一道2022年四川省預(yù)賽填空題的解法與推廣

姜建海

(江蘇省蘇州大學(xué)附屬中學(xué) 215006)

1 試題展示

問(wèn)題1(2022年全國(guó)中學(xué)生數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽四川省預(yù)賽第6題)若△ABC的三邊長(zhǎng)a,b,c滿足a2+b2+3c2=7,則△ABC面積的最大值為．

試題形式簡(jiǎn)潔,敘述簡(jiǎn)單,是三角形面積最大值問(wèn)題．掌握數(shù)學(xué)就意味著善于解題,當(dāng)我們看到一道題時(shí),不僅要欣賞它,更應(yīng)該研究它．只要它不是終極的,就有思考的空間和探究的價(jià)值．

2 解法探究

2.1 代數(shù)視角

評(píng)析海倫公式是一個(gè)常見(jiàn)結(jié)論,上述過(guò)程使用了兩次放縮(a+b)2≤2(a2+b2),c2-(a-b)2≤c2．

評(píng)析解題的關(guān)鍵在于a2+b2用c2表示,從而將△ABC的面積S放縮為關(guān)于c的一元函數(shù)．

評(píng)析解法3、解法4利用均值不等式從不同方向把面積表示為一元函數(shù)．

2.2 三角視角

2.3 幾何視角

圖1

圖2 圖3

評(píng)析解法9、解法10與解法8基本相同,只是方法上的異同．

圖4 圖5

3 變式探究

3.1 系數(shù)變式

問(wèn)題1的條件a2+b2+3c2=7中a,b具有對(duì)稱性,a2,b2,c2系數(shù)各不相同又如何?

問(wèn)題2△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,若a2+2b2+3c2=1,求△ABC面積的最大值．

3.2 二次變一次

問(wèn)題3設(shè)△ABC的三邊分別為a,b,c,若2a+7b+11c=120,求△ABC面積的最大值．

3.3 逆向變式

問(wèn)題4△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,△ABC的面積為2,則a2+2b2+c2的最小值為．

4 推廣探究

利用以上方法,可以把上述問(wèn)題進(jìn)一步推廣到一般情形．

借助結(jié)論1,又可得到如下結(jié)論2:

結(jié)論2的證明留給有興趣的讀者思考．

張奠宙教授說(shuō):“變式練習(xí)是中國(guó)數(shù)學(xué)教育的一個(gè)創(chuàng)造”[1].基于變式練習(xí)的變式教學(xué)為學(xué)生 的思維發(fā)展提供了一個(gè)階梯,用看似重復(fù)但不呆板的題型為學(xué)生建構(gòu)完整、合理的新知,夯實(shí) 基礎(chǔ)．