結(jié)伴而行的勾股數(shù)

方震軍

我們知道，如果三角形的三邊a，b，c滿足a2 + b2 = c2，那么這個(gè)三角形是直角三角形. 滿足a2 + b2 = c2的三個(gè)正整數(shù)，被稱為勾股數(shù). 可見勾股數(shù)有兩個(gè)特點(diǎn)：一是正整數(shù)，二是滿足a2 + b2 = c2. 勾股數(shù)常與“好友”結(jié)伴而行，構(gòu)成難度適中的數(shù)學(xué)問題.

一、與實(shí)際問題結(jié)伴而行

例1 如圖1，某港口P位于東西方向的海岸線上，甲、乙輪船同時(shí)離開港口，各自沿一固定方向航行，甲、乙輪船每小時(shí)分別航行12海里和16海里，1小時(shí)后兩船分別位于點(diǎn)A，B處，且相距20海里，如果知道甲船沿北偏西40°方向航行，則乙船沿 方向航行.

解析：根據(jù)題意可知AP = 12，BP = 16，AB = 20，而這三個(gè)數(shù)是勾股數(shù)，即122 + 162 = 202，∴△APB是直角三角形，∠APB = 90°. 由題意知∠APN = 40°，∴∠BPN = 90° - ∠APN = 90° - 40° = 50°，即乙船沿北偏東50°方向航行. 故填北偏東50°.

二、與尺規(guī)作圖結(jié)伴而行

例2 如圖2，在Rt△ABC中，∠ACB = 90°，按以下步驟作圖：①以B為圓心，任意長(zhǎng)為半徑作弧，分別交BA，BC于M，N兩點(diǎn)；②分別以點(diǎn)M，N為圓心，以大于[12]MN的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)P；③作射線BP，交AC于點(diǎn)D. 若AB = 10，BC = 6，則線段CD的長(zhǎng)為（ ）.

A. 3? ? ? ? B. [103]? ? ? C. [83]? ? ? D. [165]

解析：由基本作圖可知，BD平分∠ABC. 過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于E，如圖2，則DE = DC.

在Rt△ABC中，AB = 10，BC = 6，由勾股數(shù)可知AC = 8.

∵S△ABD + S△BCD = S△ABC，∴[12]·DE × 10 + [12]·CD × 6 = [12] × 6 × 8，∴CD = 3. 故選A.

三、與圖形折疊結(jié)伴而行

例3 如圖3，在Rt△ABC中，∠ACB = 90°，AC = 8，BC = 6，將邊BC沿CN折疊，使點(diǎn)B落在AB上的點(diǎn)B′處；再將邊AC沿CM翻折，使點(diǎn)A落在CB′的延長(zhǎng)線上的點(diǎn)A′處，兩條折痕與斜邊AB分別交于點(diǎn)N，M，則線段A′M的長(zhǎng)為（ ）.

A. [95]? ? ? B.? [85]? ? ? C.? [75]? ? ? ? ? D. [65]

解析：∵∠ACB = 90°，AC = 8，BC = 6，∴AB = 10.

由翻折知CN⊥AB，∴S△ABC = [12]AC·BC = [12]AB·CN，

即8 × 6 = 10CN，則CN = [245].

在Rt△ACN中，AN2 + CN2 = AC2，即AN2 +? [2452] = 82，解得AN = [325].

由兩次翻折知∠BCN = ∠B'CN，∠B'CM = ∠ACM，

∴∠MCN = ∠B'CN + ∠B'CM = [12]∠ACB = 45°，∴△MCN是等腰直角三角形，

∴MN = CN = [245]，A'M =? AM = AN - MN = [325] - [245] = [85]. 故選B.

四、與規(guī)律探索結(jié)伴而行

例4 （2022·湖北·孝感）勾股定理最早出現(xiàn)在商高的《周髀算經(jīng)》：“勾廣三，股修四，經(jīng)隅五. ”觀察下列勾股數(shù)：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…這類勾股數(shù)的特點(diǎn)是：勾為奇數(shù)，弦與股相差為1. 柏拉圖研究了勾為偶數(shù)，弦與股相差為2的一類勾股數(shù)，如：6，8，10；8，15，17；…若此類勾股數(shù)的勾為2m（m ≥ 3，m為正整數(shù)），則其弦是__________（結(jié)果用含m的式子表示）.

解析：∵m為正整數(shù)，∴2m為偶數(shù)，設(shè)其股是a，則弦為a + 2，根據(jù)勾股定理得（2m）2 + a2 = （a + 2）2，解得a = m2 - 1，則弦為a + 2 = m2 + 1. 故應(yīng)填m2 + 1.

分層作業(yè)

難度系數(shù)：★★★ 解題時(shí)間：5分鐘

1. （2021·四川·涼山）如圖4，在△ABC中，∠ACB = 90°，AC = 8，BC = 6，將△ADE沿DE翻折，使點(diǎn)A與點(diǎn)B重合，則CE的長(zhǎng)為（ ）. （答案見第39頁(yè)）

A. [198]? ? ? B. 2 C. [254]? ? D.[74]

2. （2021·湖南·常德）閱讀理解：如果一個(gè)正整數(shù)m能表示為兩個(gè)正整數(shù)a，b的平方和，即m = a2 + b2，那么稱m為廣義勾股數(shù). 下面有四個(gè)結(jié)論：①7不是廣義勾股數(shù)；②13是廣義勾股數(shù)；③兩個(gè)廣義勾股數(shù)的和是廣義勾股數(shù)；④兩個(gè)廣義勾股數(shù)的積是廣義勾股數(shù). 依次正確的是（ ）. （答案見第39頁(yè)）

A. ②④ B. ①②④ C. ①② D. ①④

（作者單位：江蘇省南通中學(xué)附屬實(shí)驗(yàn)學(xué)校）