一元二次方程根的討論

文／翟曉麗

一元二次方程的根的情況與根的判別式b2-4ac有關(guān)，但在解含有字母系數(shù)的一元二次方程問題時，常常會出現(xiàn)“等根”“實(shí)根”“不等根”等關(guān)鍵詞，正確理解這些關(guān)鍵詞是解決這類問題的關(guān)鍵。

一、有“等根”

例1若關(guān)于x的方程x2-4x+m=0有兩個相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)m的值為________。

【點(diǎn)評】一元二次方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根，則根的判別式b2-4ac=0。

二、有“不等根”

例2關(guān)于x的一元二次方程x2-2x+n=0 有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，則n的取值范圍是________。

【解析】若一元二次方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，則根的判別式b2-4ac＞0，所以（-2）2-4n＞0，解得n＜1。空格中應(yīng)填n＜1。

【點(diǎn)評】一元二次方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，則根的判別式b2-4ac＞0。

三、有“實(shí)根”

例3若關(guān)于x的一元二次方程mx2+2x+1=0 有實(shí)數(shù)根，則m的取值范圍是（ ）。

A.m≥-1 B.m≤1

C.m≥-1且m≠0 D.m≤1且m≠0

【解析】一元二次方程有實(shí)數(shù)根，分兩種情況：有兩個相等的實(shí)數(shù)根，有兩個不相等的實(shí)數(shù)根。所以根的判別式b2-4ac≥0，所以解得m≤1 且m≠0。選D。

1）60%～80%的果園，有機(jī)肥施得太少，有的連續(xù)幾年未施有機(jī)肥，也很少施用中微量元素肥，這是造成蘋果發(fā)黃不著色的主要因素。

【點(diǎn)評】一元二次方程有兩個實(shí)數(shù)根，則根的判別式b2-4ac≥0 且不能忽視二次項(xiàng)系數(shù)不為0。

四、有“一根”

例4已知關(guān)于x的方程kx2-（2k+4）x+k-6=0 有一個實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)k的值為________。

【解析】一元二次方程如果有實(shí)數(shù)根則有兩個，只有一元一次方程有一個實(shí)數(shù)根。所以方程是一元一次方程，k=0。空格中應(yīng)填0。

【點(diǎn)評】只有一元一次方程有一個實(shí)根。當(dāng)根的判別式b2-4ac=0時，一元二次方程是有兩個相等的實(shí)數(shù)根，而不是只有一個實(shí)數(shù)根。

五、有“負(fù)根”

例5已知關(guān)于x的方程x2+4x-k=0有一個正實(shí)數(shù)根和一個負(fù)實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為________。

【解析】關(guān)于x的方程有一個正實(shí)數(shù)根和一個負(fù)實(shí)數(shù)根，則根的判別式b2-4ac＞0，且x1x2＜0。所 以解得k＞0。空格中應(yīng)填k＞0。

例6已知關(guān)于x的一元二次方程（m-1）x2-2mx+m+1=0 總有一個負(fù)數(shù)根，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為________。

【解析】因?yàn)椋▁-1）［（m-1）x-（m+1）］=0，

所以x-1=0，或（m-1）x-（m+1）=0，即x1=1，或

【點(diǎn)評】用因式分解法解一元二次方程是一種重要的方法，它可以使復(fù)雜的問題變得簡單。

六、整數(shù)根

例7已知實(shí)數(shù)m、x滿足：（mx1-2）·（mx2-2）=4。若m、x1、x2為正整數(shù)，則符合條件的有序?qū)崝?shù)對（x1，x2）有______個。

【解析】當(dāng)m、x1、x2為正整數(shù)時，（mx1-2）、（mx2-2）均為整數(shù)，且mx1≥1，mx2≥1，mx1-2≥-1，mx2-2≥-1。而4=1×4=2×2=4×1，因此，分三種情況討論。

綜上所述，共有7個。空格中應(yīng)填7。

【點(diǎn)評】解決本題的關(guān)鍵及難點(diǎn)是正確運(yùn)用分類討論思想。