求解幾何體外接球問題的不同思路分析

張廣海

【摘要】高中數學的立體幾何問題經常出現一類將空間幾何體和外接球結合在一起的問題，常見的空間幾何體有三棱錐、四棱錐、三棱柱等.解答這些常見幾何體的外接球半徑、表面積以及體積的相關問題，則要求同學們具備一定的空間想象能力和不同的解題思路與方法.本文從具體例題切入，主要從三個不同解題思路分析如何求解幾何體的外接球問題，以此給同學們提供更多思考與啟發(fā).

【關鍵詞】幾何體外接球問題；補形；球心

幾何體外接球問題在工程、科學和數學等領域具有廣泛的實際應用，如計算機輔助設計、機器人學、物體識別等.求解幾何體外接球問題是一個復雜的過程，尤其是在處理具有多種類型和復雜形狀的幾何體時，需要選擇合適的解決方法.本文提出了三種不同的思路來解決這一問題，分別是補形思路、確定球心思路和截面思路.

1 補形思路

根據已知幾何體的結構特點補充得到長方體、正方體或直棱柱這些比較熟悉的幾何體，求這些幾何體對應的外接球能使問題得到簡化，解題也會更加直接簡單.

例1 已知底面邊長等于1，側棱長等于2的正四棱柱的各個頂點全都在同一個球面上，則該球的體積等于（? ）

（A）32π3. （B）4π. （C）2π. （D）43π.

解析 對所給條件即底面邊長與側棱長的長度進行分析，可考慮將該空間幾何體補充成長方體，即問題等價于求解長方體的外接球體積.其次根據長方體外接球的半徑公式2R2=a2+b2+h2，代入相關值求得外接球半徑.最后根據球體體積公式，運算得到問題答案.

如圖1所示，假設該外接球的半徑等于R，根據公式可得2R2=22+12+12，

所以外接球半徑R=1，由球體的體積公式可知：V=43πR=43π，故正確答案為（D）選項.

2 確定球心思路

幾何體外接球的定義，即球心到每個頂點的距離都相等.根據這一定義可嘗試確定外接球的球心，從而確定半徑和表面積、體積，這種思路可稱為確定球心思路.

例2 在三棱錐A－BCD中，BC⊥CD，AB=AD=2，BC=1，CD=3，則三棱錐外接球O的半徑為.

解析 結合所給條件對問題相關的三棱錐空間結構特點進行分析，可得到AD⊥AB和BC⊥CD，由斜邊上的中點到頂點A，B，C，D的距離都相同，可確定球心的位置，求出BD的邊長即可得出外接球的半徑.

因為BC⊥CD，BC=1，CD=3，所以BD=2，

又因為AD2+AB2=22+22=4=BD2，所以AD⊥AB，

所以球O的球心在BD的中點，所以球O的半徑為1.

變式 在三棱錐P－ABC上，PA=PB=AC=BC=2，AB=23，PC=1，則三棱錐外接球的表面積為.

解析 首先確定球心的位置，三角形ABC的外接圓圓心一定和三棱錐外接球的球心在同一條垂線上，故可確定球心位置，其次根據定義，球心到每個頂點的距離都相同，可列出相關等式，運算并解答，即可得到三棱錐外接球的半徑和表面積大小.

作△ABC的外接圓，圓心為O，過圓心O作面ABC的垂線，三棱錐外接球的球心M在垂線上，

因為△ABC是等腰三角形，所以∠A=∠B=30°，外接圓的半徑r=22sin30°=2，

以外接圓的圓心O為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，

則M0，0，z，C－2，0，0，P－32，0，32，

因為MP=MC，所以4+z2=94+32－z2，解得z=－33，

故三棱錐外接球的半徑R=MC=4+z2=133，三棱錐外接球的表面積S=4πR2=523π.

3 截面思路

經過外接球球心的平面是最大的圓，由幾何體的平面所截得的圓與面積最大的圓存在一定聯系，即根據截面圓半徑，外接球半徑和截面到中心圓的距離構造直角三角形，利用勾股定理解答問題求得半徑等其他值.

例3 已知正四棱錐P－ABCD的頂點都在同一球面上，若該棱錐的高度等于4，底面邊長等于2，則該球的表面積為.

解析 對正四棱錐進行分析，可知該幾何體外接球的球心在底面中心E與頂點P的連線段上，且點E是正方形ABCD外接圓的圓心，此時可以構造直角三角形OAE.假設球的半徑為R，球心到截面圓圓心的距離為OE，球的半徑為OA，且AE的邊長可求得，根據勾股定理列出方程OA2=OE2+AE2，運算解答即可得到外接球的半徑，進一步根據表面積公式求出對應值.

將AC，BD連接交于點E，連接AO，PE，如圖3所示，假設球心為O，球O的半徑等于R，在直角△AOE中，由勾股定理得4－R2+22=R2，解得R=94，故外接球O的表面積等于4πR2=81π4.

4 結語

立體幾何的外接球問題在近幾年的高考數學試題中出現頻率較為頻繁，因此同學們一定要掌握解決外接球問題的有關方法和思路，可以對問題幾何體進行幾何體模型的補充，也可以利用球的幾何定義求解，還可以運用構造三角形思路進行解答.除了熟悉和掌握相關解題思路，還要熟練掌握一些基礎公式，才能保證解題的速率與效率.

參考文獻：

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