林經武

摘 要：數(shù)學應用就是從現(xiàn)實世界中“抽象出”本質與內在規(guī)律，再對這些本質與規(guī)律進行量化與模型化.初中階段關注的是應用意識的培養(yǎng).素養(yǎng)立意的初中數(shù)學應用考查將關鍵能力、數(shù)學應用、數(shù)學探究等學科素養(yǎng)統(tǒng)一到代數(shù)思維這條主線上.

關鍵詞：數(shù)學應用；數(shù)學素養(yǎng)；考查路徑

《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》在課程實施的評價建議環(huán)節(jié)中對學業(yè)水平考試的命題原則作了闡述：堅持素養(yǎng)立意，凸顯育人導向.以核心素養(yǎng)為導向的考試命題，要關注數(shù)學的本質，關注通性通法，綜合考查“四基”“四能”與核心素養(yǎng).適當提高應用性、探究性和綜合性試題的比例，題目設置要注重創(chuàng)設真實情境，提出有意義的問題，實現(xiàn)對核心素養(yǎng)導向的義務教育數(shù)學課程學業(yè)質量的全面考查.

1 數(shù)學應用的內涵外延

“應用”在《辭?！分械慕缍ㄊ恰笆褂没驅嵱谩保辉跀?shù)學領域可理解為“抽象出”.美國學者D.A.格勞斯（Grouws）認為，“數(shù)學應用”就是從現(xiàn)實世界中“抽象出”本質與內在規(guī)律；應用數(shù)學家波拉克（Henry Pollak）提出：“要用數(shù)學的觀點看世界”，即對現(xiàn)實世界的量化與模型化；我國學者任子朝、趙軒認為“數(shù)學應用”培養(yǎng)學生能自覺地從數(shù)學的角度觀察、理解、思考現(xiàn)實問題，能運用數(shù)學知識解決實際生活中的問題.這里的“看”“觀察”等行為動詞就是“抽象出”的表征.

初中階段對數(shù)學應用更多關注的是數(shù)學模型觀念和應用意識的培養(yǎng).模型觀念主要是指對運用數(shù)學模型解決實際問題有清晰的認識，從現(xiàn)實生活或具體情境中抽象出數(shù)學問題，用數(shù)學符號建立方程、不等式、函數(shù)等表示數(shù)學問題中的數(shù)量關系和變化規(guī)律，求出結果并討論結果的意義.應用意識主要是指有意識地利用數(shù)學的概念、原理和方法解釋現(xiàn)實世界中的現(xiàn)象與規(guī)律，解決現(xiàn)實世界中的問題.

數(shù)學應用的內涵就是對一些本質與規(guī)律進行量化與模型化，對于它的外延可以是各種數(shù)學內部的公理化或理論化體系（純數(shù)學）的理論研究，也可以是對現(xiàn)實世界中具有一定規(guī)律或性質的現(xiàn)象研究.

2 數(shù)學應用的考查路徑

初中數(shù)學試題命制需將學科素養(yǎng)統(tǒng)一到理性思維這條主線上，因為理性思維在數(shù)學素養(yǎng)中起著最本質、最核心的作用.因此素養(yǎng)立意的初中數(shù)學應用考查是有意義的，可觸摸的，只要立足運算能力、幾何直觀、推理能力、模型概念等關鍵能力，考查必然統(tǒng)一到代數(shù)思維這條主線上，所以數(shù)學應用的考查路徑是可視的、可操作的.

2.1 利用生活實踐情境，考查模型觀念

從“生活實踐情境”入手，考查學生運用所學知識解釋生活中的現(xiàn)象、解決生產實踐中的問題的能力.關注數(shù)學模型的抽象、建模、解模、驗模的過程，在操作的層面上：問題抽象時要引入需要的參數(shù)，建立多元表征，在這個過程中對字母意義的理解是關鍵；建模時會抓住核心變量、變量的規(guī)律及變量之間的關系，能從表象到本質，從具象到一般，找到可以表征的模型；解模時會找到原理和方法，將概念和定理具體化并用于相應的場景與情境；驗模即會有效監(jiān)控自己的思維過程，對自己的問題解決過程有評價與反思的意識.這類數(shù)學應用的考查路徑以“抽象—建模—解?！災！睘樽ナ?，關聯(lián)方程、不等式或函數(shù)等必備知識，立足數(shù)學閱讀、運算能力、推理能力、模型觀念等關鍵能力，培育代數(shù)思維，發(fā)展模型觀念.

案例1：（2022年廈門市質量抽測第21題）

某旅游區(qū)的湖邊有一個觀賞湖中音樂噴泉的區(qū)域，該區(qū)域沿湖邊有一條東西向的長為32 m的欄桿.考慮到觀景安全和效果，旅游區(qū)計劃設置一個矩形觀眾席，該觀眾席一邊靠欄桿，另三邊用現(xiàn)有的總長為60 m的移動圍欄圍成，并在觀眾席內按行、列（東西向為行，南北向為列）擺放單人座椅，要求每個座位占地面積為1 m²，且觀眾席內的區(qū)域恰好都安排了座位.

（1） 若觀眾席內有x行座椅，用含x的代數(shù)式表示每行的座椅數(shù)，并求x的最小值；

（2） 旅游區(qū)庫存的500張座椅是否夠用？請說明理由.

評析：命題者以“音樂噴泉的觀眾席”為問題情境，在知識領域上考查一元一次不等式、二次函數(shù)的相關知識；在思想方法上考查函數(shù)與方程思想、數(shù)形結合思想、配方法；在學科素養(yǎng)上考查運算能力、應用意識、模型觀念.

試題解答：

（1） 解：每行的座椅數(shù)為：60-2x.

因為欄桿總長為32 m，且每個座位為占地面積1 m²的正方形，所以60-2x≤32，解得x≥14，所以x的最小值為14.

（2） 解：設觀眾席內的座位數(shù)為y，

由題得y＝x（60-2x），其中14≤x＜30，其中x為整數(shù)，所以y＝-2x²+60 x＝-2（x-15）²+450，所以y的最大值為450.

因為450＜500，所以庫存的500張座椅夠用.

答：旅游區(qū)庫存的500張座椅夠用.

思考：我們知道用數(shù)學方法解決任何一個實際問題，都必須在實際問題與數(shù)學知識之間架設一座“橋梁”，這“橋梁”就是模型的搭建.本題的設置就是讓學生找到恰當?shù)摹皹蛄骸?，通過合理的抽象，用“定量化”的語言（如不等式）或結構（如二次函數(shù)模型）來描述現(xiàn)象中的內在規(guī)律并能用這語言與結構解釋.

案例2：（2022年福州市九年級第一學期期末質量抽測第9題）我國南宋數(shù)學家楊輝在《田畝比類乘除捷法》中記錄了這樣的一個問題：“直田積八百六十四步，只云長闊共六十步，問長多闊幾何？”其大意是：矩形面積是864平方步，其中長與寬和為60步，問長比寬多多少步？若設長比寬多x步，則下列符合題意的方程是（??? ）.

A. （60-x）x=864

B. （60-x/2）·（60+x/2）=864

C. （60+x）x=864

D. （30+x）（30-x）=864

評析：本題讓學生用數(shù)學的眼光觀察世界，關注數(shù)學應用的任務情境——文化自信：感受數(shù)學文化，感受數(shù)學之美.讓學生經歷“抽象——建模——解?！災！钡倪^程，如在問題解決過程中學生應明確該模型中的變量是長與寬的差值，不變量是矩形的面積.學會用題目已設字母來表征矩形中的長和寬，感悟代數(shù)思維帶來解題的順暢感和成就感.

從表1可以看到，不同素養(yǎng)水平上的學生在這些任務情境中的表現(xiàn)不一樣，正確率不到50%，難度0.47，區(qū)分度0.70，這是一道區(qū)分度很好的試題.考查學生數(shù)學代數(shù)思維，發(fā)展模型觀念和應用意識.

2.2 利用學習探索情境，考查應用意識

從“學習探索情境”入手，考查學生在真實的研究過程或實際的探索過程中，運用數(shù)學知識與方法發(fā)現(xiàn)、提出、分析和解決問題的能力，涵蓋學習探索與科學探究過程中所涉及的問題.學生在解決這類情境中的問題時，必須啟動已有知識開展智力活動，同時在解決問題的過程中運用創(chuàng)新的思維方式，綜合運用所學知識達到問題解決的目的.這個過程中要關注字母的意義與參數(shù)引入的必要性；關注情境下模型的建立、求解并解釋的能力.這類數(shù)學應用的考查路徑以“過程和結構”為抓手，找出試題中的未知結果與已知信息之間存在的關系，且把這種關系表征出來，同樣關聯(lián)必備知識，立足關鍵能力，培育代數(shù)思維，發(fā)展模型觀念.

案例3：（2022年武漢中考第10題）

幻方是古老的數(shù)學問題，我國古代的《洛書》中記載了最早的幻方——九宮格.將9個數(shù)填入幻方的空格中，要求每一橫行、每一豎列以及兩條對角線上的3個數(shù)之和相等，例如圖（1）就是一個幻方.圖（2）是一個未完成的幻方，則x與y的和是（??? ）.

A. 9

B. 10

C. 11

D. 12

評析：試題考查學生對九宮格的信息提取，借助題目中“每一橫行、每一豎列以及兩條對角線上的3個數(shù)之和相等”，找出圖（2）中第一列和第一行有公共的數(shù)x，這公共數(shù)是隱藏的，無需求出，得出左下角的數(shù)是4，以此類推.而這些公共的數(shù)（同一量）都可以用不同的方式表達，而一切存在等量關系的求值問題本質上都是方程的問題，這便是試題命制要考查學生從數(shù)學問題的內部抽象出的方程模型.這道試題從題面上看情境簡單，條件明確.但是如何從傳統(tǒng)應用問題中直接告知的等量關系的尋找，遷移到表格功能性作用下抽象出方程的模型是問題解決的關鍵.學生由于除對情境中“九宮格的信息的提取”不熟悉外，還對題目中“每一橫行、每一豎列以及兩條對角線上的3個數(shù)之和相等”這一條件的運用沒有找到合適的切入點，導致失分.這道試題經過實測算是選拔性很高的試題.

案例4：（2022年福建中考第23題）

如圖，BD是矩形ABCD的對角線.

（1） 求作⊙A，使得⊙A與BD相切（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）；

（2） 在（1）的條件下，設BD與⊙A相切于點E，CF⊥BD，垂足為F.若直線CF與⊙A相切于點G，求tan ∠ADB的值.

評析：本題第（1）問略；第（2）問解決的最佳路徑是“幾何問題代數(shù)解決”，以“過程和結構”做抓手，探究本題所求“tan ∠ADB的值”與依據(jù)已知條件所呈現(xiàn)出來圖形中的邊、角等基本元素之間存在的關系：位置關系在前、數(shù)量關系在后，數(shù)量化的幾何變換在圖形中的解決，且把這種關系用符號或者由符號組成的代數(shù)式或方程表征出來，關聯(lián)矩形、圓、圓的切線等必備知識，立足數(shù)學閱讀、識圖畫圖、推理能力、運算能力等關鍵能力，培育代數(shù)思維，發(fā)展模型觀念.

上述呈現(xiàn)的四種解法中，無論哪種解法，思維過程都經歷“設未知數(shù)——量的表征——呈現(xiàn)結果”，這是代數(shù)思維的常見邏輯，代數(shù)代表更多的普遍性和一般性（如運算律與公式）；代表著一種思維邏輯（字母與數(shù)一樣可以參與運算）；表現(xiàn)的是一種思維方式（已知與未知的同等地位作用），也是命題者對“學習探索情境”這類數(shù)學應用的常見命題理念.因此試題命制在一定程度上引領教學導向，數(shù)學應用教學最終走向培育代數(shù)思維，發(fā)展學科核心素養(yǎng).

3 結束語

無論“利用生活實踐情境，考查模型觀念”的試題命制還是“利用學習探索情境，考查應用意識”的試題命制，都在引領教師關注教學，關注學生數(shù)學學習的過程，關注對數(shù)學課程本質的整體把握、數(shù)學理解的拓展.對于教材中數(shù)學應用問題，關注字母的引入和使用，關注數(shù)學模型的抽象、建模、解模、驗模的過程，關注代數(shù)思維的建立與培養(yǎng)，則是意在真正讓學生做到探中學，學中會、會中用.

參考文獻：

［1］ 義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）［M］.北京：北京師范大學出版社，2022.

［2］ 教育部教育考試院.深化高考內容改革，加強教考銜接［J］.中國考試，2022（7）：16.

［3］ D.A.格勞斯.數(shù)學教與學研究手冊［M］.上海：上海教育出版社，1999.

［4］ 任子朝，趙軒.基于高考評價體系的數(shù)學科考試內容改革實施路徑［J］.中國考試，2019（12）：2732.

［5］ 陳昂，任子朝.數(shù)學高考中實踐應用能力考查研究［J］.數(shù)學教育學報，2017（3）：1518.

［6］ 喻平.數(shù)學關鍵能力測驗試題編制：理論與方法［J］.數(shù)學通報，2019（12）：17.

［7］ 王秀秀，董磊，陳棉駒.初中數(shù)學模型思想方法的內涵及教學分析［J］.中學數(shù)學教學參考：上旬，2019（11）：6265.

［8］ 鮑建生，等.數(shù)學學習的心理基礎過程［M］.上海：上海教育出版社，2009.

［9］ 柯躍海.選拔性數(shù)學考試的命題與評價［M］.西安：陜西師范大學出版社，2018.