王平　任建波

［摘 要］“數(shù)與運(yùn)算”主題教學(xué)的重點(diǎn)包括讓學(xué)生感悟數(shù)的認(rèn)識(shí)與數(shù)的運(yùn)算之間的密切聯(lián)系，理解四則運(yùn)算之間的關(guān)系，感悟運(yùn)算的一致性等?！胺?jǐn)?shù)與整數(shù)相乘”是這一主題的重要內(nèi)容，包含乘法的意義、算理一致性和分?jǐn)?shù)特殊性三個(gè)方面的大概念。文章根據(jù)上述分析的主題大概念對(duì)“分?jǐn)?shù)與整數(shù)相乘”的教學(xué)進(jìn)行了流程探究，旨在為廣大教師提供教學(xué)借鑒。

［關(guān)鍵詞］主題大概念；計(jì)算教學(xué)；分?jǐn)?shù)與整數(shù)相乘 ；單元鏈

［中圖分類號(hào)］ G623.5 ［文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼］ A ［文章編號(hào)］ 1007-9068（2023）23-0006-04

“分?jǐn)?shù)與整數(shù)相乘”是蘇教版教材六年級(jí)上冊(cè)“分?jǐn)?shù)乘法”單元的起始內(nèi)容，是“數(shù)與運(yùn)算”主題的重要內(nèi)容?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》指出，這一主題教學(xué)的重點(diǎn)包括感悟數(shù)的認(rèn)識(shí)與數(shù)的運(yùn)算之間的密切聯(lián)系，理解四則運(yùn)算之間的關(guān)系，感悟運(yùn)算的一致性等。即數(shù)的認(rèn)識(shí)是運(yùn)算的基礎(chǔ)，通過(guò)數(shù)的運(yùn)算有助于學(xué)生更好地認(rèn)識(shí)數(shù)；四則運(yùn)算本質(zhì)上是計(jì)數(shù)單位多少的表達(dá)，加法和乘法是計(jì)數(shù)單位個(gè)數(shù)的累加，減法和除法是計(jì)數(shù)單位個(gè)數(shù)的細(xì)分。在內(nèi)容分布上，“乘法運(yùn)算”在小學(xué)三個(gè)學(xué)段中都有相應(yīng)的安排，呈現(xiàn)螺旋上升、不斷豐富和深化的特點(diǎn)（見(jiàn)表1）：第一學(xué)段了解意義、感悟關(guān)系、探索算理和算法；第二學(xué)段探索并掌握多位數(shù)的乘法，進(jìn)行混合運(yùn)算和理解運(yùn)算律；第三學(xué)段進(jìn)行小數(shù)、分?jǐn)?shù)的運(yùn)算，感悟運(yùn)算的一致性，包含乘法的意義、算理一致性和分?jǐn)?shù)特殊性三個(gè)方面的大概念。

基于以上認(rèn)識(shí)，筆者依據(jù)主題大概念對(duì)“分?jǐn)?shù)與整數(shù)相乘”進(jìn)行了整體性設(shè)計(jì)，橫向關(guān)聯(lián)，揭示乘法意義的一致性，即表示幾個(gè)相同整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)相加的運(yùn)算；縱向貫通，體現(xiàn)整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)乘法算理本質(zhì)的一致性，即均是求計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)。

【教學(xué)片段一】創(chuàng)設(shè)情境，整體進(jìn)入

師：還記得我們是怎樣慶祝國(guó)慶節(jié)的嗎？我們通過(guò)當(dāng)時(shí)的照片回憶一下。

出示圖文信息（圖略）：（1）一年級(jí)舉行了莊重的入隊(duì)儀式，邀請(qǐng)部分優(yōu)秀少先隊(duì)員代表參加，他們的座位為低、中、高三個(gè)方陣，每個(gè)方陣20個(gè)座位；（2）校園展出優(yōu)秀書(shū)法、繪畫(huà)和手工作品，每種作品有30件；（3）游園活動(dòng)大約20項(xiàng)，參與一個(gè)項(xiàng)目平均需要0.09小時(shí)；（4）游藝活動(dòng)的獎(jiǎng)品特別豐厚，每個(gè)年級(jí)的經(jīng)費(fèi)為0.2萬(wàn)元。

師：你能從以上信息中獲得哪些數(shù)學(xué)信息？會(huì)列算式表達(dá)嗎？列算式后選擇其中一道算式，說(shuō)一說(shuō)它表示的意思。

生1：優(yōu)秀少先隊(duì)員代表的人數(shù)為20×3，表示3個(gè)20相加。

生2：參加全部游園活動(dòng)大約需要0.09×20小時(shí)，表示20個(gè)0.09相加的和。

師：怎樣計(jì)算？說(shuō)說(shuō)你計(jì)算的道理。

生3：20×3就是2個(gè)十乘3得6個(gè)十，6寫(xiě)在十位上，就是60。

生4：0.09×20也是這樣，先算出有180個(gè)0.01，就是1.8。

師：這些是大家已經(jīng)學(xué)過(guò)的整數(shù)和小數(shù)乘法，分?jǐn)?shù)乘法的意義會(huì)不會(huì)有變化？計(jì)算方法有沒(méi)有獨(dú)特之處？今天我們就來(lái)研究一下。

【思考】課始選取學(xué)生有親身體驗(yàn)的國(guó)慶節(jié)慶?；顒?dòng)作為導(dǎo)入情境，呈現(xiàn)活動(dòng)中的場(chǎng)景和信息，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)化的表達(dá)和說(shuō)理，可激活學(xué)生關(guān)于整數(shù)、小數(shù)乘法意義以及算法、算理的經(jīng)驗(yàn)。一方面將分?jǐn)?shù)乘整數(shù)的學(xué)習(xí)融入乘法學(xué)習(xí)的整體中，另一方面給予學(xué)生回顧、溝通和比較的研究視角，為學(xué)生后續(xù)感悟大概念的意義相通性和運(yùn)算一致性做好準(zhǔn)備。

【教學(xué)片段二】探究算理，融入整體

1.獨(dú)立研究

出示任務(wù)單（如圖1）：

2.溝通比較

展示學(xué)生作品（如圖2）：

師：你們真了不起，想出了這么多方法。老師注意到，雖然大家都算出了相同的結(jié)果，可列的算式不一樣，都正確嗎？為什么？

生1：正確。不管是加法還是乘法，都算出了做3朵綢花要用綢帶的米數(shù)。

生2：正確。因?yàn)閹讉€(gè)相同的數(shù)相加可以用乘法。

師：和我們學(xué)過(guò)的整數(shù)、小數(shù)乘法一樣，幾個(gè)相同的分?jǐn)?shù)相加也可以用乘法計(jì)算。

師：你都能看懂這些方法嗎？你看懂了哪個(gè)方法？

生3：第①個(gè)。每朵綢花用[3/10]米，3朵綢花就是3個(gè)[3/10]相加。

生4：第②個(gè)。他是將分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化為小數(shù)來(lái)計(jì)算的。把新問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已有知識(shí)來(lái)解決，是個(gè)好辦法。

生5：第③個(gè)。他根據(jù)分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系，把分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化成整數(shù)來(lái)計(jì)算。

師：能看懂第④個(gè)的算法嗎？

生6：根據(jù)乘法的意義，[3/10]×3就表示3個(gè)[3/10]相加，所以轉(zhuǎn)化成連加來(lái)計(jì)算，這樣同分母分?jǐn)?shù)相加，分母不變，分子相加，分子3個(gè)3相加也可以寫(xiě)成3×3，所以結(jié)果是[9/10]。

……

師：這些方法之間有什么關(guān)系嗎？

生7：①和④實(shí)質(zhì)是一樣的，都是計(jì)算3個(gè)[3/10]相加，只是分子的計(jì)算方法不同。

生8：②和③其實(shí)也是一樣的，因?yàn)?÷10=0.3。

師：太棒了，你們不僅能理解這些方法，還能發(fā)現(xiàn)它們之間的聯(lián)系。

【思考】布魯納在《教育的過(guò)程》中指出，一節(jié)課應(yīng)該圍繞社會(huì)認(rèn)為值得人們持續(xù)關(guān)注的重大問(wèn)題、原則和價(jià)值標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行建構(gòu)。鑒于此，本環(huán)節(jié)緊緊圍繞“乘法意義的一致性”和“運(yùn)算方法的相通性”這兩個(gè)大概念進(jìn)行整體建構(gòu)。通過(guò)意義、算法和算理三個(gè)層次的溝通、比較，讓學(xué)生自然地遷移乘法的意義，使分?jǐn)?shù)乘法與整數(shù)、小數(shù)乘法的意義縱向貫通，并且展現(xiàn)算法多樣化和算理溝通，使學(xué)生感悟到四則運(yùn)算的關(guān)聯(lián)性，深化對(duì)運(yùn)算的整體認(rèn)識(shí)。

【教學(xué)片段三】溝通算理，完善算法

師：請(qǐng)回憶我們是怎樣計(jì)算整數(shù)乘整數(shù)、小數(shù)乘整數(shù)的。比一比，分?jǐn)?shù)乘整數(shù)和它們一樣嗎？

生1：我覺(jué)得有不同的地方，也有相同的地方。相同的地方是它們都是先用整數(shù)相乘，不同的是算出的結(jié)果表示的數(shù)的大小不同。

生2：是一樣的，就像生1說(shuō)的，都是先計(jì)算出有多少個(gè)計(jì)數(shù)單位，整數(shù)、小數(shù)是計(jì)數(shù)單位，分?jǐn)?shù)叫分?jǐn)?shù)單位，再看結(jié)果是多少。

生3：都是先把數(shù)拆成計(jì)數(shù)單位和個(gè)數(shù)，算出個(gè)數(shù)再合成結(jié)果的。

師（根據(jù)學(xué)生的回答完成板書(shū)，如圖3）：同學(xué)們真了不起，可以這么深刻地認(rèn)識(shí)乘法運(yùn)算的道理。

出示例題：小華做5朵這樣的綢花，一共用彩帶幾分之幾米？在作業(yè)紙上列式并解答。（學(xué)生獨(dú)立完成后全班交流）

……

師：面對(duì)能約分的分?jǐn)?shù)乘法算式，先約分再計(jì)算更簡(jiǎn)單。對(duì)照剛才計(jì)算的這些算式，說(shuō)一說(shuō)分?jǐn)?shù)和整數(shù)相乘時(shí)可以怎樣計(jì)算？

生4：分子與整數(shù)相乘，算出分?jǐn)?shù)單位的個(gè)數(shù)，分母不變，能約分的先約分再計(jì)算。

【思考】本環(huán)節(jié)重在對(duì)分?jǐn)?shù)和整數(shù)、小數(shù)乘法算理一致性的建構(gòu)和分?jǐn)?shù)乘法算法的歸納。出示算式資源，引導(dǎo)學(xué)生在討論中體會(huì)乘法算理的一致性——都是計(jì)數(shù)單位個(gè)數(shù)的累加，計(jì)算時(shí)都是先計(jì)算有多少個(gè)計(jì)數(shù)單位（分?jǐn)?shù)單位），再根據(jù)位值制表示結(jié)果。在此基礎(chǔ)上，通過(guò)比較計(jì)算過(guò)程讓學(xué)生明確能約分的先約分，為后面再次完善算理一致性的整體建構(gòu)留下即插“接口”。

【教學(xué)片段四】實(shí)踐應(yīng)用，深化整體

師：剛才我們一起研究了分?jǐn)?shù)與整數(shù)相乘，下面就運(yùn)用學(xué)到的知識(shí)解決一些實(shí)際問(wèn)題。先在長(zhǎng)方形中涂出4個(gè)[3/16]，再算出涂色部分一共是這個(gè)長(zhǎng)方形的幾分之幾。

生1：我是豎著涂出4個(gè)[3/16]，結(jié)果是[3/4]。（如圖4）

生2：我是橫著涂出4個(gè)[3/16]，結(jié)果也是[3/4]。（如圖5）

師：不管怎樣涂，從圖上都可以看出，涂色部分都是長(zhǎng)方形的[3/4]。

師：圖形里藏著的數(shù)學(xué)奧妙不止這些，我們接著看。觀察圖示變化，先寫(xiě)出算式，再說(shuō)一說(shuō)算式表示的意思。（動(dòng)態(tài)出示圖6）

生3：算式是[4/15]×3，它表示3個(gè)[4/15]相加。

師：你們都是這么想的？再看一題。（出示圖7）

生4：[3/15]×4，表示4個(gè)[3/15]相加。

師：你有什么發(fā)現(xiàn)？

生5：圖示的過(guò)程不同，算式也不同，最終的樣子是相同的。

生6：算式不同，表示的意義也不同，它們的結(jié)果是相同的。

師：為什么會(huì)這樣？

生7：因?yàn)椴还苁荹4/15]×3，還是[3/15]×4，都是用3×4算出12個(gè)[1/15]，結(jié)果是一樣的。

師：[3/10] ×3可以解決生活中的什么問(wèn)題？請(qǐng)編一個(gè)用[3/10]×3解決的實(shí)際問(wèn)題。

出示信息：

（1）每袋面包[3/10]千克，3袋面包共多少千克？

（2）一個(gè)蛋糕，小芳和爸爸媽媽分別吃了它的[3/10]，他們一共吃了這個(gè)蛋糕的幾分之幾？

（3）一根彩帶長(zhǎng)3米，用掉它的[3/10]，是用掉了多少米？

（4）一塊花田3公頃，其中的[3/10]種玫瑰，種玫瑰的面積是多少？

師：這些問(wèn)題也能用[3/10]×3來(lái)解決嗎？結(jié)合題目說(shuō)一說(shuō)，[3/10]×3分別表示什么意思，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生8：前面兩道題的是表示3個(gè)[3/10]相加的和，或者說(shuō)是[3/10]的3倍是多少。

生9：后面兩道題的都表示求3的[3/10]是多少。

師：同樣是[3/10]×3，但表示的意義不同，這兩種意義是不是相通的呢？我們下節(jié)課接著研究。

【思考】前面三個(gè)教學(xué)片段是對(duì)乘法的意義和運(yùn)算的一致性進(jìn)行了縱向貫通，為整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)的乘法運(yùn)算之間建立連接。而分?jǐn)?shù)乘法還有其特殊性，即可以表示“一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少”這個(gè)意義，教學(xué)片段四就是要進(jìn)一步完善分?jǐn)?shù)乘法的整體架構(gòu)：首先通過(guò)涂色表示算式，幫助學(xué)生鞏固分子與整數(shù)相乘時(shí)先約分再計(jì)算的道理；然后設(shè)計(jì)一道逆向思維練習(xí)——看圖示變化列算式說(shuō)意義，深化學(xué)生對(duì)運(yùn)算一致性的認(rèn)識(shí)；最后，要求學(xué)生根據(jù)算式創(chuàng)編實(shí)際問(wèn)題，學(xué)生通過(guò)分析數(shù)量關(guān)系，發(fā)現(xiàn)“即使算式相同，表示的意義也有變化”，感受到分?jǐn)?shù)乘法還可以表示一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少，向后續(xù)學(xué)習(xí)延伸。

總之，整節(jié)課教學(xué)在“乘法運(yùn)算”主題下，依托乘法意義一致性和乘法運(yùn)算一致性等大概念，實(shí)現(xiàn)了整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)乘法的縱橫貫通，促使學(xué)生從整體的視角理解和掌握分?jǐn)?shù)與整數(shù)相乘的意義與方法。在更大的“數(shù)與運(yùn)算”主題下，學(xué)生感悟到了四則運(yùn)算本質(zhì)上的一致性——計(jì)數(shù)單位多少的累積與表達(dá)。在這樣的教學(xué)探索中，“分?jǐn)?shù)乘法”單元不再只有分?jǐn)?shù)的運(yùn)算、乘法的“小整體”，還具有了數(shù)與運(yùn)算的“大整體”。由此，單元聯(lián)結(jié)著課程與課時(shí)，單元教學(xué)的整體性思維與構(gòu)型一定程度上就是課程學(xué)習(xí)的整體性樣態(tài)與進(jìn)程，教師建構(gòu)單元整體時(shí)要解構(gòu)表面的單元課時(shí)內(nèi)容之間的“小關(guān)聯(lián)”，依托更上位的主題大概念，從知識(shí)發(fā)展脈絡(luò)和學(xué)習(xí)本質(zhì)內(nèi)核上重新定位“大目標(biāo)”、設(shè)計(jì)“大活動(dòng)”、建立“單元鏈”，為學(xué)生核心素養(yǎng)的發(fā)展預(yù)留更多“大接口”。

［ 參 考 文 獻(xiàn) ］

[1] 馬云鵬.“深度學(xué)習(xí)”視域下的小學(xué)“數(shù)的運(yùn)算”教學(xué)[J].福建教育，2020（36）：26-31.

【本文系2022年度江蘇高校哲學(xué)社會(huì)科學(xué)研究重大項(xiàng)目“大概念的教學(xué)意蘊(yùn)與統(tǒng)攝機(jī)制研究”（編號(hào)：2022SJZD0

44）和2022年江蘇省研究生教育教學(xué)改革一般課題“大概念視域下小學(xué)教育專業(yè)碩士教學(xué)想象力生長(zhǎng)路徑研究”（編號(hào)：JGKT22_C082）基金項(xiàng)目的研究成果。】

（責(zé)編 金 鈴）