李樹臣 張娟萍

【摘 要】 《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》首次提出數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的概念，把核心素養(yǎng)高度概括為“三會”.核心素養(yǎng)在三個(gè)學(xué)段的表現(xiàn)不同，都有應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識.應(yīng)用意識是核心素養(yǎng)中的重要體現(xiàn)之一，教學(xué)中加強(qiáng)應(yīng)用意識培養(yǎng)是培養(yǎng)和提高學(xué)生核心素養(yǎng)的需要.以函數(shù)主題為例，在對函數(shù)的認(rèn)識、函數(shù)概念的形成以及建立各種函數(shù)模型解決實(shí)際問題的過程中都能提高學(xué)生的應(yīng)用意識.

【關(guān)鍵詞】 核心素養(yǎng);應(yīng)用意識;函數(shù)主題

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡稱《課標(biāo)（2022年版）》）把“應(yīng)用意識”作為小學(xué)、初中、高中數(shù)學(xué)“跨學(xué)科”的素養(yǎng)表現(xiàn)，并且在“課程性質(zhì)”中用“數(shù)學(xué)的應(yīng)用滲透到現(xiàn)代社會的各個(gè)方面，直接為社會創(chuàng)造價(jià)值，推動(dòng)社會生產(chǎn)力的發(fā)展” [1] 進(jìn)一步肯定了培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用意識的重要性.

本文首先談?wù)剬Α皯?yīng)用意識”的理解，然后結(jié)合案例說明培養(yǎng)應(yīng)用意識的主要途徑.

1 培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用意識具有重要的意義

1.1 應(yīng)用意識是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要組成部分

數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)包括：數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析 [2] .目前，我國的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)概念體系基本建立，如表1 [3] .

從表1可以看出，三個(gè)學(xué)段（小學(xué)數(shù)學(xué)、初中數(shù)學(xué)、高中數(shù)學(xué)）核心素養(yǎng)都是“三會”，都有“應(yīng)用意識”與“創(chuàng)新意識”，但核心素養(yǎng)具體體現(xiàn)的“稱謂”和數(shù)量不同.“應(yīng)用意識”與“創(chuàng)新意識”著重在“跨學(xué)科表現(xiàn)”.

應(yīng)用意識已經(jīng)超出了知識與認(rèn)知的范疇，也包含了情感態(tài)度價(jià)值觀的成分，是整個(gè)中小學(xué)數(shù)學(xué)課程與教學(xué)的基本要求 [3]82 .

初中學(xué)段核心素養(yǎng)的具體表現(xiàn)有“意識”“觀念”“能力”之分.“意識”“觀念”“能力”三個(gè)概念是有層次的：處于最底層的是意識，中間層次是觀念，最高層次的是能力 [4] ，如圖1所示.

數(shù)學(xué)意識是指學(xué)生在思考問題時(shí)，能自覺地從數(shù)學(xué)的角度觀察問題、分析問題，并利用數(shù)學(xué)的知識、方法解釋或解決問題的一種思維習(xí)慣；數(shù)學(xué)觀念是指運(yùn)用數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)、方法去觀察、認(rèn)識問題的自覺意識和思維方式；數(shù)學(xué)能力是一種特殊的能力，它是與數(shù)學(xué)活動(dòng)相適應(yīng)，保證數(shù)學(xué)活動(dòng)順利完成所必須具備的心理?xiàng)l件.

1.2 重視應(yīng)用意識培養(yǎng)體現(xiàn)了課標(biāo)的要求

《課標(biāo)（2022年版）》共提及“應(yīng)用意識”58次，詳細(xì)闡述為“應(yīng)用意識主要是指有意識地利用數(shù)學(xué)的概念、原理和方法解釋現(xiàn)實(shí)世界中的現(xiàn)象與規(guī)律，解決現(xiàn)實(shí)世界中的問題.能夠感悟現(xiàn)實(shí)生活中蘊(yùn)含著大量的與數(shù)量和圖形有關(guān)的問題，可以用數(shù)學(xué)的方法予以解決；初步了解數(shù)學(xué)作為一種通用的科學(xué)語言在其他學(xué)科中的應(yīng)用，通過跨學(xué)科主題學(xué)習(xí)建立不同學(xué)科之間的聯(lián)系.應(yīng)用意識有助于用學(xué)過的知識和方法解決簡單的實(shí)際問題，養(yǎng)成理論聯(lián)系實(shí)際的習(xí)慣，發(fā)展實(shí)踐能力” [1]10 .

數(shù)學(xué)應(yīng)用有兩個(gè)維度：一是由實(shí)際問題建立數(shù)學(xué)模型，形成數(shù)學(xué)問題（即實(shí)際問題數(shù)學(xué)化）；二是應(yīng)用數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)思想解決數(shù)學(xué)問題（即解數(shù)學(xué)應(yīng)用題）.

20世紀(jì)下半葉以來，數(shù)學(xué)最大的進(jìn)步是應(yīng)用，正如姜伯駒所說：“誰用的好，誰就贏了.”當(dāng)今世界已經(jīng)全面進(jìn)入信息社會，隨著高新技術(shù)的飛速發(fā)展，人們越來越感受到“數(shù)學(xué)不僅是一門科學(xué)，更是一門被普遍應(yīng)用的技術(shù)”.可以說數(shù)學(xué)幾乎滲透到了每一個(gè)科學(xué)領(lǐng)域及人們生活的方方面面，得到了空前的應(yīng)用.在這樣的背景下，我們的數(shù)學(xué)教育應(yīng)通過數(shù)學(xué)知識的傳授，培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的應(yīng)用意識，讓學(xué)生形成在這個(gè)信息世界里生存的本領(lǐng).

根據(jù)《課標(biāo)（2022年版）》的要求，在初中階段需要結(jié)合課程內(nèi)容的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識.如果學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識不強(qiáng)，當(dāng)他們遇到實(shí)際問題時(shí)，就不能從數(shù)學(xué)的角度去進(jìn)行有效地思考，就不能很好地運(yùn)用數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)思想方法去解決，培養(yǎng)學(xué)生的“四能”就成為一句空話.培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識是學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)、運(yùn)用數(shù)學(xué)的前提.

1.3 應(yīng)用意識培養(yǎng)符合學(xué)生的學(xué)習(xí)需要

由生活實(shí)際引入新知有利于學(xué)生體會數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用價(jià)值，體現(xiàn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程和方法領(lǐng)悟過程.應(yīng)用意識培養(yǎng)是用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問題，最終實(shí)現(xiàn)知識對生活的應(yīng)用.數(shù)學(xué)在經(jīng)濟(jì)、醫(yī)學(xué)、社會、建筑、信息技術(shù)等方面應(yīng)用廣泛，培養(yǎng)應(yīng)用意識是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要目標(biāo).

2 培養(yǎng)數(shù)學(xué)應(yīng)用意識的基本策略

《課標(biāo)（2022年版）》將“課程內(nèi)容”劃分為“數(shù)與代數(shù)”“圖形與幾何”“統(tǒng)計(jì)與概率”和“綜合與實(shí)踐”四個(gè)領(lǐng)域，并按照“領(lǐng)域→主題→具體內(nèi)容”三個(gè)層次呈現(xiàn)了具體課程內(nèi)容.在初中學(xué)段，“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域分為三個(gè)主題，“函數(shù)”主題是其中之一.

“函數(shù)”主題下有函數(shù)的概念、一次函數(shù)（正比例函數(shù)）、二次函數(shù)、反比例函數(shù).函數(shù)內(nèi)容和函數(shù)思想貫穿于數(shù)學(xué)理論和實(shí)際應(yīng)用的每一個(gè)場合.它是有效地表示、處理、交流和傳遞信息的有力工具，是探討事物發(fā)展規(guī)律、預(yù)測事物發(fā)展方向的重要手段.

2.1 結(jié)合函數(shù)知識學(xué)習(xí)讓學(xué)生加深對數(shù)學(xué)應(yīng)用的認(rèn)識

我們的生活離不開函數(shù)：

（1）函數(shù)與每個(gè)人都息息相關(guān).如一個(gè)人的身高、體重等都是時(shí)間（年齡）的函數(shù)；

（2）函數(shù)與生活密切相關(guān).如電話費(fèi)、煤氣費(fèi)等都是時(shí)間的函數(shù)；

（3）許多科學(xué)只有用函數(shù)才能表達(dá)清楚.如物理學(xué)中的自由落體運(yùn)動(dòng)、生物學(xué)中的細(xì)胞繁殖速度等也是時(shí)間的函數(shù)；

（4）生產(chǎn)生活中的一些問題只有用函數(shù)的知識才能統(tǒng)籌規(guī)劃.如生產(chǎn)成本的核算、生產(chǎn)工效的提高等都是相應(yīng)自變量的函數(shù).

案例1 什么時(shí)間光合作用最強(qiáng)？

光合作用是指綠色植物通過葉綠素，利用光能把二氧化碳和水轉(zhuǎn)化成儲存能量的有機(jī)物，并釋放出氧氣的過程.圖2是夏季的白天7—18時(shí)一般綠色植物的光合作用強(qiáng)度與時(shí)間之間的關(guān)系圖象，分析圖象回答問題：

（1）大約幾時(shí)的光合作用最強(qiáng)？

（2）大約幾時(shí)的光合作用最弱？

（3）分析光合作用的強(qiáng)度隨時(shí)間變化的趨勢，根據(jù)實(shí)際情況你認(rèn)為如果每天鍛煉身體，何時(shí)為最佳鍛煉時(shí)間？

設(shè)計(jì)意圖 在學(xué)生學(xué)習(xí)了函數(shù)的三種表示方法后，我們按照《課標(biāo)（2022年版）》提出的“選材應(yīng)當(dāng)盡可能地貼近學(xué)生的現(xiàn)實(shí)，以利于學(xué)生經(jīng)歷從現(xiàn)實(shí)情境中抽象出數(shù)學(xué)知識與方法的過程，發(fā)展抽象能力、推理能力等”的要求，從生物學(xué)角度出發(fā)設(shè)計(jì)了本例.目的有二：

（1）讓學(xué)生學(xué)會“讀圖”，正確理解和使用數(shù)學(xué)語言.數(shù)學(xué)語言有文字語言、符號語言和圖形語言三種形式，本題中的信息是用“圖形語言”給出的，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)必須會“讀圖”，從圖中獲取有價(jià)值的信息；

（2）加深學(xué)生對“數(shù)學(xué)來源于生活”的認(rèn)識，感悟到數(shù)學(xué)是學(xué)習(xí)物理、化學(xué)、生物等學(xué)科的基礎(chǔ).這些學(xué)科中的許多知識都要用到數(shù)學(xué)（函數(shù)）的知識才能解決.本題就是引導(dǎo)學(xué)生利用函數(shù)圖象的知識解答與生物學(xué)科中的有關(guān)問題.

這就客觀要求我們在選取素材、設(shè)計(jì)教學(xué)情境時(shí)，盡量把與之相關(guān)的其他學(xué)科知識融合進(jìn)來，以增強(qiáng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決問題的能力.

2.2 函數(shù)概念來源于生活實(shí)際

數(shù)學(xué)中充滿許多大小不同的“三步曲”，首先，它把現(xiàn)實(shí)世界問題通過“水平數(shù)學(xué)化”轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題；然后，通過“垂直數(shù)學(xué)化”研究和解決數(shù)學(xué)內(nèi)部問題；最后，借助數(shù)學(xué)概念和原理解決現(xiàn)實(shí)問題 [5] .

數(shù)學(xué)概念是重要的基礎(chǔ)知識，它反映了事物包括數(shù)量關(guān)系、空間形式在內(nèi)的結(jié)構(gòu)關(guān)系的本質(zhì)屬性.對于數(shù)學(xué)概念的教學(xué)一定要展示數(shù)學(xué)概念的發(fā)生發(fā)展過程，在過程中揭示其內(nèi)涵與外延，再現(xiàn)基本結(jié)論的發(fā)現(xiàn)過程，理清知識點(diǎn)之間的邏輯關(guān)系.

數(shù)學(xué)概念都有一定的“背景”，在函數(shù)主題中，函數(shù)的概念以及各種具體函數(shù)的概念，在教學(xué)中，都要從生活實(shí)際出發(fā)，設(shè)計(jì)好“背景問題”，以此引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷概念的建立過程，讓學(xué)生感知到函數(shù)概念都是為了解決數(shù)學(xué)問題，特別是生活中的實(shí)際問題而產(chǎn)生的.

案例2 反比例函概念的建立過程.

為引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷反比例函數(shù)概念的形成過程，我們提出下面問題，讓學(xué)生進(jìn)行思考、交流等活動(dòng)：

（1）時(shí)代中學(xué)要修建一個(gè)面積為84m 2 的矩形花圃，則矩形的寬y（m）與長x（m）之間的函數(shù)表達(dá)式為；

（2）甲、乙兩地相距240km，一輛汽車從甲地駛往乙地.汽車行駛的時(shí)間t（h）與汽車的平均速度v（km/h）之間的函數(shù)表達(dá)式為；

（3）某高鐵列車行駛在軌道上時(shí)，若地面受軌道板的壓力為10 7 N，軌道板的底面積S（m 2 ）與軌道板對地面的壓強(qiáng)P（Pa）之間有怎樣的關(guān)系？

（4）請觀察上面三個(gè)問題中的函數(shù)表達(dá)式在形式上具有什么共同特征？

設(shè)計(jì)意圖 為了引出反比例函數(shù)的概念，讓學(xué)生“親身”感悟到為了解決實(shí)際問題，需要引入一類新的函數(shù)——反比例函數(shù).我們選取了三個(gè)問題，前兩個(gè)問題來源于現(xiàn)實(shí)生活，第三個(gè)問題以“高鐵”為背景，屬于物理學(xué)科.學(xué)生通過對這三個(gè)問題的思考，分別得到了三個(gè)函數(shù)表達(dá)式，y=84x；t=240v；P= 10 7S.通過對第四個(gè)問題的觀察、交流發(fā)現(xiàn)，根據(jù)三個(gè)問題情境列出的函數(shù)表達(dá)式在形式上的共同特征：都具有y=kx（k≠0）的形式，從而給出反比例函數(shù)的意義.

數(shù)學(xué)中的概念本身都是一些典型的模型，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷這些模型的產(chǎn)生過程，在過程中掌握概念，理解概念來自于生活，有助于培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識.

2.3 利用函數(shù)解決生活中的問題

著名數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾在談到數(shù)學(xué)應(yīng)用時(shí)，曾指出“應(yīng)從兩個(gè)方面來理解數(shù)學(xué)應(yīng)用：既要重視從實(shí)際問題中提取數(shù)學(xué)概念和原理，又要重視用數(shù)學(xué)概念與原理反過來處理實(shí)際問題”.

數(shù)學(xué)概念的建立過程，反映了從現(xiàn)實(shí)到數(shù)學(xué)的數(shù)學(xué)化過程，從數(shù)學(xué)到現(xiàn)實(shí)的例子比比皆是.數(shù)學(xué)建模也是數(shù)學(xué)化的過程，是數(shù)學(xué)應(yīng)用的一個(gè)組成部分.《標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》把模型觀念作為初中階段核心素養(yǎng)的表現(xiàn)之一，這種觀念是在建立概念模型特別是應(yīng)用模型解決問題的過程中逐漸形成的.

“函數(shù)”主題的學(xué)習(xí)主要圍繞“函數(shù)概念—圖象性質(zhì)—實(shí)際應(yīng)用”展開的，在“函數(shù)概念”學(xué)習(xí)階段以及“實(shí)際應(yīng)用”階段，都離不開“實(shí)際問題”，這是培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用意識的大好機(jī)會.

案例3 活動(dòng)板房中的問題（青島市2020中考題）.

某公司生產(chǎn)A型活動(dòng)板房成本是每個(gè)425元．圖3①表示A型活動(dòng)板房的一面墻，它由長方形和拋物線構(gòu)成，長方形的長AD=4m，寬AB=3m，拋物線的最高點(diǎn)E到BC的距離為4m．

（1）按如圖3①所示的直角坐標(biāo)系，拋物線可以用y=kx 2 +c（k≠0）表示，求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

（2）現(xiàn)將A型活動(dòng)板房改造為B型活動(dòng)板房．如圖3②，在拋物線與AD之間的區(qū)域內(nèi)加裝一扇長方形窗戶FGMN，點(diǎn)G，M在AD上，點(diǎn)N，F(xiàn)在拋物線上，窗戶的成本為50元/m 2 ．已知GM=2m，求每個(gè)B型活動(dòng)板房的成本是多少？（每個(gè)B型活動(dòng)板房的成本=每個(gè)A型活動(dòng)板房的成本+一扇窗戶FGMN的成本）；

（3）根據(jù)市場調(diào)查，以單價(jià)650元銷售（2）中的B型活動(dòng)板房，每月能售出100個(gè)，而單價(jià)每降低10元，每月能多售出20個(gè).公司每月最多能生產(chǎn)160個(gè)B型活動(dòng)板房.不考慮其他因素，公司將銷售單價(jià)n（元）定為多少時(shí)，每月銷售B型活動(dòng)板房所獲利潤w（元）最大？最大利潤是多少？

析解 （1）把D（2，0），E（0，1）代入y=kx 2 +c可求出k，c的值，得函數(shù)表達(dá)式為y=-14x 2 +1.

（2）由題意可知只要求出FGMN的面積即可，需要求出N點(diǎn)的縱坐標(biāo)，把x=1代入y=-14x 2 +1得y=34，所以N（1，34）.所以S 四邊形FGMN =GM×MN=2×34=32（m 2 ），每個(gè)B型活動(dòng)板的成本為425+32×50=500（元）.

（3）根據(jù)題意可得w=（n-500）（100+20×650－n10）=-2（n-600） 2 +20000.

因?yàn)橐粋€(gè)月最多生產(chǎn)160個(gè)，所以100+20×650－n10≤160，解得n≥620.

因?yàn)?2＜0，所以n≥620時(shí)，w隨n的增大而減小，所以當(dāng)n=620時(shí)，w 最大 =19200元．

設(shè)計(jì)意圖 本題以“活動(dòng)板房”為背景，設(shè)計(jì)了三個(gè)小題.對于第（1）問，只要從圖3②中得到D（2，0），E（0，1）的坐標(biāo)，然后將其代入y=kx 2 +c即可.對于第（2）求每個(gè)B型活動(dòng)板房的成本價(jià)時(shí)，根據(jù)題目給出的計(jì)算方式（每個(gè)B型活動(dòng)板房的成本=每個(gè)A型活動(dòng)板房的成本+一扇窗戶FGMN的成本）可以發(fā)現(xiàn)求出FGMN的面積是關(guān)鍵.解答問題（3）的關(guān)鍵是根據(jù)“每月銷售B型活動(dòng)板房所獲利潤=每件B型活動(dòng)板房的利潤×每月B型活動(dòng)板房的銷量”建立函數(shù)模型w=（n-500）（100+20×650－n10），并且根據(jù)“每月最多能生產(chǎn)160個(gè)”得到n的取值范圍.

本題主要考查了學(xué)生對二次函數(shù)性質(zhì)的理解和運(yùn)用情況，解題的前提是從圖中獲取有關(guān)的信息，熟練運(yùn)用待定系數(shù)法，靈活利用二次函數(shù)的性質(zhì).在學(xué)生學(xué)習(xí)了二次函數(shù)的性質(zhì)后，可以作為課堂練習(xí)用，以不斷提高學(xué)生的問題解決能力.

函數(shù)是刻畫變量之間相互依賴關(guān)系的數(shù)學(xué)模型，是《課標(biāo)（2022年版）》界定的“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域中的重要且“抽象”的數(shù)學(xué)概念之一.學(xué)生在掌握了函數(shù)有關(guān)知識的基礎(chǔ)上，依次研究了一次函數(shù)（含正比例函數(shù)）、反比例函數(shù)和二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，通過建立函數(shù)模型解決實(shí)際問題的練習(xí)后，能形成對“函數(shù)”的優(yōu)化認(rèn)知，并且利用“函數(shù)”把前面學(xué)習(xí)過的“數(shù)與式”“方程與不等式”兩個(gè)主題進(jìn)行深度“融合”，熟練掌握“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域的基礎(chǔ)知識，形成了利用“代數(shù)”載體解決問題的能力，提高了應(yīng)用意識，實(shí)現(xiàn)了《課標(biāo)（2022年版）》確定的課程目標(biāo)和學(xué)習(xí)目標(biāo).參考文獻(xiàn)

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[4]李樹臣，呂春霞.正確理解創(chuàng)新意識，培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)——兼談培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新意識的主要途徑[J].中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2023（02）：2-5.

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作者簡介 李樹臣（1962—），男，山東沂南人，中學(xué)正高級教師;臨沂大學(xué)學(xué)生學(xué)業(yè)導(dǎo)師，山東省教育科研先進(jìn)個(gè)人，山東省創(chuàng)新教育先進(jìn)個(gè)人;三次獲山東省省級教學(xué)成果獎(jiǎng);全國義務(wù)教育初中數(shù)學(xué)教材（青島版）核心作者，中國人民大學(xué)《復(fù)印報(bào)刊資料·初中數(shù)學(xué)教與學(xué)》編委，湖北大學(xué)《中學(xué)數(shù)學(xué)》特約編委，《山東教育》特約記者.張娟萍（1972—），女，浙江杭州人，中學(xué)高級教師，浙江省特級教師，國家心理咨詢師;獲浙江省基礎(chǔ)教育成果二等獎(jiǎng)，參加編寫浙教版《義務(wù)教育教科書》，出版《高階思維》《高階能力》等專著.