摘 要：數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)知識的基礎(chǔ)，準(zhǔn)確理解數(shù)學(xué)概念是學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的關(guān)鍵，這也是中職數(shù)學(xué)教學(xué)的重點內(nèi)容，而概念教學(xué)也需要好的問題情境的導(dǎo)入.基于此，本文將把“對數(shù)”作為研究案例，從教學(xué)目標(biāo)和學(xué)生心理出發(fā)，探討如何有效地設(shè)計問題串，以此幫助學(xué)生突破學(xué)習(xí)重難點，促進(jìn)對概念的理解與掌握.

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)概念；問題情境；對數(shù)；突破

中圖分類號：G632? ?文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A? ?文章編號：1008-0333（2023）27-0005-03

收稿日期：2023-06-25

作者簡介：謝芳（1982.10-），女，碩士，中學(xué)一級教師，從事中職數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

概念的生成過程是概念教學(xué)的重點.一個好的概念教學(xué)設(shè)計一定是能夠激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、幫助學(xué)生經(jīng)歷概念生成的完整過程.關(guān)于“問題串”的定義，可以理解為教師圍繞一定的教學(xué)目標(biāo)或某個中心問題，按照一定的邏輯結(jié)構(gòu)精心設(shè)計的一系列問題組合[1].這些問題串在教學(xué)中可以引導(dǎo)學(xué)生理解知識的產(chǎn)生與發(fā)展規(guī)律，在此基礎(chǔ)上提升學(xué)生的思維能力和解題能力.因此，教師不妨嘗試將“問題串”運用到數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，通過設(shè)計具有引導(dǎo)性的問題，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動機，引導(dǎo)學(xué)生以積極主動的態(tài)度去探索新知，促進(jìn)概念的形成和掌握.1 創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入課題

無論哪個階段的數(shù)學(xué)教學(xué)，選擇優(yōu)質(zhì)的教學(xué)資源，建立一個能激發(fā)學(xué)生思考和探索的問題情境都是值得教師去認(rèn)真思考的.而在數(shù)學(xué)問題情境的創(chuàng)設(shè)過程中，教師需要關(guān)注與學(xué)生相關(guān)的生活情境以及該知識的產(chǎn)生背景，盡可能地選擇學(xué)生感興趣的、有利于學(xué)生探索新知的學(xué)習(xí)素材.同時，考慮到創(chuàng)設(shè)情境的目的是為了幫助學(xué)生了解知識的來源以及快速地進(jìn)入到學(xué)習(xí)狀態(tài)，故過于復(fù)雜的情境導(dǎo)入則會顯得本末倒置.因此，創(chuàng)設(shè)的情境要體現(xiàn)出直觀性，要讓學(xué)生更好地進(jìn)行思考和訓(xùn)練，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，體會到概念的源頭[2].

在討論對數(shù)的產(chǎn)生時，教師可以引入細(xì)胞分裂的情境：在生物學(xué)中，細(xì)胞是處于不斷分裂的過程中，已知某種細(xì)胞在分裂時，由一個變成了兩個，又由兩個變成了四個……以此類推，一個這樣的細(xì)胞分裂了x次后，得到了細(xì)胞個數(shù)為y，那么新的細(xì)胞個數(shù)y與分裂次數(shù)x之間存在著怎樣的函數(shù)關(guān)系？此函數(shù)關(guān)系又該如何表示？針對該問題情境，學(xué)生能很快地運用“指數(shù)”來得到細(xì)胞個數(shù)y與分裂次數(shù)x之間的關(guān)系為：y=2x.此時，教師便可拋出兩個問題.問題1：如果細(xì)胞分裂6次，那么細(xì)胞數(shù)變成了多少？問題2：假設(shè)我們知道細(xì)胞分裂成了256個，那么細(xì)胞分裂的次數(shù)明確嗎？針對于第一個問題，學(xué)生知曉了要用“26”去解決問題，得到了答案為64個；在第二個問題中，學(xué)生需要找到“256相當(dāng)于是多少個數(shù)字2進(jìn)行相乘”的結(jié)果，通過不斷的試驗，學(xué)生得到了“28=256”從而順勢得到“當(dāng)細(xì)胞分裂了8次后，細(xì)胞的個數(shù)變成了256”的答案.在該教學(xué)情境中，雖說并沒有真正地引入“對數(shù)”這一數(shù)學(xué)概念，但從學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)提出問題，讓學(xué)生知曉了“指數(shù)”問題是客觀存在的，這樣一來，學(xué)生也能意識到：“對數(shù)”必然也不是憑空產(chǎn)生的，它或許與“指數(shù)”存在著千絲萬縷的關(guān)系.接著，教師即可出示下列例題：2x=8，2x=16，2x=25.同時，提出如下問題：以上三個解方程有何共同特征？各自的答案又是什么？通過觀察后，學(xué)生一致地說出：“在這三個式子中，底數(shù)都是2，而冪則都不相同.”2 合作探究，概念形成

在上一階段的教學(xué)片段中，學(xué)生已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了“指數(shù)”在數(shù)學(xué)計算以及數(shù)學(xué)表示等方面的局限性，因此，對于新概念的獲取則顯得迫在眉睫.眾所周知，眾人拾柴火焰高，往往個人的能力是較為單薄的，對于數(shù)學(xué)探究而言亦是如此.所以，在概念形成的初始階段，學(xué)生應(yīng)當(dāng)積極主動地與他人展開交流，集中大家的智慧，從而高效地理解和掌握新概念.同時，教師應(yīng)繼續(xù)扮演好輔助者的角色，提出更具引導(dǎo)價值的問題串，以此來讓學(xué)生在探究過程中少走“彎路”，最終更好地促進(jìn)概念的形成.

在研究上個案例的最后一個問題前，教師不妨出示下列兩個問題：設(shè)ab=Na>0且a≠1第一個問題，已知a，b求N，比如43=？、54=？第二個問題，已知a，N求b，比如3b=27，求b=？、5b=125，求b=？在實際的解答過程中，學(xué)生都能利用指數(shù)的知識去解決問題.同時，教師要引導(dǎo)學(xué)生說出這兩種計算題的相同點與不同點，通過觀察與交流，學(xué)生便能發(fā)現(xiàn)：這兩種問題實際上都是與指數(shù)函數(shù)y=ax相關(guān)，在第一個問題中，是已知指數(shù)求y；而在第二個問題中，是已知冪求指數(shù).在此基礎(chǔ)上，教師繼續(xù)拋出問題：這兩個問題中，哪一個是常見的指數(shù)問題？通過回憶指數(shù)的概念和表示形式，學(xué)生能輕而易舉地認(rèn)識到第一個是與指數(shù)相關(guān)的問題，而第二個可能與對數(shù)相關(guān).這個教學(xué)片段的設(shè)計意圖在于，能幫助學(xué)生進(jìn)一步觸及到對數(shù)概念的學(xué)習(xí).此時，教師便可承接上一階段未完成的問題，提問：存在使得2b=5，這樣的數(shù)b嗎？若存在，該如何求解？在實際的求解過程中，學(xué)生提出了不同的求解方法，有學(xué)生認(rèn)為，因為22=4，而23=9，又因為4＜5＜9，則數(shù)b一定是介于2和3之間的一個數(shù)，但求不出具體的數(shù)值；還有學(xué)生運用了數(shù)形結(jié)合的思想方法，在平面直角坐標(biāo)系中依次畫出指數(shù)函數(shù)y=2x與常數(shù)函數(shù)y=5的圖像，而兩個函數(shù)圖像的交點橫坐標(biāo)即為b的值，最終也得到了“數(shù)b的值介于2與3之間”的結(jié)論，同時，還探究得到“數(shù)b的值是唯一的”.但較為遺憾的是，學(xué)生僅僅只是知曉了“b”的數(shù)值范圍，但依然無法用數(shù)學(xué)符號來表示.此時，教師便可引入新的數(shù)學(xué)符號“l(fā)ogaN”，解釋道：對于2b=5，為了能表示出數(shù)b，我們需要借助別的數(shù)學(xué)符號.可以發(fā)現(xiàn)，指數(shù)b是由底數(shù)2與冪5決定的，所以數(shù)學(xué)家用log25，讀作以2為底5的對數(shù)，其中2為底數(shù)，寫在下面，5為真數(shù)，寫在上方.3 對比聯(lián)系，深入理解

對于學(xué)生而言，新的數(shù)學(xué)概念常常是比較晦澀難懂的，若不與舊知進(jìn)行聯(lián)系，則往往起不到良好的學(xué)習(xí)效果.因此，教師不妨在提出問題串時，注重與舊知識點之間的聯(lián)系，讓學(xué)生對它們進(jìn)行觀察、比較以及交流，找到它們之間的聯(lián)系與區(qū)別，促進(jìn)學(xué)生對新概念的深入理解和掌握，最終獲得事半功倍的課堂教學(xué)效果.

教師首先針對對數(shù)中底數(shù)a的取值范圍，提出相關(guān)問題：當(dāng)變?yōu)閷?shù)時，底數(shù)a的取值會發(fā)生變化嗎？可以參照什么進(jìn)行研究？根據(jù)對數(shù)的概念，學(xué)生不難發(fā)現(xiàn)，對數(shù)來源于指數(shù)，這兩個數(shù)本質(zhì)上體現(xiàn)的就是a，b，N這三個量的同一種數(shù)量關(guān)系，區(qū)別在于表現(xiàn)形式不一樣，從一定意義上來講，指數(shù)運算的逆運算便是對數(shù)運算.因此，對數(shù)中的a與指數(shù)中的a表示的是同一個數(shù)，故對數(shù)中a的取值并不會發(fā)生任何改變.研究完a的取值后，教師可以拋出以下問題串：對數(shù)是否可以取到任何實數(shù)？真數(shù)N的取值又會如何？是否依然可以通過聯(lián)系指數(shù)來進(jìn)行研究？有了之前的學(xué)習(xí)經(jīng)驗，學(xué)生便會自發(fā)地進(jìn)行對比研究.首先，在對數(shù)值的研究上，學(xué)生一致認(rèn)為對數(shù)值實際上就是指數(shù)里的b，因此，只要知道b的取值范圍，那么，對數(shù)值的取值就明了了.顯而易見，在指數(shù)中，b的定義域為一切實數(shù)，故對數(shù)值亦可以取到一切實數(shù).同樣地，在真數(shù)N的研究上，學(xué)生依葫蘆畫瓢，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的值域知曉了N只能取到正數(shù)，因此，在對數(shù)中，真數(shù)N的取值范圍為N>0.在依次探究完a，b，N的取值范圍后，教師可以讓學(xué)生自行探索對數(shù)中的一些特殊值，提出問題：在指數(shù)中，會存在一些特殊值，由此及彼，在對數(shù)中，會存在一些特殊值嗎？在這個問題中，學(xué)生首先需要回憶出指數(shù)中的一些特殊值.在實際的課堂教學(xué)中，有學(xué)生能回憶到“a0=1a>0且a≠1”這個特殊值，指出：無論底數(shù)a如何變化，只要指數(shù)a為0，那么冪永遠(yuǎn)是1；反過來考慮，若冪為1，那么指數(shù)b只能是0，而在對數(shù)中，指數(shù)中的冪就相當(dāng)于真數(shù)N，故loga1=0a>0且a≠1.依據(jù)這個思路，還有學(xué)生指出：在指數(shù)中，a1=aa>0且a≠1，即在定義域內(nèi)，任意數(shù)的1次方都等于本身；反之，由可將冪N看成是對數(shù)中的真數(shù)，得到logaa=1a>0且a≠1.至此，學(xué)生對于對數(shù)的認(rèn)識也是更上一層樓.4 習(xí)題練習(xí)，鞏固深化

在數(shù)學(xué)新概念的學(xué)習(xí)中，理解和熟知是一個深度，掌握和應(yīng)用又是另外一個深度.因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，選用一些具有針對性的習(xí)題來幫助學(xué)生鞏固和強化所學(xué)概念則顯得尤為重要.在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，適度的練習(xí)是必要的，也是檢驗學(xué)生能否靈活運用所學(xué)概念的重要手段之一[3].

教師首先拋出如下問題串，問題1：將34=81、2-2=14、6x=36、0.5x=0.125這些指數(shù)式化為對數(shù)式；問題2：將log464=3、log5a=225這些對數(shù)式化為指數(shù)式.這個問題串的設(shè)計意圖在于可以讓學(xué)生進(jìn)一步熟知指數(shù)與對數(shù)之間的互化，從而加深對概念的理解.在實際的練習(xí)反饋中，學(xué)生都能很好地完成指數(shù)與對數(shù)之間的互化問題.此時，教師可以引出一些與對數(shù)運算相關(guān)的問題串，譬如，問題3：計算log525、log3243的值；問題4：計算log48以及l(fā)og16196的值.在實際的解題過程中，學(xué)生利用指數(shù)的知識能較為輕松地完成對于問題3的解答，而在面對問題四時，學(xué)生則會遇到一些阻礙，此時，教師可以這樣引導(dǎo)：在問題3中，對數(shù)的值可以利用指數(shù)來完成，而在問題4中，也應(yīng)該是一樣的，難點在于不能直接得到結(jié)果，因此，可以利用什么知識進(jìn)行解答？在教師的提點下，有學(xué)生發(fā)現(xiàn)了可以利用未知數(shù)“x”來解決難點.例如，對于“l(fā)og48”這道題，學(xué)生將原式化為“4x=8”，又因為“4”和“8”都可以看成是以“2為底，不同次方的冪”，繼而可得“22x=23”，即“2x=3”，最終得到對數(shù)值.而對于第二道題，學(xué)生可以通過類似的方法去解決.可以看出，這個問題串的設(shè)計目的在于幫助學(xué)生學(xué)會將對數(shù)問題指數(shù)化，形成基本的解題思路和技能.最后，教師可以提出相關(guān)拓展性問題，譬如，問題5：計算log553以及l(fā)og664，從答案中又能發(fā)現(xiàn)什么？在實際的計算中，學(xué)生迅速得出答案分別為“3”和“4”，同時探究得到“這兩個式子可以化成一般式logaab，而在這個式子中，真數(shù)N變成了ab，這就變成了要求a的幾次方等于ab？顯而易見，答案即為b，因此可得logaba=b.”參照這個思路，教師可以對對數(shù)式中的一些其它特殊形式進(jìn)行教學(xué).

總之，根據(jù)不同的課型以及不同的教學(xué)要求，教師需要靈活地將問題由淺入深、有層次性地進(jìn)行設(shè)計，從而達(dá)到有效調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)積極性、提升概念教學(xué)效果的目的.最后，教師也要注重教學(xué)反思，設(shè)計出更貼近與符合學(xué)生思維方式的問題串，進(jìn)一步完善概念教學(xué).

參考文獻(xiàn)：

［1］ 孫靜.“問題情境”下的中職數(shù)學(xué)概念課教學(xué)初探：以周期性概念為例[J].中學(xué)課程輔導(dǎo)，2018（10）：18-19.

[2] 楊帆.通過情境提出問題，利用問題串引發(fā)思考：“函數(shù)單調(diào)性”教學(xué)案例[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2018（12）：80-81.

[3] 金鵬.給予問題驅(qū)動的中學(xué)復(fù)數(shù)概念教學(xué)研究[J].數(shù)學(xué)探究，2020（06）：44-45.

［責(zé)任編輯：李 璟］