數(shù)學(xué)習(xí)題教學(xué)不妨“借題發(fā)揮”

葛群兵

摘要：教材習(xí)題是數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)技能常用的傳遞載體，是學(xué)生學(xué)習(xí)活動(dòng)的基本內(nèi)容，是教師教學(xué)活動(dòng)的重要依托，也是學(xué)生感悟方法和積累經(jīng)驗(yàn)的重要途徑，是蘊(yùn)含著豐富而巨大價(jià)值的數(shù)學(xué)寶藏。數(shù)學(xué)習(xí)題教學(xué)，教師不妨“借題發(fā)揮”：借“開放性習(xí)題”，引導(dǎo)學(xué)生全方位思考；借“干擾性習(xí)題”，助力學(xué)生突破思維定式；借“矛盾性習(xí)題”，促進(jìn)學(xué)生內(nèi)化數(shù)學(xué)語言。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué)；習(xí)題教學(xué)；教材

教材習(xí)題是數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)技能常用的傳遞載體，是學(xué)生學(xué)習(xí)活動(dòng)的基本內(nèi)容，是教師教學(xué)活動(dòng)的重要依托，也是學(xué)生感悟方法和積累經(jīng)驗(yàn)的重要途徑，是蘊(yùn)含著豐富而巨大價(jià)值的數(shù)學(xué)寶藏。數(shù)學(xué)習(xí)題教學(xué)，教師不妨“借題發(fā)揮”，利用好“開放性習(xí)題”“干擾性習(xí)題”“矛盾性習(xí)題”等，引導(dǎo)學(xué)生全方位地思考數(shù)學(xué)問題，突破思維定式，內(nèi)化數(shù)學(xué)語言。

一、借“開放性習(xí)題”，引導(dǎo)學(xué)生全方位思考

習(xí)題的開放性意味著情境可能是多元的，問題可能是開放的，形式可能是多變的?！伴_放性習(xí)題”一般不設(shè)置標(biāo)準(zhǔn)答案，而是鼓勵(lì)學(xué)生盡可能發(fā)散思維，在開放的過程和結(jié)果分享中達(dá)到思維訓(xùn)練的目的。教學(xué)中，教師要指導(dǎo)學(xué)生多角度地觀察、思考“開放性習(xí)題”，提出解決方案并作出合理的解釋。習(xí)題答案不唯一，學(xué)生只要言之有理，都應(yīng)得到肯定。這樣能夠給予學(xué)生充足的空間與信心，以盡情地發(fā)揮他們的才能。

例如，對(duì)于蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)六年級(jí)下冊(cè)第18頁的第13題（見下頁圖1），課堂上解答第（1）小問時(shí)，大多數(shù)學(xué)生都采用了3.14×15×2×20+3.14×152這種解法，而有少部分學(xué)生列出的算式是3.14×15×2×20+3.14×152×2。為什么呢？教師組織學(xué)生展開討論。原來，乍一看，本題的第（1）小問僅是在考查學(xué)生運(yùn)用所學(xué)的圓柱表面積知識(shí)解決生活中的實(shí)際問題，但是如果仔細(xì)思考，就會(huì)發(fā)現(xiàn)這一小問是開放性的——生活中圓柱形蛋糕盒的哪幾個(gè)面由硬紙板構(gòu)成。

針對(duì)這一問題的討論，學(xué)生的想法分成兩類：一類是側(cè)面+上底面（1個(gè)圓），另一類是側(cè)面+上下兩個(gè)底面（2個(gè)圓）。教師讓學(xué)生課后查閱資料或去蛋糕店實(shí)地考察，找尋證據(jù)。經(jīng)過調(diào)研，學(xué)生達(dá)成共識(shí)：在現(xiàn)實(shí)生活中，蛋糕盒的下底面有可能采用硬紙板，也有可能采用泡沫等其他材質(zhì)。所以，兩種解法都是正確的，均出于對(duì)現(xiàn)實(shí)生活的觀察和思考。

再如，對(duì)于蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)六年級(jí)下冊(cè)第42頁的思考題（見圖2），學(xué)生的理解不同，因而呈現(xiàn)出的結(jié)果和形式也不盡相同。填寫“m∶n=（）∶（）”時(shí)，有的學(xué)生根據(jù)比例的基本性質(zhì)（兩個(gè)外項(xiàng)的積等于兩個(gè)內(nèi)項(xiàng)的積）直接寫出m∶n=25∶34；有的學(xué)生則認(rèn)為m∶n=8∶15。填寫“nm=（）”時(shí)，有的學(xué)生理解成求比值，得到158或1.875；也有的學(xué)生將這一空理解成繼續(xù)填寫簡比15∶8或158。

盡管該題并不涉及多種可能的生活情境，但是在結(jié)果呈現(xiàn)時(shí)，應(yīng)允許學(xué)生有“一千個(gè)哈姆萊特”。此時(shí)，教師減緩教學(xué)節(jié)奏，傾聽學(xué)生的理解，引導(dǎo)他們闡述自己觀察和思考的角度。當(dāng)聽到有學(xué)生選擇根據(jù)題中nm的形式將答案寫成158（既可以理解成比，也可以理解成比值）時(shí)，我們不禁為這樣清晰的數(shù)學(xué)思維而拍案叫絕。

張文質(zhì)先生指出：“教育是慢的藝術(shù)，需要細(xì)致、耐心?！苯柚伴_放性習(xí)題”，教師以“領(lǐng)路人”的身份給予學(xué)生更多表達(dá)“蛋糕盒的下底面并非一定是硬紙板”“158既是比，也是比值”等的時(shí)間和空間，進(jìn)而展現(xiàn)每個(gè)學(xué)生獨(dú)特的數(shù)學(xué)觀察與思考之美。

二、借“干擾性習(xí)題”，助力學(xué)生突破思維定式

對(duì)學(xué)生而言，熟悉的題干內(nèi)容、相似的形式，常會(huì)令他們產(chǎn)生似曾相識(shí)之感。有時(shí)，這種“似曾相識(shí)”會(huì)幫助學(xué)生快速解題；有時(shí)，這種熟悉感可能導(dǎo)致學(xué)生程序化、僵硬化地解題，出現(xiàn)思維定式，導(dǎo)致解題出錯(cuò)。對(duì)此，教師可以有意識(shí)地反其道而行之，借助“干擾性習(xí)題”，助力學(xué)生突破思維定式，發(fā)展理性思維。

例如，根據(jù)題目提示，蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)六年級(jí)下冊(cè)第32頁的第9題（見下頁圖3）可以用列舉法解答。學(xué)生的練習(xí)反饋有這樣幾種情形：少數(shù)學(xué)生從假設(shè)投中1個(gè)2分球和8個(gè)3分球開始推算，多數(shù)學(xué)生從假設(shè)投中4個(gè)2分球和5個(gè)3分球開始推算。按照教材的建議從中位數(shù)開始列舉時(shí)，若從4個(gè)2分球和5個(gè)3分球開始假設(shè)，推演出正確答案后會(huì)發(fā)現(xiàn)表格空余一行未填；若從5個(gè)2分球和4個(gè)3分球開始假設(shè)，需要的行數(shù)就更少了。不過，大多數(shù)學(xué)生都傾向于相信題目提供的行數(shù)是正好的，因而在解答此題時(shí)，常會(huì)受到“表格行數(shù)正好”的干擾，懷疑自己算錯(cuò)了、寫漏了，從而畫蛇添足。

此時(shí)，教師要引導(dǎo)學(xué)生相信自己理性推斷的結(jié)果，不受題目無關(guān)信息的干擾。此外，教師還需要指導(dǎo)學(xué)生感受數(shù)的意義，避免拿到此題就埋頭從1個(gè)2分球和8個(gè)3分球開始推算。

再如，蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)六年級(jí)下冊(cè)第59頁的第3題（見圖4）的第（2）問需要學(xué)生利用圖像估計(jì)時(shí)間和路程的對(duì)應(yīng)數(shù)值。盡管答案允許一定程度的誤差，但由于要估計(jì)的兩個(gè)數(shù)值都不在圖像顯示的橫縱軸已知坐標(biāo)的交叉點(diǎn)上，學(xué)生很容易受縱坐標(biāo)都是偶數(shù)的干擾，得出“20分鐘大約行6千米”“行10千米大約要用40分鐘”。

對(duì)此，教師應(yīng)循序漸進(jìn)，讓學(xué)生在操作交流中體會(huì)正比例圖像的應(yīng)用價(jià)值，引導(dǎo)學(xué)生不過度關(guān)注題目中的無關(guān)信息，而理解題目的本質(zhì)——路程和時(shí)間成正比例關(guān)系，對(duì)應(yīng)比值恒定。此外，在學(xué)生給出他們估計(jì)的答案后，教師還應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)正比例關(guān)系進(jìn)行計(jì)算驗(yàn)證，養(yǎng)成良好的解題習(xí)慣，突破解題的慣性和思維定式。

不難發(fā)現(xiàn)，學(xué)生在解答“干擾性習(xí)題”時(shí)，由于思維定式的存在以及實(shí)際經(jīng)驗(yàn)的不足，容易受到干擾。因此，教師需要“對(duì)癥下藥”，培養(yǎng)學(xué)生把握題目本質(zhì)和靈活解答題目的能力，以減少僵化的答題模式，發(fā)展理性思維，樹立學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信心。

三、借“矛盾性習(xí)題”，促進(jìn)學(xué)生內(nèi)化數(shù)學(xué)語言

數(shù)學(xué)就其本質(zhì)而言，是邏輯思想的詩篇。在義務(wù)教育階段，一方面，我們需要培養(yǎng)學(xué)生感悟和欣賞數(shù)學(xué)語言的抽象、簡潔與優(yōu)美的能力，初步學(xué)會(huì)運(yùn)用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界；另一方面，又不得不考慮此時(shí)的學(xué)生有別于成年人，是以獨(dú)特的視角和方式觀察世間萬物的。因此，教師要善于鑒別和利用習(xí)題的矛盾性，即那些蘊(yùn)含與現(xiàn)實(shí)生活的沖突，或者因數(shù)學(xué)語言抽象晦澀，與學(xué)生語言發(fā)展水平、認(rèn)知理解能力不符的矛盾。繼而，通過以更加明確和恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)語言轉(zhuǎn)述，使其更加適應(yīng)學(xué)生的學(xué)習(xí)，變?yōu)橛行У慕虒W(xué)素材，更好地為教學(xué)服務(wù)。教師借助“矛盾性習(xí)題”，培養(yǎng)學(xué)生通過自己的語言表達(dá)數(shù)學(xué)問題的能力，促使學(xué)生將數(shù)學(xué)的語言內(nèi)化于心。

（一）借助具體數(shù)據(jù)與生活實(shí)際矛盾的習(xí)題

例如，教學(xué)蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)六年級(jí)下冊(cè)第69頁的第7題（見下頁圖5）時(shí)，教師引導(dǎo)學(xué)生在完成此題時(shí)翻看語文和數(shù)學(xué)課本的封底，學(xué)生發(fā)出一片驚呼。學(xué)生驚呼的原因有二：一是與平時(shí)動(dòng)則標(biāo)價(jià)幾十元甚至上百元的其他書籍相比，教材的單價(jià)明顯偏低，分別是7.82元和7.59元；二是單價(jià)中還有2分和9分。日常生活中，分幣已經(jīng)逐漸退出流通市場，學(xué)生對(duì)于“分”的概念比較模糊、陌生。

為了更好地利用這種習(xí)題與生活實(shí)際的矛盾性，教師一方面向?qū)W生科普人民幣“分”在現(xiàn)實(shí)生活中出現(xiàn)的可能性，復(fù)習(xí)“分”與其他貨幣單位的關(guān)系，用數(shù)學(xué)的語言表述乘法在購物情境中的應(yīng)用；另一方面，向?qū)W生說明語文和數(shù)學(xué)等課本都是國家免費(fèi)提供的，大家應(yīng)該從小努力學(xué)習(xí)，長大回報(bào)祖國。

（二）借助問題表述與學(xué)生理解矛盾的習(xí)題

考慮到學(xué)生的數(shù)學(xué)語言發(fā)展水平和認(rèn)知理解能力仍未完善，習(xí)題的指向和表達(dá)應(yīng)該更加貼合學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)和生活經(jīng)驗(yàn)，尋求和利用好學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”。過于抽象的術(shù)語化提問，容易與小學(xué)生的理解能力形成矛盾，繼而影響學(xué)習(xí)效果，難以達(dá)成教學(xué)目標(biāo)。

例如，解答蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)六年級(jí)下冊(cè)第70頁的第13題（見圖6）時(shí)，學(xué)生首先列舉得出1、2、3、5組成的兩位數(shù)共有12個(gè)：12、13、15、21、23、25、31、32、35、51、52、53。再加上1、2、3、5四個(gè)數(shù)，這些數(shù)中有因數(shù)2的有4個(gè)（2、12、32、52），所以2、12、32和52這四個(gè)數(shù)有公因數(shù)2。

然而，在小學(xué)階段，一般只要求學(xué)生理解并掌握求解兩個(gè)數(shù)的公因數(shù)，本題中的表述容易造成學(xué)生的理解困難，與課程要求和學(xué)生個(gè)體的認(rèn)知能力相矛盾。因此，面對(duì)此類“矛盾性習(xí)題”，教師需要結(jié)合學(xué)生的學(xué)習(xí)特點(diǎn)和認(rèn)知規(guī)律，以簡練的語言和簡單的方法進(jìn)行引導(dǎo)。具體而言，問題可以簡化表述為：“在1、2、3、5和由它們組成的兩位數(shù)中，哪些數(shù)有因數(shù)2？哪些數(shù)有因數(shù)3？哪些數(shù)有因數(shù)5？”“哪兩個(gè)數(shù)有公因數(shù)2？哪兩個(gè)數(shù)有公因數(shù)3？哪兩個(gè)數(shù)有公因數(shù)5？”“哪些數(shù)有因數(shù)2？哪兩個(gè)數(shù)有公因數(shù)3？”簡化后的問題表述比原來的表述更具針對(duì)性，學(xué)生更容易理解，解答時(shí)也更得心應(yīng)手。同時(shí)，學(xué)生還可以通過比對(duì)各種表述，體會(huì)數(shù)學(xué)語言抽象與凝練的特點(diǎn)，鍛煉自己運(yùn)用數(shù)學(xué)語言表達(dá)問題的能力。