探尋思維留痕　落實(shí)素養(yǎng)無(wú)痕

摘 要：文章以一次考試卷上的錯(cuò)題為例，通過(guò)對(duì)問(wèn)題的發(fā)現(xiàn)、問(wèn)題的提出、問(wèn)題的思考、問(wèn)題的解決，引導(dǎo)學(xué)生逐步地掌握對(duì)題目理解—分析—解題—反思的方法；引導(dǎo)學(xué)生重視錯(cuò)題，能夠把所學(xué)的知識(shí)融會(huì)貫通，感受題目萬(wàn)變、知識(shí)不變的真諦，教會(huì)學(xué)生思考的途徑和方法，提高學(xué)習(xí)效率，落實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

關(guān)鍵詞：錯(cuò)題；問(wèn)題；聯(lián)想；反思；核心素養(yǎng)

中圖分類(lèi)號(hào)：G633.63 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1673-8918（2023）31-0111-04

浙教版七下第一章《平行線(xiàn)》是初中平面幾何的核心內(nèi)容，也是研究線(xiàn)的位置關(guān)系與角的數(shù)量關(guān)系的重要依據(jù)。平行線(xiàn)與角之間的聯(lián)系緊密，且構(gòu)成的圖形豐富，問(wèn)題設(shè)計(jì)圍繞性質(zhì)和判定兩個(gè)互逆的角度，體現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)在聯(lián)系和辯證統(tǒng)一的思想，發(fā)展學(xué)生的空間觀(guān)念與邏輯推理。如何有效地為學(xué)生構(gòu)建前后一致、思路清晰、層次分明且自然的成長(zhǎng)的課堂？文章以一節(jié)試卷講評(píng)課分享如下：學(xué)問(wèn)，先學(xué)再問(wèn)，問(wèn)而后學(xué)，是一個(gè)循環(huán)往復(fù)的過(guò)程。

一、 以錯(cuò)題探尋思維的痕跡

顧名遠(yuǎn)教授說(shuō)：“新世紀(jì)的教育要求學(xué)生獨(dú)立思考，敢想敢做，勇于創(chuàng)新，不能提出問(wèn)題的學(xué)生不是一個(gè)好學(xué)生?！睂W(xué)貴質(zhì)疑，有疑必有思，有思必有問(wèn)。學(xué)生“學(xué)會(huì)”提出問(wèn)題，雖不能解決問(wèn)題，但能夠提出問(wèn)題相當(dāng)于把問(wèn)題解決一半，提不出問(wèn)題自然不知道怎樣解決問(wèn)題。精細(xì)處理解題的過(guò)程可以說(shuō)是自問(wèn)、自答、自編、自演的一個(gè)過(guò)程。

傳統(tǒng)教學(xué)導(dǎo)致學(xué)生習(xí)慣被喂養(yǎng)，沒(méi)有主動(dòng)挖掘問(wèn)題的意識(shí)，不會(huì)用相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)去試試看。所謂會(huì)，一眼看出答案便是會(huì)，稍微拐個(gè)彎就不會(huì)，何談思考。學(xué)生不會(huì)提問(wèn)，問(wèn)就簡(jiǎn)單兩個(gè)字：不會(huì)。老師追問(wèn)哪里不會(huì)，他答都不會(huì)，沒(méi)有自己的思維，讓老師不知從何講起；只會(huì)“紙上談兵”似的認(rèn)字讀題，不知如何解讀題意、使用條件，不明確解題目的，不知如何建立條件和結(jié)論的聯(lián)系。課堂內(nèi)外都需要教師引導(dǎo)學(xué)生意識(shí)到錯(cuò)必有問(wèn)、找問(wèn)、解問(wèn)等。

首先，教師要鼓勵(lì)學(xué)生說(shuō)出自己的想法，鼓勵(lì)其自我反思，去探索和發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方法，勿用自己的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)和“身份”隨意地束縛學(xué)生的想法。課堂上，教師“舍”給學(xué)生足夠質(zhì)疑與反思的時(shí)間，“得”思維碰撞之火花。學(xué)生會(huì)柳暗花明又一村地帶給教師一個(gè)又一個(gè)的驚喜。其次，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)避免不了錯(cuò)題，對(duì)錯(cuò)題講解比上新課更有挑戰(zhàn)性。將錯(cuò)簡(jiǎn)單分不會(huì)錯(cuò)、會(huì)錯(cuò)兩類(lèi)。不論什么原因，終究會(huì)有部分學(xué)生，老師講我懂，換一類(lèi)似題目，自己就是想不到。學(xué)生一般都會(huì)認(rèn)真對(duì)待檢測(cè)卷上的試題，對(duì)每道題的思考相比平時(shí)會(huì)更充分。講解這類(lèi)全員充分思考過(guò)的題目比較有針對(duì)性：①顯性的書(shū)寫(xiě)痕跡記錄當(dāng)時(shí)思考的過(guò)程。②考后有寬裕的時(shí)間，有針對(duì)性地找學(xué)生個(gè)別交流說(shuō)出自己想法，教師收集典型的想法備課，課堂上讓學(xué)生展示自己當(dāng)時(shí)的想法，老師根據(jù)學(xué)生的困惑關(guān)鍵處及時(shí)引導(dǎo)，提高學(xué)生的解題能力和課堂效度?！叭齻€(gè)臭皮匠，頂個(gè)諸葛亮?！闭n后教師要與學(xué)生個(gè)別交流，也要鼓勵(lì)和引導(dǎo)學(xué)生相互交流，讓問(wèn)題意識(shí)時(shí)刻伴隨、得到更好地鞏固和延續(xù)。借用美國(guó)教育家布魯巴克的“最精湛的教育藝術(shù)，遵循的最高原則，就是學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和提出問(wèn)題”與大家共勉。

二、 以問(wèn)題提出讓思維留痕

在試卷講評(píng)教學(xué)中，教師要站在學(xué)生的角度思考，想學(xué)生之所想，要調(diào)動(dòng)學(xué)生積極參與充分展現(xiàn)學(xué)生的思維過(guò)程。如對(duì)學(xué)生思維終點(diǎn)、盲點(diǎn)等要細(xì)致分析和合理指導(dǎo)，優(yōu)化學(xué)生思維。

學(xué)生遇到綜合性比較強(qiáng)的問(wèn)題，第一反應(yīng)不知道怎么想，沒(méi)思路，條件不知道怎么用。文章通過(guò)對(duì)幾道錯(cuò)題的思考引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)想和反思解題。在解題教學(xué)中，教師要盡可能地引導(dǎo)學(xué)生展示并感悟數(shù)學(xué)解題思維過(guò)程，在清楚“如何做”的基礎(chǔ)上，更要理解“為何這樣做”，避免機(jī)械盲目地生搬硬套。對(duì)一道原本枯燥的題目，我們通過(guò)不斷的聯(lián)想與深度的反思，得到一個(gè)又一個(gè)結(jié)論。

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中注重對(duì)學(xué)生思維的訓(xùn)練，教師要站在更高角度去思考，呈現(xiàn)出適合大眾口味的解題方法，讓每一個(gè)學(xué)生易于理解，快速接受，一切的知識(shí)都自然生成。對(duì)一道題，教師要善于從深淺不同層次，運(yùn)用不同的方法解決，比較解法的優(yōu)劣，掌握一定的解題技能。對(duì)習(xí)題分類(lèi)講解，教會(huì)學(xué)生識(shí)別題目的類(lèi)型，選擇合適的方法進(jìn)行合理的想象和思考，以不變的數(shù)學(xué)知識(shí)解決萬(wàn)變的數(shù)學(xué)題。以下是筆者對(duì)一份試卷講評(píng)課的課堂展示，包括發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題環(huán)節(jié)。教師精心設(shè)計(jì)問(wèn)題，在問(wèn)題串中漸進(jìn)思考。

師：在同一平面內(nèi)，兩條直線(xiàn)的位置關(guān)系有幾種？生：相交和平行。

師：板書(shū)畫(huà)出圖形。師：在兩條相交的直線(xiàn)中，有哪些你熟悉的角？生：有對(duì)頂角、互為補(bǔ)角、平角三種角。

師：兩條平行線(xiàn)只有平角，如何產(chǎn)生內(nèi)錯(cuò)角、同旁?xún)?nèi)角、同位角？生：截線(xiàn)。

師：截線(xiàn)（線(xiàn)段、射線(xiàn)、直線(xiàn)）是除平行線(xiàn)外的第三條線(xiàn)，這條線(xiàn)決定平行線(xiàn)的性質(zhì)和判定合理的選擇。

問(wèn)題1：如圖1，請(qǐng)根據(jù)下列要求回答問(wèn)題：

（1）若AB∥CD，你能得到哪些結(jié)論？（2）請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)條件，使AB∥CD。

本題意圖：在完整三線(xiàn)八角圖中，既復(fù)習(xí)平行線(xiàn)的性質(zhì)和判定，又易于發(fā)散學(xué)生思維，打開(kāi)學(xué)生思維之門(mén)，為之后思考作鋪墊。

問(wèn)題2：如圖2，∠3=40°，直線(xiàn)b平移后得到直線(xiàn)a，∠1+∠2=＿＿＿＿ °。

本題意圖：比較學(xué)習(xí)，當(dāng)截線(xiàn)不是以直線(xiàn)，而分別以線(xiàn)段、射線(xiàn)出現(xiàn)，學(xué)生該如何分析呢？三線(xiàn)八角圖不是以完整的方式呈現(xiàn)，而是隱去某些部分得到非完整的三線(xiàn)八角圖。解決問(wèn)題方式是返璞歸真，把隱去部分合適地顯現(xiàn)。方法一：分析本題除去兩條平行線(xiàn)a、b，剩下兩條是射線(xiàn)，截平行線(xiàn)中的其中一條線(xiàn)，通過(guò)把射線(xiàn)反向延長(zhǎng)展示完整的三線(xiàn)八角圖。方法二：過(guò)∠2的頂點(diǎn)畫(huà)平行線(xiàn)，射線(xiàn)巧成截線(xiàn)，畫(huà)平行線(xiàn)一舉兩得把兩條截線(xiàn)利用起來(lái)。

問(wèn)題3：數(shù)學(xué)課上，張老師給出這樣一個(gè)問(wèn)題：

已知：如圖3，直線(xiàn)a∥b，a∥c，請(qǐng)說(shuō)明：b∥c。請(qǐng)你把小明的說(shuō)明過(guò)程補(bǔ)充完整：

說(shuō)明：作直線(xiàn)l分別和a，b，c相交（如圖3）

∵a∥b（已知）

∴∠1=＿＿＿＿，（＿＿＿＿＿＿＿＿）

又∵a∥c（已知）

∴∠1=＿＿＿＿，（兩直線(xiàn)平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）

∴＿＿＿＿

∴b∥c，（＿＿＿＿＿＿＿＿）

由此我們可以得到一個(gè)基本事實(shí)：平行于同一條直線(xiàn)的兩條直線(xiàn)互相＿＿＿＿＿＿＿＿。

本題意圖：當(dāng)沒(méi)有截線(xiàn)該如何添輔助線(xiàn)呢？填空的方式大大降低了題目難度，如果單獨(dú)作為命題給出，學(xué)生難想到，這樣的截線(xiàn)有無(wú)數(shù)條給學(xué)生帶來(lái)無(wú)限遐想和回味。

問(wèn)題4：如圖4，已知射線(xiàn)OA∥射線(xiàn)CB，∠C=∠OAB=100°。點(diǎn)D、E在線(xiàn)段CB上，且∠DOB=∠BOA，OE平分∠DOC。

（1）試說(shuō)明AB∥OC的理由；（2）試求∠BOE的度數(shù)；（3）平移線(xiàn)段AB，①試問(wèn)∠OBC：∠ODC的值是否會(huì)發(fā)生變化？若不會(huì)，請(qǐng)求出這個(gè)比值；若會(huì)，請(qǐng)找出相應(yīng)變化規(guī)律。②若在平移過(guò)程中存在某種情況使得∠OEC=∠OBA，試求此時(shí)∠OEC的度數(shù)。

本題意圖：當(dāng)截線(xiàn)很多該如何選擇合適呢？以試卷最后一題為例，開(kāi)啟幾何分析、思考解題之旅。

數(shù)學(xué)離不開(kāi)解題，而解題與聯(lián)想、反思是緊密相連的，成功有效的解題過(guò)程中必然伴隨著一系列的聯(lián)想和反思，豐富多彩的聯(lián)想和反思，往往能帶來(lái)更多的信息，才能使你的思維變得更加明朗，提高思維的廣闊性、靈活性和創(chuàng)造性，有助于思維的優(yōu)化，讓你進(jìn)入新的境界，最終為我們的解題創(chuàng)造出一個(gè)又一個(gè)的精彩。

教師應(yīng)教會(huì)學(xué)生如何閱讀題目，如何正確解讀題意，充分合理地理解題意。根據(jù)題目所提供的條件，教會(huì)學(xué)生想象像主持人一般，邊讀題目，邊讓題目形象地登場(chǎng)——復(fù)雜問(wèn)題是多個(gè)簡(jiǎn)單問(wèn)題的疊加，自己畫(huà)圖把復(fù)雜圖形問(wèn)題簡(jiǎn)單化如圖5所示。

分析除去兩條平行射線(xiàn)OA與射線(xiàn)CB，余下的五條線(xiàn)段OC、線(xiàn)段OE、線(xiàn)段OD、線(xiàn)段OB、線(xiàn)段AB都有可能是截線(xiàn)。此時(shí)，按照語(yǔ)句順序看下一個(gè)條件“∠C=∠OAB=100°”。參看原圖形，∠C帶來(lái)線(xiàn)段OC的出場(chǎng)；∠OAB帶來(lái)線(xiàn)段AB的出場(chǎng)；很清晰地選出真正截線(xiàn)為線(xiàn)段OC，同旁?xún)?nèi)角∠C與∠COA互補(bǔ)，或者選擇線(xiàn)段AB為截線(xiàn)，則∠CBA與∠OAB互補(bǔ)，加上∠C=∠OAB這個(gè)條件，這四個(gè)角相互有了聯(lián)系，不難證明AB∥OC。

教學(xué)中，從條件出發(fā)把學(xué)生可能有的想法自然生成，學(xué)生教學(xué)生，讓學(xué)生感受不同人的理解，發(fā)散思維，從復(fù)雜圖形中分離出簡(jiǎn)單基本圖形，從視覺(jué)上、心理上降低題目的難度，本質(zhì)是幾個(gè)簡(jiǎn)單圖形的疊加。

閱讀題目的文字，解讀出題者用意，廣泛應(yīng)用于數(shù)學(xué)所有類(lèi)型的題目。

如第（2）小題，∠BOE不是題中直接提到的角，沒(méi)有直接提到就是間接形成，可以看成角的和與差，或者找到與之相鄰的角，或者找與其有關(guān)系的角等。結(jié)合已知條件自然看成∠DOE（OE平分∠DOC）與∠BOD（∠DOB=∠BOA）之和，在思考問(wèn)題過(guò)程中要充分挖掘已知條件和所求之間的聯(lián)系，這個(gè)聯(lián)系就是解題的鑰匙。

第（3）題第①問(wèn)，平移線(xiàn)段AB，題中唯一動(dòng)態(tài)元素，動(dòng)靜是相對(duì)的，動(dòng)在某一個(gè)時(shí)刻轉(zhuǎn)化為靜，整個(gè)圖形是靜態(tài)。圖形大小發(fā)生變化，要抓住不變的量?！耙阎渚€(xiàn)OA∥射線(xiàn)CB，∠C=∠OAB=100°。點(diǎn)D、E在線(xiàn)段CB上，且∠DOB=∠BOA，OE平分∠DOC；第（1）說(shuō)明AB∥OC”，這些條件不變?！螼BC與∠ODC是之前沒(méi)有提到過(guò)的角，回顧角的靜態(tài)定義，角是由公共端點(diǎn)兩條射線(xiàn)所組成的圖形。這兩個(gè)角涉及線(xiàn)段OD、線(xiàn)段OB、線(xiàn)段CD與射線(xiàn)CB在同一直線(xiàn)上，想到線(xiàn)段CD與射線(xiàn)CB是建立兩個(gè)角聯(lián)系的媒介，根據(jù)所求，執(zhí)果索因去找相關(guān)的條件，鎖定“已知射線(xiàn)OA∥射線(xiàn)CB”這個(gè)條件。線(xiàn)段OD、線(xiàn)段OB恰巧是平行線(xiàn)的截線(xiàn)，產(chǎn)生內(nèi)錯(cuò)角，通過(guò)平行線(xiàn)的性質(zhì)建立角之間的關(guān)系∠OBC=∠BOA，∠CDO=∠DOA，看似與條件無(wú)直接關(guān)系的角，通過(guò)等量替換，兩個(gè)角的關(guān)系就顯現(xiàn)。幾何題往往需要瞻前“條件”和顧后“結(jié)論”雙管齊下去突破。充分挖掘題目條件相關(guān)的知識(shí)、更細(xì)化地分析條件，是大家能夠理解接受的分析方式。結(jié)合以上分析呈現(xiàn)三幅分解圖（隱去部分線(xiàn)條，非完整的三線(xiàn)八角圖）如圖6。

由上一題作鋪墊，再分析第②題，學(xué)生初步接觸掌握了分析、思考的方法，讓學(xué)生模仿、創(chuàng)新地說(shuō)出自己思考的過(guò)程，盡管在語(yǔ)言表達(dá)上有所欠缺，但是大多數(shù)學(xué)生有思路。在平時(shí)的教學(xué)中需要多加訓(xùn)練和鞏固這樣的分析方式。

本小題解題思路展示如下：根據(jù)結(jié)論提到的兩個(gè)∠OEC與∠OBA出發(fā)比較容易突破?！螼EC由線(xiàn)段CE、線(xiàn)段OE組成，由線(xiàn)段CE找到條件“已知射線(xiàn)OA∥射線(xiàn)CB”，這個(gè)條件反復(fù)多次靈活地通用于三個(gè)小題，關(guān)鍵是這組平行線(xiàn)間的多條截線(xiàn)所導(dǎo)致各種不同。通過(guò)平行線(xiàn)的性質(zhì)得到∠OEC=∠AOE。同理∠OBA由線(xiàn)段OB、線(xiàn)段AB組成，找到結(jié)論“（1）試說(shuō)明AB∥OC的理由”，在實(shí)際應(yīng)用中學(xué)生往往會(huì)忽視“來(lái)自新獲得的結(jié)論”這個(gè)隱性的條件。通過(guò)平行線(xiàn)的性質(zhì)得∠OBA=∠COB。研究∠OEC=∠OBA通過(guò)平行線(xiàn)的性質(zhì)轉(zhuǎn)化成為∠AOE=∠COB之間的關(guān)系。這兩個(gè)角減去公共部分得到∠COE=∠BOA，結(jié)合“∠DOB=∠BOA，OE平分∠DOC”，問(wèn)題就不攻自破。

通過(guò)對(duì)這張?jiān)嚲淼姆治觯形蚪處煈?yīng)該教會(huì)學(xué)生如何分析題目、教會(huì)學(xué)生如何合理利用條件和結(jié)論，教會(huì)學(xué)生如何合理地提出問(wèn)題，教會(huì)學(xué)生自然學(xué)會(huì)分析題目背后隱藏的最本質(zhì)的東西（書(shū)本上的定義、定理、法則、經(jīng)典例題等）。本課內(nèi)容圍繞三線(xiàn)八角圖形成關(guān)鍵是截線(xiàn)，結(jié)合基本的定義、定理、判定等，準(zhǔn)確把握條件和結(jié)論，雙雙分析、反思從而自然、正確地解題。相比語(yǔ)言文字，圖形可以更直觀(guān)形象地幫助學(xué)生理解。在幾何教學(xué)課上，教師應(yīng)該教會(huì)學(xué)生自己畫(huà)圖，自己畫(huà)圖貌似浪費(fèi)時(shí)間，其實(shí)是磨刀不誤砍柴工的方法，學(xué)生如同玩拼裝玩具拆開(kāi)又拼起來(lái)，身臨其境地從復(fù)雜圖形中分離出基本圖形如圖7，從視覺(jué)上有效排除干擾，從而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，簡(jiǎn)明、易懂、高效、快速地解決問(wèn)題。

返璞歸真地思與問(wèn)，回歸數(shù)學(xué)本質(zhì)的提問(wèn)與思考是每個(gè)學(xué)生易于接受、能夠接受的分析方法。對(duì)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)是數(shù)學(xué)知識(shí)靈活地演繹和變形，進(jìn)一步強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)要回歸書(shū)本，讓書(shū)本作為知識(shí)的根，成為穩(wěn)健的根基，才能結(jié)出有效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成果。

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作者簡(jiǎn)介：項(xiàng)珠確（1983～），女，漢族，浙江衢州人，浙江省衢州正誼學(xué)校，研究方向：初中數(shù)學(xué)教學(xué)與研究。