大學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)發(fā)展特點(diǎn)的探析

馬艷園

摘? 要：數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)是內(nèi)化了的數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)，“數(shù)學(xué)理解”是學(xué)習(xí)者獲取數(shù)學(xué)知識的基本途徑，對數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的發(fā)展有著積極的推進(jìn)作用。從學(xué)習(xí)者數(shù)學(xué)理解的心理過程來看，“實(shí)變函數(shù)”的課程內(nèi)容高度抽象，理解難度較大，在這個過程中，大學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的發(fā)展特點(diǎn)為：個體差異性、機(jī)械記憶下的積累、數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的各個子系統(tǒng)發(fā)展步調(diào)不一致。在新舊認(rèn)知結(jié)構(gòu)相互作用下，按照螺旋式的方式不斷發(fā)展。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)；數(shù)學(xué)理解；精致；個體差異性；螺旋式的發(fā)展

中圖分類號：G642? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A? ? 文章編號：1673-7164（2023）14-0143-04

“實(shí)變函數(shù)”的課程內(nèi)容抽象程度較高，理解難度較大，本校數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中存在諸多問題，譬如數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)偏重工具性理解，對概念本質(zhì)屬性的認(rèn)識比較淺顯；不重視隱性知識的學(xué)習(xí)；知識與知識之間的聯(lián)系比較薄弱等，比如，對黎曼積分與勒貝格積分之間的區(qū)別理解不到位。這些問題從不同層面影響了學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的構(gòu)建。

一、大學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的發(fā)展過程

我國著名數(shù)學(xué)教育學(xué)家曹才翰、蔡金法在所著的《數(shù)學(xué)教育學(xué)概論》（1989）中首次明確提出了數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的概念［1］，并對數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的內(nèi)涵、特點(diǎn)進(jìn)行了分析。他們認(rèn)為，數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)是學(xué)生頭腦里的數(shù)學(xué)知識按照自己的理解深度、廣度，結(jié)合自己的感覺、知覺、記憶、思維、聯(lián)想等認(rèn)知特點(diǎn)，組合成的一個具有內(nèi)部規(guī)律的整體結(jié)構(gòu)［1］。

在對“數(shù)學(xué)理解”的研究中，赫伯特和卡朋特（Hiebert & Carpenter）認(rèn)為，“一個數(shù)學(xué)的概念或方法或事實(shí)被理解了，如果它成為個人內(nèi)部網(wǎng)絡(luò)的一個部分?！保?］李士锜認(rèn)為，“學(xué)習(xí)一個數(shù)學(xué)概念、原理、法則，如果在心理上能組織起適當(dāng)?shù)挠行У恼J(rèn)知結(jié)構(gòu)，并使之成為個人內(nèi)部的知識網(wǎng)絡(luò)的一部分，那么才說明是理解了?！保?］

不管是對數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的研究還是對“數(shù)學(xué)理解”的研究都表明，學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的發(fā)展依賴于對數(shù)學(xué)知識的理解，即學(xué)生通過理解數(shù)學(xué)知識構(gòu)建自身頭腦中知識網(wǎng)絡(luò)——數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)。因此，“數(shù)學(xué)理解”能夠有效促進(jìn)數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的形成，是數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)發(fā)展的基本途徑。

學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的發(fā)展過程如圖1所示：

學(xué)習(xí)者對新知識的學(xué)習(xí)是一個循序漸進(jìn)，由淺入深的理解過程。通常在初學(xué)階段，對新知識的理解往往一知半解，甚至對新知識有錯誤認(rèn)知。這些情況下形成并發(fā)展起來的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)是不完善的，學(xué)習(xí)者需要對數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)進(jìn)行精致。精致是對原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)的重組，或者是對原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)缺陷進(jìn)行補(bǔ)修［3］。對數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的精致，會出現(xiàn)多次循環(huán)，直到學(xué)生對數(shù)學(xué)知識有了深層次的理解，數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)在理解逐漸深刻的進(jìn)程中變得更加完善。

在對數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的精致過程中，學(xué)習(xí)者必須對自身的認(rèn)知過程進(jìn)行積極的監(jiān)控，明確理解上的不足，才能做出有針對性地查缺補(bǔ)漏，及時調(diào)整認(rèn)知策略，對數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)進(jìn)行有效的精致，從而獲得對新知的正確理解。

下面文章將從“數(shù)學(xué)理解”的角度，在“實(shí)變函數(shù)”的學(xué)習(xí)過程中，對本校大學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)發(fā)展過程中呈現(xiàn)出的一些特點(diǎn)作深入研究。

二、大學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的發(fā)展特點(diǎn)

在“數(shù)學(xué)分析”的基礎(chǔ)上，“實(shí)變函數(shù)”對知識進(jìn)行了衍生和拓廣。無論是數(shù)學(xué)符號還是數(shù)學(xué)思想方法，抽象程度更高。例如線段的長度，平面幾何圖形的面積和立體圖形的體積，其本質(zhì)都是對“點(diǎn)集”的度量，對一般點(diǎn)集的度量即為“實(shí)變函數(shù)”中的“測度”。對“度量對象”的推廣，學(xué)生的認(rèn)知需要打破常規(guī)的“幾何實(shí)體”的限制。在方法上，“實(shí)變函數(shù)”處理問題的一種重要方法是分析語言與集合語言之間的轉(zhuǎn)換，學(xué)生需要明確不同語言在描述同一數(shù)學(xué)知識時的異同?！皩?shí)變函數(shù)”中的另一個重要思想是利用簡單函數(shù)列逼近可測函數(shù)，學(xué)生需要從函數(shù)列的點(diǎn)點(diǎn)收斂來理解簡單函數(shù)列收斂于可測函數(shù)的內(nèi)涵。

“實(shí)變函數(shù)”中的學(xué)習(xí)對象以及課程中的數(shù)學(xué)思維方式都變得更為抽象，對學(xué)生的數(shù)學(xué)理解能力的要求也越來越高。在這種高要求下，學(xué)生需理解數(shù)學(xué)知識的過程中數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的發(fā)展變化具有什么特點(diǎn)？

（一）數(shù)學(xué)理解的個體差異性

不同學(xué)生在面對同一個數(shù)學(xué)情境時，會有不同信息理解、分析、處理方式［4］。因此，學(xué)生通常是按照自己對知識的理解深度，結(jié)合自己的認(rèn)知方式去構(gòu)建知識體系，這就使得學(xué)生頭腦中數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的發(fā)展帶有明顯的個體差異性。

例如勒貝格（Lebesgue）可測集的學(xué)習(xí)。

定義1［5］：設(shè)E？奐Rn，若對于任意點(diǎn)集T？奐Rn，都有

m*（T）=m*（T∩E）+m*（T∩Ec）

則稱E為L可測集，這時E的L外測度m*E即稱為E的L測度，記為mE，其中T為實(shí)驗集。

學(xué)習(xí)過程中，部分學(xué)生能夠利用定義1證明一個點(diǎn)集是勒貝格可測集，但卻不清楚定義1中的實(shí)驗集T的意義是什么？學(xué)生的證明更多的是一種機(jī)械性模仿。這部分學(xué)生的頭腦中，對可測集的理解偏重于工具性理解。工具性理解表現(xiàn)為理解事實(shí)性知識是什么，未完全認(rèn)識，乃是一種機(jī)械記憶［6］。他們對可測集的知覺更多是在符號上的形式推導(dǎo)。另一部分學(xué)生會去思考實(shí)驗集T的意義，這部分學(xué)生更加注重概念本質(zhì)屬性的學(xué)習(xí)，在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生能夠從內(nèi)側(cè)度與外側(cè)度相等的條件下理解T的含義；能夠明確在卡式條件下，用外側(cè)度定義的勒貝格測度能夠滿足測度公理，因此，他們對勒貝格可測集的認(rèn)知不僅僅是停留在符號的形式推理層面。學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的不同認(rèn)知，體現(xiàn)了個體頭腦中構(gòu)建的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)具有差異性。

（二）數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的各個子系統(tǒng)發(fā)展步調(diào)不一致

數(shù)學(xué)知識分為：陳述性知識、程序性知識、過程性知識［7］。喻平教授的研究表明，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，通過對陳述性知識、程序性知識、過程性知識的理解，學(xué)生頭腦中分別獲得了關(guān)于陳述性知識的圖式、構(gòu)建了產(chǎn)生式系統(tǒng)、形成了關(guān)系表征和觀念表征。這三種知識的學(xué)習(xí)結(jié)果構(gòu)成了數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的三個子系統(tǒng)，其中陳述性知識圖式的構(gòu)建是學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，三個子系統(tǒng)相互作用、相互影響。

在學(xué)習(xí)中把陳述性知識轉(zhuǎn)化為程序性知識往往需要經(jīng)過大量的練習(xí)，而過程性知識則隱性地融會貫通于整個學(xué)習(xí)過程中，要求學(xué)生不斷體驗、反思才能構(gòu)建起深刻的關(guān)系表征和觀念表征。因此，陳述性知識圖式的構(gòu)建相對更快而程序性知識的產(chǎn)生式系統(tǒng)和過程性知識的體驗性知識系統(tǒng)的發(fā)展則相對滯后。

“實(shí)變函數(shù)”的學(xué)習(xí)中，相對于陳述性知識的圖式，程序性知識的產(chǎn)生式系統(tǒng)和過程性知識的關(guān)系表征和觀念表征系統(tǒng)的發(fā)展緩慢更為突出。經(jīng)過一個學(xué)期的學(xué)習(xí)，學(xué)生對“實(shí)變函數(shù)”中的一些基本概念以及相關(guān)性質(zhì)有基本的理解，但是在做題過程中，仍然感覺到很多“實(shí)變函數(shù)”中的題目難，甚至對此束手無策。

（三）機(jī)械記憶學(xué)習(xí)下的累積

在“實(shí)變函數(shù)”學(xué)習(xí)中，學(xué)習(xí)材料難度系數(shù)的逐漸增加，教師通常采用“結(jié)果型”的教學(xué)方式，直接把定理或性質(zhì)的結(jié)論介紹給學(xué)生，再進(jìn)行證明，把問題的條件、結(jié)論以及推導(dǎo)過程都講述清楚，同時引導(dǎo)學(xué)生與原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中相關(guān)知識建立非人為的實(shí)質(zhì)性聯(lián)系，明確新舊知識之間的異同。但在實(shí)際學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生的理解力往往達(dá)不到教材的難度系數(shù)要求的程度。當(dāng)學(xué)生對抽象知識的理解遇到障礙時，容易出現(xiàn)機(jī)械性的記憶學(xué)習(xí)，對相關(guān)知識點(diǎn)的學(xué)習(xí)更多情況下是停留在對結(jié)果的記憶這一層面上，即學(xué)習(xí)的表面化。對知識的本質(zhì)屬性或者是數(shù)學(xué)符號的意義、知識之間的異同等沒有更深入地探索，對知識的構(gòu)建是一種機(jī)械記憶下的積累。前面勒貝格可測集的學(xué)習(xí)過程中，在學(xué)生不理解實(shí)驗集T含義的情況下，利用定義證明一個集合是否是可測集，就是一種機(jī)械性的模仿。

例如可測函數(shù)的學(xué)習(xí)。

定義2［5］：設(shè)f（x）是定義在可測集E？奐Rn上的廣義實(shí)質(zhì)函數(shù)，若對于任意的有限實(shí)數(shù)t，點(diǎn)集｛x∈E ∶ f（x）> t｝ 是可測集，則稱f（x）是E上的可測函數(shù)，或稱在E上可測。

調(diào)查中發(fā)現(xiàn)，部分學(xué)生能夠用定義2證明函數(shù)f（x）是E上的可測函數(shù)，但是不清楚定義2中的任意有限實(shí)數(shù)t的意義是什么？與勒貝格可測集的學(xué)習(xí)相同，學(xué)生的證明更多的是一種機(jī)械性模仿。

例如，法圖（P.Fatou）引理的學(xué)習(xí)。

定理2［5］：（P.Fatou引理）若｛fn（x）｝ 是在上的非負(fù)可測函數(shù)列，則

在調(diào)查中，大部分學(xué)生能夠正確敘述法圖引理。但是沒有足夠的反思：法圖引理中的結(jié)論為什么只考慮函數(shù)列的下極限？學(xué)生對法圖引理的應(yīng)用也是一種機(jī)械性遷移。

通過強(qiáng)行記憶而積累發(fā)展起來的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，學(xué)生對每個知識點(diǎn)的理解一知半解，知識之間缺乏有機(jī)聯(lián)系，此時的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)這棟“知識大樓”是被一堆堆“磚頭”雜亂無章地堆積起來的。

（四）原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)和新認(rèn)知結(jié)構(gòu)的相互作用

認(rèn)知心理學(xué)研究表明，在新知學(xué)習(xí)過程中，學(xué)習(xí)者通常會在原有數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)中尋找新知識生長的固著點(diǎn)，以此幫助理解新知識。在這種認(rèn)知心理活動中，若學(xué)生能夠正確找到固著點(diǎn)，并且正確把握新知識與固著點(diǎn)之間的異同，那么固著點(diǎn)對新知識的學(xué)習(xí)有積極促進(jìn)作用，反之則會對新知識的理解產(chǎn)生障礙。比如，新知識與某些舊知識之間建立起主觀的而非客觀事實(shí)的聯(lián)系；原有的數(shù)學(xué)思維對新知識理解的局限等。

例如黎曼積分的對象是區(qū)間上“基本連續(xù)”的函數(shù)，勒貝格積分的對象是可測集上的可測函數(shù)。黎曼積分的主要思想是分割定義域，而勒貝格積分的主要思路是對函數(shù)值域進(jìn)行劃分［5］。事實(shí)上，分割函數(shù)值域后所得到的點(diǎn)集不一定是一個區(qū)間，函數(shù)的定義域也不一定是互不相交的有限個區(qū)間，而可能是一個分散且雜亂無章的點(diǎn)集以及并集［5］。在此，黎曼積分中“連續(xù)的”概念被打破。從黎曼積分的思維方式過渡到勒貝格積分的思維方式，黎曼積分中“連續(xù)”的思想往往會對學(xué)生理解勒貝格積分的思想產(chǎn)生障礙。需要學(xué)生打破原有的思維格局，對新思想、新方法認(rèn)真揣摩，才有利于勒貝格積分的學(xué)習(xí)，從而促使新數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)獲得更好的發(fā)展。

（五）螺旋式的動態(tài)發(fā)展

斯賓塞等人的APOS理論證實(shí)了學(xué)習(xí)者對數(shù)學(xué)概念的理解是在一個循環(huán)的過程中不斷深化。他們的理論里闡述了在數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)中存在一個APOS循環(huán)，他們研究假設(shè)數(shù)學(xué)知識是個體在解決所感知到的數(shù)學(xué)問題過程中獲得的，在這個過程中，個體依序建構(gòu)了心理活動（actions）、程序（processes）、和對象（objects），最終組織成用以理解問題情境的圖式結(jié)構(gòu)（schemas）［2］。在“活動”階段個體對數(shù)學(xué)概念有初步的了解，并得到初步的“程序”，當(dāng)個體遇到更為復(fù)雜的概念的外延時，又會回到“活動”階段，開展進(jìn)一步的學(xué)習(xí)，完善數(shù)學(xué)概念的“程序”，經(jīng)過多個循環(huán)后，個體才會形成完整的數(shù)學(xué)概念即“對象”［2］。

“實(shí)變函數(shù)”課程中的數(shù)學(xué)知識體系具有嚴(yán)密的邏輯性，教材按照知識之間嚴(yán)格的邏輯次序進(jìn)行編排。學(xué)生把這套具有嚴(yán)格邏輯性的數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)內(nèi)化入自身認(rèn)知結(jié)構(gòu)的過程中，由于學(xué)習(xí)材料符號化、抽象化，加之學(xué)生認(rèn)知能力的限制、機(jī)械記憶的學(xué)習(xí)等，使得學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的理解并非一蹴而就，而是在一個不斷“重復(fù)”理解的過程中，由淺入深，逐步提高對數(shù)學(xué)知識的認(rèn)知。

數(shù)學(xué)理解的循環(huán)動態(tài)特性，反映出數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)具有螺旋式動態(tài)發(fā)展的特點(diǎn)，即個體對數(shù)學(xué)知識進(jìn)行循環(huán)理解，認(rèn)知由低層次向高層次發(fā)展，隨著認(rèn)知活動的逐步深入和個體理解水平的不斷提升，機(jī)械記憶的知識點(diǎn)能夠重新獲得理解，學(xué)生變得豁然開朗，知識融會貫通，個體的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)被不斷精致，逐步達(dá)到更為精確和完善的程度。

“實(shí)變函數(shù)”里的許多概念、性質(zhì)、定理等都需要反復(fù)理解，從而促進(jìn)數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的不斷精致。例如，學(xué)生要反復(fù)研讀教材上關(guān)于可測集建立的歷史過程，不斷反思，才能夠漸漸體會到勒貝格可測集定義中實(shí)驗集T的含義。學(xué)生需要在葉果洛夫定理、里斯（Riesz）定理等相關(guān)定理和性質(zhì)的證明過程中，反復(fù)理解“分析語言”和“集合語言”之間相互轉(zhuǎn)換的意義。學(xué)生需要對《數(shù)學(xué)分析》和“實(shí)變函數(shù)”中的相關(guān)知識點(diǎn)不斷地進(jìn)行對比學(xué)習(xí)，才能真正掌握知識的本質(zhì)屬性、知識之間的異同，實(shí)現(xiàn)知識的“穩(wěn)定性”和“可辨別性”，從而形成良好的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

三、結(jié)語

“實(shí)變函數(shù)”盡管課程內(nèi)容較為抽象，但是作為數(shù)學(xué)專業(yè)的一門基礎(chǔ)課，不僅對學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的提升有重要意義，而且是學(xué)生后續(xù)專業(yè)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)。因此，在“實(shí)變函數(shù)”的學(xué)習(xí)過程中，良好數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的形成，有利于提高學(xué)生數(shù)學(xué)抽象的能力、開闊學(xué)生的數(shù)學(xué)視野、提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。教師對學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的發(fā)展特點(diǎn)有科學(xué)的認(rèn)識，就能夠幫助教師實(shí)施有效的教學(xué)方法于“實(shí)變函數(shù)”教學(xué)中，啟發(fā)學(xué)生積極思考，對數(shù)學(xué)知識有深刻的理解，從而構(gòu)建良好的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)。在目前已有的研究中，課題式教學(xué)法［8］，“三教—教思考、教體驗、教表達(dá)”［9］的教學(xué)方法，以問題驅(qū)動為中心的教學(xué)方法［10］等，對學(xué)生在認(rèn)知結(jié)構(gòu)構(gòu)建過程中的知識理解、思維發(fā)散、問題解決等方面都有著積極的促進(jìn)作用。

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（薦稿人：余麗，宜春學(xué)院副教授）

（責(zé)任編輯：淳潔）