體到抽象的規(guī)律. 通過練習(xí)1中的6道小題鞏固因式分解的定義，分別從范例、正例、反例、錯例等方面幫助學(xué)生理解因式分解的概念. 通過教師的及時追問，講練結(jié)合，學(xué)生總結(jié)因式分解的本質(zhì)是和差化積的過程，不僅要關(guān)注等式的結(jié)構(gòu)，還要關(guān)注結(jié)果. 指向教學(xué)目標(biāo)（2）的評估.

環(huán)節(jié)3：方法探索.

問題3：根據(jù)因式分解與整式乘法的互逆關(guān)系，試在紙上寫出一個多項式，并進(jìn)行因式分解.

教師引導(dǎo)學(xué)生收集組內(nèi)寫出的等式，組內(nèi)交流，判斷同學(xué)寫的等式是否符合要求. 小組討論結(jié)束后，派代表上臺展示思維過程.

追問1：你是如何想到這個例子的？

追問2：根據(jù)這個多項式變形的不同由來，你認(rèn)為可以對以上的因式分解進(jìn)行怎樣的分類？分類的依據(jù)是什么？

追問3：猜想因式分解的方法有哪些？

練習(xí)2：將下列多項式因式分解.

（1）[x2-3x]；（2）[y2-9]；（3）[m2-6m+9].

【設(shè)計意圖】通過舉例、組內(nèi)互評、小組匯報體現(xiàn)學(xué)生在課堂教學(xué)中的主體地位，利用課堂生成讓學(xué)生充分感受整式乘法與因式分解是互逆運算，利用追問讓學(xué)生的思維可視化. 通過對因式分解方法類型的歸納，培養(yǎng)學(xué)生自主舉例、分類歸納的能力. 利用練習(xí)2讓學(xué)生初步感受因式分解的兩類方法——提取公因式和公式法. 指向教學(xué)目標(biāo)（3）的評估.

3. 強(qiáng)化應(yīng)用，優(yōu)化體系

環(huán)節(jié)4：新知應(yīng)用.

問題4：嘗試用因式分解的方法解下列題目.

環(huán)節(jié)5：拓展提升.

練習(xí)3：已知二次三項式[2x2+3x-k]分解因式的結(jié)果中有因式[x+3]，求另一個因式和[k]的值.

【設(shè)計意圖】環(huán)節(jié)4中的三道應(yīng)用題分別指向簡便運算、解高次方程和用整體思想求代數(shù)式的值，讓學(xué)生體會因式分解有利于解決某些新的數(shù)學(xué)問題，體會學(xué)習(xí)因式分解的必要性和重要性. 環(huán)節(jié)5旨在提升優(yōu)等生的能力，既鞏固了因式分解的定義，也培養(yǎng)學(xué)生知識遷移的能力. 指向教學(xué)目標(biāo)（5）的評估.

4. 整體助推，清晰結(jié)構(gòu)

環(huán)節(jié)6：課堂小結(jié).

學(xué)生獨立完成如圖1所示的學(xué)后反思.

【設(shè)計意圖】師生共同回憶新知學(xué)習(xí)的路徑，即“為什么學(xué)、學(xué)什么、怎么學(xué)”，體會研究新問題的一般路徑，同時也基于單元整體視角構(gòu)建了邏輯連貫的知識框架（如圖2），促進(jìn)了學(xué)生思維品質(zhì)的優(yōu)化. 指向教學(xué)目標(biāo)（4）的評估.

四、思考與感悟

1. 以建立良好的知識結(jié)構(gòu)為根本

實施單元整體教學(xué)，需要教師根據(jù)教材內(nèi)容靈活處理好知識橫向擴(kuò)面與縱向拓展間的關(guān)系. 橫向擴(kuò)面是為了從系統(tǒng)結(jié)構(gòu)上整體把握教學(xué)內(nèi)容；縱向拓展是為了從知識節(jié)點上達(dá)到一以貫之的效果. 因此，教師在教學(xué)設(shè)計時要基于聯(lián)系來發(fā)現(xiàn)問題、提出問題.“聯(lián)系”反映的是數(shù)學(xué)知識的整體性，“提出問題”是指要找準(zhǔn)學(xué)生的生長點. 本節(jié)課中，教師通過前測、類比、辨析、運用、小結(jié)引導(dǎo)學(xué)生把握各知識間本質(zhì)的、內(nèi)在的邏輯體系，以及數(shù)學(xué)對象研究過程的整體性. 學(xué)生的認(rèn)知從前一章學(xué)習(xí)的整式的乘除出發(fā)，類比小學(xué)階段分解質(zhì)因數(shù)的學(xué)習(xí)，主動探索，直觀感受新、舊知識之間的聯(lián)系. 顯然，這樣的設(shè)計有助于學(xué)生建立系統(tǒng)的知識結(jié)構(gòu).

2. 以達(dá)成核心目標(biāo)為關(guān)鍵

對教師而言，逆向的教學(xué)模式要求教師提前做好整個單元的規(guī)劃，完成學(xué)生將面對的所有評價任務(wù)，并對學(xué)生的作業(yè)布置有一定的增減規(guī)劃. 因此，教師可以根據(jù)核心目標(biāo)，在各環(huán)節(jié)確立生生互評、師生評價、學(xué)生自評等多元的評價方式，組織有效的課堂活動，清晰地把握學(xué)生的易錯點及教學(xué)重點和難點. 對學(xué)生而言，逆向的教學(xué)模式要先明確和理解自身需要達(dá)成的目標(biāo)，進(jìn)而有針對性地掌握和理解學(xué)習(xí)內(nèi)容. 本節(jié)課中，學(xué)生在教師的引導(dǎo)下不斷體驗完成各項評價任務(wù)的經(jīng)驗，促進(jìn)了生生之間的合作交流與互動，不僅有助于學(xué)生更輕松地解決課后的其他評價任務(wù)，更有利于培養(yǎng)學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)科上的自信與動力.

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