蔡金兵

高中數(shù)學(xué)中與三角形有關(guān)的問題比較常見，這類問題常與函數(shù)、三角函數(shù)、平面向量、解三角形、圓、直線等知識相結(jié)合.這類問題側(cè)重于考查正弦定理、余弦定理、面積公式、勾股定理、三角函數(shù)定義的綜合應(yīng)用.下面主要討論一下與三角形有關(guān)的平面向量問題和三角函數(shù)問題的解法.

一、與三角形有關(guān)的平面向量問題

與三角形有關(guān)的平面向量問題，通常會給出一些有關(guān)三角形三邊的向量關(guān)系，要求根據(jù)題意求某條線段的方向向量的模長、數(shù)量積、夾角及其三角函數(shù)值.解答這類問題，往往要先根據(jù)向量的加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算法則，利用數(shù)量積公式、模的公式進(jìn)行運(yùn)算，將向量關(guān)系轉(zhuǎn)化為三角形三邊、三角之間的關(guān)系；然后通過解三角形，利用正弦定理、余弦定理、勾股定理、三角函數(shù)的定義求得問題的答案.

兩種解法都是先根據(jù)平面向量的數(shù)量積公式，將向量關(guān)系式轉(zhuǎn)為三角形三邊、三角之間的關(guān)系，這樣就問題轉(zhuǎn)化為解三角形問題，利用正余弦定理進(jìn)行邊角互化，求得邊角之間的關(guān)系，進(jìn)而求得問題的答案.不同的是，解法一是將邊化為角，通過三角恒等變換，求得結(jié)果；解法二是將角化為邊，求得三邊之間的關(guān)系，再求各角的正弦值及其關(guān)系.

二、與三角形有關(guān)的三角函數(shù)問題

與三角形有關(guān)的三角函數(shù)問題，往往會給出與三角形的三個(gè)角有關(guān)的三角函數(shù)式，要求三角形的邊、角的大小或關(guān)系式的值.解答這類問題，需先靈活運(yùn)用正余弦定理進(jìn)行邊角互化，根據(jù)勾股定理建立邊角之間的關(guān)系；然后靈活運(yùn)用三角函數(shù)中的誘導(dǎo)公式、和差角公式、二倍角公式進(jìn)行恒等變換，以化簡代數(shù)式或目標(biāo)式；最后根據(jù)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)求得問題的答案.

對于第一個(gè)問題，解法一是采用弦化切的技巧化簡已知關(guān)系式，并利用正切函數(shù)的單調(diào)性求得角B的大??；解法二是逆用、正用余弦的和差公式來化簡已知關(guān)系式；解法三是靈活運(yùn)用二倍角公式和輔助角公式來化簡已知關(guān)系式.對于第（2）題，則需根據(jù)正弦定理和三角形的內(nèi)角和定理，將目標(biāo)式化為關(guān)于sinC的式子，然后利用基本不等式求得最值.

總之，解答與三角形有關(guān)問題，需注意：（1）利用正余弦定理進(jìn)行邊角互化；（2）明確三角形三角之間的關(guān)系，如三個(gè)內(nèi)角之和為 180°，銳角的范圍為（0，90°），鈍角的范圍為（90°，180°）；（3）靈活運(yùn)用三角恒等變換的技巧化簡關(guān)系式.

（作者單位：江蘇省啟東市匯龍中學(xué)）