摘 要：“一題一課”是指以一道題或一組題為主線，學(xué)生在“問(wèn)題串”驅(qū)動(dòng)下，完成相關(guān)的教學(xué)探究活動(dòng).本文以“一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用”單元復(fù)習(xí)設(shè)計(jì)為例，圍繞著一個(gè)題組，引導(dǎo)學(xué)生在主干知識(shí)組成的“問(wèn)題串”驅(qū)動(dòng)下，逐級(jí)深入完成單元知識(shí)復(fù)習(xí).學(xué)生通過(guò)這“一題”的解決，加深對(duì)知識(shí)間關(guān)聯(lián)性的理解，重新構(gòu)建本單元的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

關(guān)鍵詞：一題一課；導(dǎo)數(shù)；單元教學(xué)

中圖分類號(hào)：G632?? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A?? 文章編號(hào)：1008-0333（2023）21-0035-03

收稿日期：2023-04-25

作者簡(jiǎn)介：莊輝（1978.4-），女，福建省廈門人，本科，中學(xué)一級(jí)教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

基金項(xiàng)目：廈門市教育信息技術(shù)研究課題“TPACK視角下信息技術(shù)深度融合數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐研究”（課題批準(zhǔn)號(hào)：XMKT2208）

在單元復(fù)習(xí)中采用“一題一課”策略，是指課堂上以一道題或一組題為主線，以“問(wèn)題串”的形式不斷驅(qū)動(dòng)學(xué)生的獨(dú)立思考，開(kāi)展相關(guān)的數(shù)學(xué)探究活動(dòng).學(xué)生在解決問(wèn)題的過(guò)程中，再次經(jīng)歷單元知識(shí)的形成和應(yīng)用過(guò)程，用關(guān)聯(lián)的視角重新建構(gòu)單元知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，形成整體的單元認(rèn)知結(jié)構(gòu)，從而達(dá)到鞏固基礎(chǔ)知識(shí)、發(fā)展數(shù)學(xué)思維、提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的效果.

1 問(wèn)題提出

學(xué)生能力的發(fā)展不能靠“題?！?，關(guān)鍵在于“題質(zhì)”.借助“一題一課”的契機(jī)，把學(xué)情與教材進(jìn)行整合，將零散的一節(jié)一節(jié)課整合成一個(gè)系統(tǒng)課程，通過(guò)對(duì)一道典型例題的剖析，可以進(jìn)一步鞏固學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí)，領(lǐng)悟思想方法，形成知識(shí)結(jié)構(gòu)，提高分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力［1］.

2 “一題一課”下的“一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用”復(fù)習(xí)設(shè)計(jì)

2.1 回首引言，提煉概念精華

閱讀章引言部分，思考： 你能用簡(jiǎn)練的語(yǔ)言回答導(dǎo)數(shù)是什么嗎？

導(dǎo)數(shù)作為本章的核心概念具有一定的抽象性.學(xué)生系統(tǒng)學(xué)習(xí)本章節(jié)內(nèi)容后，再回顧章引言，可以從宏觀上加深對(duì)導(dǎo)數(shù)大概念的理解.本章知識(shí)的發(fā)展遵循導(dǎo)數(shù)的起源、發(fā)展和應(yīng)用價(jià)值：導(dǎo)數(shù)的是微積分的核心內(nèi)容之一，對(duì)導(dǎo)數(shù)的研究起源于研究物理中的瞬時(shí)變化率，所以導(dǎo)數(shù)是瞬時(shí)變化率的數(shù)學(xué)表達(dá)，導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的基本工具.借助這個(gè)問(wèn)題幫助學(xué)生梳理本章知識(shí)之間的聯(lián)系，強(qiáng)化總結(jié)能力［1］.

2.2 問(wèn)題驅(qū)動(dòng)，橫向建構(gòu)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)

2.2.1 夯實(shí)基礎(chǔ)，復(fù)習(xí)通法

典型例題：已知函數(shù)fx=x-lnx

（1）求曲線y=f（x）在（1，f1）處的切線方程；

（2）求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)區(qū)間；

（3）求函數(shù)y=f（x）在1e，e的最值；

基本問(wèn)題：?jiǎn)栴}（1）什么是切線？如何求曲線的切線？

問(wèn)題（2）用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的步驟是什么？

問(wèn)題（3）用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值的步驟是什么？

追問(wèn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的基本步驟是什么？

本環(huán)節(jié)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的起點(diǎn)是導(dǎo)數(shù)的定義，利用導(dǎo)數(shù)的定義可以求切線方程，可以通過(guò)判斷導(dǎo)數(shù)的正負(fù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)的正負(fù)變化可以判斷極值（函數(shù)局部變化），進(jìn)一步求最值（函數(shù)整體性質(zhì)）.以上三個(gè)問(wèn)題串聯(lián)“知識(shí)點(diǎn)”形成“知識(shí)線”，即利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的一般方法.解決問(wèn)題的過(guò)程中，學(xué)生可以體會(huì)到利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的優(yōu)勢(shì)在于思路清晰、步驟明確，既快捷又容易掌握，從而對(duì)“導(dǎo)數(shù)”概念的理解更加具有系統(tǒng)性、深刻性［2］.

2.2.2 逆向思維，發(fā)展高階思維

思考1 若函數(shù)hx=x-alnx在3，5上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（? ）.

A．a(chǎn)<3 B.a>3 C.a≤3 D.3

師：因?yàn)閔x在3，5上遞增，故其導(dǎo)數(shù)h′x>0，然后求出a的范圍.這種解法正確與否呢？

生：正確.依據(jù)課本第86頁(yè)的定理，在某個(gè)區(qū)間（a，b）上，如果f ′x>0，那么函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（a，b）上單調(diào)遞增，反之也成立.

師：那么按照這種做法，參數(shù)a的取值范圍是多少？

生：先對(duì)函數(shù)hx求導(dǎo)，然后解不等式h′x>0，得到a

師：那么當(dāng)a=3時(shí)候，是否符合題意？請(qǐng)同學(xué)檢驗(yàn).

生：當(dāng)a=3時(shí)，h′x=x-3x，由h′x>0，得x>3，所以函數(shù)hx在3，+∞單調(diào)遞增，所以在區(qū)間3，5也是單調(diào)遞增，符合題意.

師：那么，在某個(gè)區(qū)間（a，b）上，f ′x>0是函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（a，b）上單調(diào)遞增的什么條件？

生：充分不必要條件

師：對(duì)于利用函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍，應(yīng)注意什么問(wèn)題？

生：解不等式 h′x>0時(shí)，對(duì)等號(hào)情況應(yīng)檢驗(yàn)，判斷是否符合題意.

思考2 若函數(shù)hx=x-alnx在1，+∞上不存在極值，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.A．a(chǎn)<3 B.a>3 C.a≤3 D.3

師：函數(shù)fx=x-lnx與函數(shù)hx=x-alnx有什么關(guān)系？

生：當(dāng)a=1，fx=hx，也就是fx是hx的一種特殊情況.

師：hx在其定義域內(nèi)是否有極值？

生：h′x=x-ax.當(dāng)a≤0時(shí)，h′x>0，函數(shù)

hx在0，+∞單調(diào)遞增；當(dāng)a<0是，x=a函數(shù)hx的極小值.

師：結(jié)合hx函數(shù)圖像，要使hx在1，+∞上不存在極值，極值點(diǎn)x=a要在x=1的左邊還是右邊？

生：左邊，即a≤1.

引導(dǎo)學(xué)生尋找fx與hx的關(guān)系，從特殊到一般.觀察h′x=x-ax的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，對(duì)參數(shù)a進(jìn)行合理分類討論，結(jié)合圖像得出a的取值范圍.借助數(shù)形結(jié)合的思想，幫助學(xué)生理清思路，動(dòng)靜結(jié)合，挖掘問(wèn)題的本質(zhì)，使學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解深入到知識(shí)的聯(lián)通，培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象能力和邏輯推理能力.

2.3 變式探究，縱向拓展知識(shí)網(wǎng)絡(luò)

典型例題：（4）證明：fx=x-lnx≥-x2+2x

師：?jiǎn)栴}（4）如何用導(dǎo)數(shù)證明不等式問(wèn)題？可以轉(zhuǎn)化成哪種相關(guān)問(wèn)題？

生：不等式問(wèn)題往往可轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題，即可以轉(zhuǎn)化為f（x）-（-x2+2x）≥0然后構(gòu)造函數(shù)g（x）=f（x）+x2-2x，求函數(shù)g（x）的最小值大于或等于0.

師：是的.一般要對(duì)不等式的結(jié)構(gòu)進(jìn)行變形，構(gòu)造出新的函數(shù)，如何構(gòu)造取決于新函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是否容易研究.例如，構(gòu)造出的新函數(shù)gx對(duì)其求導(dǎo)，再求最值是比較容易的.

典型例題：（5）對(duì)于函數(shù)f（x）=x-lnx.

判斷函數(shù)gx=fx-2的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

師：?jiǎn)栴}（5）如何判斷函數(shù)fx在區(qū)間（a，b）上存在零點(diǎn)？

生：要滿足兩個(gè)條件：首先函數(shù)圖象在（a，b）上連續(xù)不斷，其次滿足fa？fb<0.

師：能否借助第（1）至（3）題結(jié)論，畫出函數(shù)

gx的大致圖像？

生：gx在0，1單調(diào)遞減，在1，+∞單調(diào)遞增，所以gx的最小值為g1=-1.

師：由函數(shù)大致圖像可知，gx在區(qū)間0，1和1，+∞各有一個(gè)零點(diǎn).如何根據(jù)零點(diǎn)存在定理給出證明？

生：因?yàn)間1<0，所以需要在區(qū)間0，1找到一個(gè)具體的值a，使得fa>0；在區(qū)間1，+∞找到一個(gè)具體的值b， 使得fb>0.

師：結(jié)合y=lnx函數(shù)，當(dāng)實(shí)數(shù)a，b取何值，lna、lnb是一個(gè)特殊值，滿足fa>0，fb>0

生：取a=1e，則f1e=1e+1>0 ；取b=e2，則fe2=e2-4>0，滿足零點(diǎn)存在定理.

遇到函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題，最直接的想法就是運(yùn)用零點(diǎn)存在性定理證明.但是在這之前需要綜合運(yùn)用函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、等價(jià)轉(zhuǎn)化等思想和方法做好鋪墊［3］.

2.4 課堂小結(jié)與目標(biāo)檢測(cè)

小結(jié)（學(xué)生回答）

（6）導(dǎo)數(shù)可以解決哪些問(wèn)題？

（7）學(xué)習(xí)本章知識(shí)運(yùn)用哪些思想和方法？

課后目標(biāo)檢測(cè)：作出函數(shù)f（x）=ex（2x-1）x-1的大致圖像.

3 教學(xué)實(shí)踐反思

3.1 以發(fā)展核心素養(yǎng)為導(dǎo)向的單元設(shè)計(jì)

導(dǎo)數(shù)單元知識(shí)的重新建構(gòu)豐富了學(xué)生的函數(shù)觀，提升函數(shù)素養(yǎng)，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生的批判性思維和創(chuàng)新能力.

3.2 突出“一題一課”的優(yōu)勢(shì)

單元復(fù)習(xí)課與新授課不同，除了喚醒學(xué)生對(duì)舊知識(shí)的回憶外，還要對(duì)所學(xué)過(guò)知識(shí)進(jìn)行深化.由常數(shù)變參數(shù)，對(duì)第（2）小題進(jìn)行變式得到思考1，學(xué)生在做這類題時(shí)，由于對(duì)極值點(diǎn)的理解不夠全面或深刻常常會(huì)犯錯(cuò).教師不妨放慢節(jié)奏，關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的邏輯，引導(dǎo)學(xué)生自主反思，找到錯(cuò)誤的本源.學(xué)生經(jīng)歷糾錯(cuò)的過(guò)程，重新投入數(shù)學(xué)時(shí)候才能擁有一種自信、獲得成功的良好感覺(jué)［4］.

3.3 認(rèn)真研讀教材，深入挖掘教材

教材是教學(xué)內(nèi)容的載體，所編寫的內(nèi)容體現(xiàn)了專家思維.因此在設(shè)計(jì)“一題一課”單元復(fù)習(xí)課時(shí)，需要反復(fù)認(rèn)真研讀教材，理清知識(shí)之間的聯(lián)系，從總體上把握單元的知識(shí)結(jié)構(gòu)，抓住復(fù)習(xí)課設(shè)計(jì)的“主線”.找準(zhǔn)知識(shí)的生長(zhǎng)點(diǎn)作為母題，在此基礎(chǔ)上逐步生成一個(gè)有序的題組.課本的例題和習(xí)題往往是高考命題的“源泉”，一題一課的單元復(fù)習(xí)課可以選擇它們（或者改變題）作為題目的來(lái)源.

參考文獻(xiàn)：

［1］ 李龍才.凸顯導(dǎo)數(shù)的內(nèi)涵與思想，體現(xiàn)導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)性質(zhì)的基本工具：“一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用”教材設(shè)計(jì)與教學(xué)建議［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2021（07）：8-11.

［2］ 李昌官.“五管齊下”育數(shù)學(xué)素養(yǎng)實(shí)踐探索：以“導(dǎo)數(shù)概念”研究型單元教學(xué)為例［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2019（16）：16-20.

［3］ 陳鳳華.導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用［J］.讀寫算（教育教學(xué)研究），2011（21）：133-134.

［4］ 薛江濤.基于微課程的高中數(shù)學(xué)教學(xué)模式的研究與實(shí)踐［D］.濟(jì)南：山東師范大學(xué)，2016.

［責(zé)任編輯：李 璟］