田鈺

與三角形有關(guān)的取值范圍問題的難度一般不大，常見命題形式有：求三角形的某條邊、某個(gè)角、某個(gè)參數(shù)、面積、周長的取值范圍.此類問題側(cè)重于考查解三角形、三角函數(shù)、基本不等式等知識的綜合應(yīng)用.下面以一道題目為例，談一談與三角形有關(guān)的取值范圍問題的解法.

要求 ΔABC 的面積以及 a+c 的取值范圍，需先運(yùn)用正余弦定理進(jìn)行邊角互化，將 ΔABC 的面積以及a+c 用邊或角表示出來；再根據(jù)表達(dá)式的結(jié)構(gòu)特征選擇合適的方法，如利用三角函數(shù)的性質(zhì)、基本不等式，來求目標(biāo)式的取值范圍.

一、利用三角函數(shù)的性質(zhì)

在解答與三角形有關(guān)的取值范圍問題時(shí)，我們可以先運(yùn)用正余弦定理，將已知關(guān)系式、目標(biāo)式化為關(guān)于角的關(guān)系式；然后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理：三角形的三個(gè)內(nèi)角和為180 o ，以及誘導(dǎo)公式、輔助角公式、兩角和差的正余弦公式等進(jìn)行恒等變換，將目標(biāo)式化簡為只含有一個(gè)角、一種函數(shù)名稱的函數(shù)式；再借助正、余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)求目標(biāo)式的取值范圍.

我們先運(yùn)用正弦定理將邊化為角，并用角的三角函數(shù)式表示各條邊長、S ΔABC 、b+c ；然后根據(jù)輔助角公式、二倍角公式、兩角和差的正弦公式進(jìn)行恒等變換，將目標(biāo)式化簡為只含正弦函數(shù)和角C的式子，即可運(yùn)用正弦函數(shù)的有界性和單調(diào)性，以及正弦函數(shù)的圖象求得 S ΔABC 、b+c 的取值范圍.值得注意的是，在求三角形面積的取值范圍時(shí)，要將關(guān)系式化為關(guān)于某個(gè)角的正弦函數(shù)式，以運(yùn)用三角形的面積公式 S=1/2absinC解題.

二、利用基本不等式

若 a、b>0 ，則 a+b≥2 ab ，當(dāng)且僅當(dāng) a=b 時(shí)等號成立，該式稱為基本不等式.基本不等式是求最值、取值范圍的重要工具.在解答與三角形有關(guān)的取值范圍問題時(shí)，可先利用正余弦定理將角化為邊，用邊表示已知關(guān)系式、角、三角形的面積等；然后運(yùn)用湊項(xiàng)、湊系數(shù)、去項(xiàng)、常數(shù)代換等技巧，將目標(biāo)式配湊成兩式的和或積，并使其中之一為定值，即可運(yùn)用基本不等式求得目標(biāo)式的取值范圍.值得注意的是，最后還需檢驗(yàn)取等號時(shí)是否滿足題意.

在解答與三角形有關(guān)的取值范圍問題時(shí)，要注意：（1）根據(jù)目標(biāo)式和已知關(guān)系式的特點(diǎn)，運(yùn)用正余弦定理進(jìn)行邊角互化；（2）關(guān)注與三角形邊、角有關(guān)的隱含條件；（3）需熟練掌握并靈活運(yùn)用三角恒等變換的技巧和配湊基本不等式的技巧進(jìn)行等量代換，以運(yùn)用三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、基本不等式解題.

（作者單位：江蘇省姜堰中學(xué)）