沈磊

【摘要】在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，學(xué)習(xí)基礎(chǔ)知識(shí)的重要性是毋庸置疑的，而數(shù)學(xué)思想方法的學(xué)習(xí)也十分重要.掌握數(shù)學(xué)思想方法不但可以解決一類問(wèn)題，而且可以培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維.在冪的運(yùn)算一節(jié)，滲透著許多重要的思想方法.

【關(guān)鍵詞】?jī)绲倪\(yùn)算；數(shù)學(xué)思想；初中數(shù)學(xué)

初中數(shù)學(xué)中冪的運(yùn)算是整式一章中的基本運(yùn)算，涉及的運(yùn)算比較豐富，例如加減乘除和乘方運(yùn)算，再加上括號(hào)，一些學(xué)生學(xué)習(xí)時(shí)有些眼花繚亂，做題時(shí)無(wú)從下手，或者毫無(wú)根據(jù)的隨意計(jì)算，數(shù)學(xué)思想方法的學(xué)習(xí)有利于對(duì)這一節(jié)內(nèi)容從整體上進(jìn)行把握.在筆者閱讀的一些文獻(xiàn)中，略有數(shù)學(xué)思想方法在冪的運(yùn)算中的滲透[1-2]，經(jīng)過(guò)筆者的總結(jié)，這一節(jié)涉及的數(shù)學(xué)思想方法主要有整體思想、轉(zhuǎn)化思想、逆向思維方法等.

1 整體思想

例1 已知5m=2，5n=3，求53m+2n+1.

分析 由已知條件，在初中階段無(wú)法求出m和n的值，分析所求與已知的關(guān)系，根據(jù)53m=（5m）3，發(fā)現(xiàn)53m+2n+1=53m×52n×5=（5m）3×（5n）2×5，從而整體代入求解.

解 因?yàn)?3m+2n+1=（5m）3×（5n）2×5，

所以53m+2n+1=（5m）3×（5n）2×5

=23×32×5=360.

例2 xm=3，ym=2，求（x2y）m+x2m+y3m的值.

分析 本題中x、y、m的值都無(wú)法求出，所以考慮整體代入求值.

解 因?yàn)椋▁2y）m+x2m+y3m=（xm）2·ym+（xm）2+（ym）3，

所以（x2y）m+x2m+y3m

=（xm）2·ym+（xm）2+（ym）3

=32×2+32+23

=18+9+8=35.

點(diǎn)評(píng) 整體思想是一種重要的數(shù)學(xué)思想，無(wú)論是數(shù)還是式的運(yùn)算，整體思想都不能忽視，運(yùn)用整體思想可以避開(kāi)某些未知數(shù)的求值問(wèn)題，將條件中的式子作為整體代入到代數(shù)式中求值，這一思想在整式一章的其他小節(jié)也有體現(xiàn).

2 轉(zhuǎn)化思想

例3 已知a=255，b=344，c=433，試比較a、b、c的大小.

分析 本題如果想要通過(guò)求出具體值比較大小，顯然數(shù)字過(guò)于龐大，無(wú)法解決，觀察數(shù)字55，44，33都是11的倍數(shù)，把11作為指數(shù)，轉(zhuǎn)化為同指數(shù)冪，比較底的大小即可.

解 因?yàn)閍=255=25×11=（25）11=3211，

b=344=34×11=（34）11=8111，

c=433=43×11=（43）11=6411，

又因?yàn)?2<64<81，

所以a

例4 已知a=8131，b=2741，c=961，試比較a、b、c的大小.

分析 由于冪比較大，直接計(jì)算很不現(xiàn)實(shí)，觀察發(fā)現(xiàn)81，27，9都可以轉(zhuǎn)化為3為底數(shù)的冪，這樣只需要比較指數(shù)的大小即可.

解 因?yàn)閍=8131=（34）31=3124，

b=2741=（33）41=3123，

c=961=（32）61=3122，

又因?yàn)?22<123<124，

所以c

點(diǎn)評(píng) 比較某些冪的大小時(shí)，對(duì)某些問(wèn)題計(jì)算出具體數(shù)值再比較是不切實(shí)際的，轉(zhuǎn)化為同底數(shù)冪或者同指數(shù)冪可以有效地降低運(yùn)算復(fù)雜程度[3]，快速地比較出大小，這種轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用使得復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化，轉(zhuǎn)化與化歸思想是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的基本思想.

3 逆向思維

分析 在學(xué)習(xí)冪的運(yùn)算法則之前，根據(jù)冪的含義把算式分解為一系列數(shù)乘積的形式，通過(guò)約分也可以計(jì)算出結(jié)果，計(jì)算較復(fù)雜，需要經(jīng)過(guò)多次約分計(jì)算，但學(xué)習(xí)了冪的運(yùn)算法則（ab）n=anbn，逆向使用可以降低計(jì)算復(fù)雜程度.

=25×（－5）6

=25×（－5）5×（－5）

=［2×（－5）］5×（－5）

=（－10）5×（－5）

=－100000×（－5）=500000.

例6 求32005×72006×52006的個(gè)位數(shù)字.

分析 把這個(gè)算式的計(jì)算結(jié)果求出是不切實(shí)際的，我們需要注意某些數(shù)字相乘的尾數(shù)特征，例如任意多個(gè)尾數(shù)是1的整數(shù)相乘結(jié)果尾數(shù)仍然是1，任意多個(gè)尾數(shù)是5的整數(shù)相乘結(jié)果尾數(shù)仍然是5等.

解 ?32005×72006×52006

=32005×72005×52005×7×5

=（3×7×5）2005×35

=1052005×35，

因?yàn)?005個(gè)105相乘的尾數(shù)是5，再乘以35之后的尾數(shù)仍然是5，所以原算式計(jì)算結(jié)果的個(gè)位數(shù)字是5.

點(diǎn)評(píng) 以上兩個(gè)例子都涉及冪的運(yùn)算法則（ab）n=anbn的逆向使用，對(duì)于運(yùn)算法則，學(xué)生們往往記住正向使用，而運(yùn)算法則是雙向的，法則的逆向使用有利于逆向思維方式的培養(yǎng)和思維方式的轉(zhuǎn)變，數(shù)學(xué)是培養(yǎng)人的思維的學(xué)科，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中培養(yǎng)和鍛煉思維是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的根本要求.

4 結(jié)語(yǔ)

以上僅僅是數(shù)學(xué)思想方法在冪的運(yùn)算中體現(xiàn)的幾個(gè)例子，對(duì)于初中數(shù)學(xué)，無(wú)論是教師的教還是學(xué)生的學(xué)，現(xiàn)階段還是側(cè)重于知識(shí)點(diǎn)和解題的方法，對(duì)其中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法重視程度往往不夠，這對(duì)學(xué)生今后的學(xué)習(xí)是不利的，僅僅掌握知識(shí)點(diǎn)和解題方法雖然在學(xué)生的應(yīng)試水平上有幫助，但達(dá)到某個(gè)水平之后很難再提升，這主要還是缺乏數(shù)學(xué)思想方法的掌握.日常教學(xué)中，教師在講授或探求方法的同時(shí)，應(yīng)注意數(shù)學(xué)思想方法的滲透，提升學(xué)生的思維品質(zhì)，對(duì)學(xué)生后續(xù)的學(xué)習(xí)會(huì)有很大的幫助.數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)不僅要掌握方法，也要領(lǐng)悟其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想.

參考文獻(xiàn)：

[1]張麗.冪的運(yùn)算中的思想方法[J].中學(xué)生數(shù)理化（八年級(jí)數(shù)學(xué)）（配合人教社教材），2021（11）：6-7.

[2]曹陽(yáng).轉(zhuǎn)化思想與冪的運(yùn)算[J].初中生世界，2019（09）：46.

[3]胡娟.冪運(yùn)算法則的靈活應(yīng)用[J].初中生輔導(dǎo)，2019（Z1）：94-96.