陳子怡

(江蘇省南京市江北新區(qū)浦口外國語學(xué)校 210031)

唐 秦

(江蘇省蘇州工業(yè)園區(qū)星海實(shí)驗(yàn)中學(xué) 215021)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》(下稱“課標(biāo)”)將數(shù)學(xué)建模列入六大核心素養(yǎng),并將“數(shù)學(xué)建?；顒优c數(shù)學(xué)探究活動”作為課程內(nèi)容的四條主線之一,數(shù)學(xué)建模在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中占有舉足輕重的地位．為落實(shí)新課程標(biāo)準(zhǔn)理念,提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng),作為江蘇省教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃課題“高中生數(shù)學(xué)建模能力的培養(yǎng)與評價(jià)研究”的實(shí)踐基地,蘇州市XH中學(xué)進(jìn)一步加強(qiáng)了數(shù)學(xué)建模教學(xué)及評價(jià)研究,本文描述了數(shù)學(xué)建模能力評價(jià)框架的構(gòu)建,以及對高中生數(shù)學(xué)建模能力水平的評價(jià)過程．

1 評價(jià)指標(biāo)與水平劃分

1.1 評價(jià)框架的構(gòu)建

由于建模步驟間的依賴性,過程導(dǎo)向型的評價(jià)方式很難測試出學(xué)生在各建模子能力上的實(shí)際表現(xiàn)．因此,課題組采用目標(biāo)導(dǎo)向型評價(jià),基于喻平的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)評價(jià)框架理論[1],在楊靜所構(gòu)建的建模能力三維框架[2]基礎(chǔ)上,完善相應(yīng)評價(jià)指標(biāo),從內(nèi)容、結(jié)構(gòu)、水平三個(gè)維度,構(gòu)建了高中生數(shù)學(xué)建模能力水平的評價(jià)框架(圖1),并給出了各水平層次的行為表現(xiàn)(表1)．

表1 高中生數(shù)學(xué)建模能力各水平層次的行為表現(xiàn)

圖1 高中生數(shù)學(xué)建模能力水平的評價(jià)框架

1.2 測試卷的編制

基于上述評價(jià)框架,課題組編制了數(shù)學(xué)建模能力測試卷．全卷共6題,前五道題采用“子任務(wù)”的呈現(xiàn)形式,將建模過程片段化,截取單獨(dú)的建模子過程來評估學(xué)生的某一建模子能力;最后一題是一個(gè)完整的建模任務(wù),并借鑒美國數(shù)學(xué)及其應(yīng)用聯(lián)盟(The Consortium for Mathematics and Its Applications,即COMAP)建模手冊[3]中的做法,設(shè)置問題串引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷建模的全過程．

測試題取材于國內(nèi)外的相關(guān)研究[4-8],其情境均來自生活實(shí)際,并保證所運(yùn)用的數(shù)學(xué)學(xué)科知識在學(xué)生已學(xué)過的范疇內(nèi)．每一水平基本都設(shè)置了兩道測試題與之對應(yīng),以減少由學(xué)生對情境的熟悉程度、知識內(nèi)容的掌握程度帶來的干擾．各道測試題所對應(yīng)的具體評價(jià)維度等見表2．

1.3 水平的劃分與編碼

為便于編碼,每一水平所對應(yīng)的題目共賦值10分,全卷共計(jì)90分．接著根據(jù)各題的得分,劃分學(xué)生的建模子能力水平．同一水平對應(yīng)的試題得分取最高分,達(dá)到該題分值的80%則判定其子能力達(dá)到該水平,逐級判定,最終確定其三個(gè)建模子能力的水平層次．

2 高中生數(shù)學(xué)建模能力水平的調(diào)查研究

2.1 研究問題

(1)高中生的整體數(shù)學(xué)建模能力水平如何?(2)高中生的數(shù)學(xué)建模水平與數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)成績之間是否呈正相關(guān)?(3)短期建模教學(xué)對學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力有何影響?

2.2 調(diào)查對象及實(shí)施

研究對象為蘇州市XH中學(xué)高二年級的335名學(xué)生,其中參加過數(shù)學(xué)建模課程的有62人．測試工具為課題組編制的數(shù)學(xué)建模能力測試卷,測試時(shí)間為45分鐘．

2.3 研究結(jié)果及分析

(1)學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力的整體水平

335名學(xué)生測試得分的平均值為32.50,標(biāo)準(zhǔn)差為14.35．這表明學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力平均水平較低,且個(gè)體間的建模能力差異較大．

在各建模子能力的表現(xiàn)上(圖2),學(xué)生的模型簡化與構(gòu)建能力平均在水平1至2之間,即“再現(xiàn)”與“聯(lián)系”水平之間;大多數(shù)學(xué)生處于水平2“聯(lián)系水平”,能在較復(fù)雜的情境中遷移或重組標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)模型．然而,僅有極少數(shù)學(xué)生達(dá)到水平3“創(chuàng)新水平”,且有超過一成的學(xué)生尚不具備簡化與構(gòu)建模型的能力．

圖2 數(shù)學(xué)建模子能力的水平分布直方圖

在模型的求解能力上,學(xué)生的平均水平為水平1“簡單運(yùn)算水平”,能進(jìn)行簡單的運(yùn)算求解,但不具備數(shù)學(xué)軟件技術(shù)的基本操作能力;約三分之一的學(xué)生甚至無法確定選擇何種數(shù)學(xué)工具或技術(shù)來求解已知的數(shù)學(xué)模型．

在模型的解釋與評價(jià)能力上,學(xué)生平均處于水平1“解釋與驗(yàn)證結(jié)果水平”,即能結(jié)合實(shí)際情境對所得數(shù)學(xué)結(jié)果進(jìn)行解釋及合理性驗(yàn)證．但僅有一成左右的學(xué)生能夠評價(jià)所建模型的優(yōu)缺點(diǎn);而能針對模型的不足提出改進(jìn)意見、指出模型應(yīng)用推廣方向的學(xué)生更是寥寥．

(2)學(xué)生數(shù)學(xué)建模水平與學(xué)業(yè)成績的相關(guān)性

為探究數(shù)學(xué)建模能力水平和數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)成績是否成正相關(guān),課題組從定量的角度,將學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)成績與其三個(gè)建模子能力進(jìn)行相關(guān)性分析．

首先,從教學(xué)系統(tǒng)中調(diào)取學(xué)生的數(shù)學(xué)成績．為避免單次測試帶來的偶然誤差,分別選取了學(xué)生近三次大型測試(上一學(xué)期的期末測試、本學(xué)期的期初與期中測試)的數(shù)學(xué)成績,并按期末40%、期初30%、期中30%的比重加權(quán)得出學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)成績．接著將其排序,按15%∶35%∶35%∶13%∶2%的比重劃分等第A,B,C,D,E．

然后,對兩組數(shù)據(jù)進(jìn)行相關(guān)分析(表3)．Spearman相關(guān)性檢驗(yàn)結(jié)果(表3)表明,學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)成績與其對模型的簡化與構(gòu)建能力不存在顯著相關(guān)性;與模型的求解、解釋與評價(jià)能力呈極弱的正相關(guān)性,但由于相關(guān)系數(shù)極低(r<0.3),可視為二者不相關(guān)．因此可認(rèn)為,學(xué)生的三個(gè)數(shù)學(xué)建模子能力水平與其學(xué)業(yè)成績均不存在相關(guān)關(guān)系．

表3 Spearman相關(guān)性檢驗(yàn)結(jié)果

(3)短期建模教學(xué)對學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力水平的影響

根據(jù)是否接受過建模教學(xué),將學(xué)生分為兩組,并對他們的建模子能力水平進(jìn)行差異性檢驗(yàn)(表4)．結(jié)果顯示,兩組學(xué)生在模型的求解能力(p=0.001<0.05)、解釋與評價(jià)能力(p=0.03<0.05)上存在顯著差異,但他們的模型簡化與構(gòu)建能力沒有顯著性差異(p=0.957>0.05)．因此,在統(tǒng)計(jì)意義上,短期建模教學(xué)對學(xué)生求解模型、解釋與評價(jià)模型能力的提升效果較好,而對其簡化與構(gòu)建模型的能力幾乎沒有影響．

表4 Mann-Whitney U秩和檢驗(yàn)結(jié)果

盡管兩類學(xué)生的表現(xiàn)不存在統(tǒng)計(jì)學(xué)意義上的顯著差異,但進(jìn)一步對比兩組學(xué)生的各水平分布情況,可發(fā)現(xiàn)二者間的細(xì)微差別．若將水平0視為低水平,水平1、水平2為中等水平,水平3為高水平,則接受建模教學(xué)組的低水平比例更少,高水平比例更多(圖3),這說明短期建模教學(xué)能在一定程度上提高學(xué)生的模型簡化與構(gòu)建能力,建模教學(xué)初見成效．

2.4 主要結(jié)論

(1)高中生的整體數(shù)學(xué)建模能力水平較低,且學(xué)生個(gè)體能力間的差異較大．在建模子能力上,學(xué)生的簡化與構(gòu)建模型能力平均處于水平1“再現(xiàn)水平”與水平2“聯(lián)系水平”之間,求解模型能力平均處于水平1“簡單運(yùn)算水平”,解釋與評價(jià)模型能力平均處于水平1“解釋與驗(yàn)證結(jié)果水平”．

(2)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模子能力與學(xué)業(yè)成績間均不存在相關(guān)關(guān)系．

(3)短期建模教學(xué)對學(xué)生求解、解釋與評價(jià)模型的能力培養(yǎng)效果較好,但對簡化與構(gòu)建模型能力發(fā)展的促進(jìn)作用較?。?/p>

3 思考與討論

3.1 原因分析

針對上述研究結(jié)論,探討其中的原因主要有以下幾點(diǎn):

首先,目前高中對于學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力的培養(yǎng)重視尚且不足,只有部分學(xué)校專門開設(shè)了建模課程,且其教學(xué)形式多以選修性課程為主,受眾面較窄,因而學(xué)生整體數(shù)學(xué)建模能力難以提升．同時(shí),學(xué)生當(dāng)前接觸較多的文字應(yīng)用題大多是對標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)模型的直接套用,且無需利用相關(guān)的數(shù)學(xué)技術(shù)求解問題,得出結(jié)論后也幾乎不需要進(jìn)行驗(yàn)證,更談不上評價(jià)、改進(jìn)與推廣．

其次,當(dāng)前對于高中生的評價(jià)仍以知識為導(dǎo)向,主要檢驗(yàn)學(xué)生對于數(shù)學(xué)學(xué)科知識的掌握,而本次測試是對學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力的考查,數(shù)學(xué)知識的影響較小,因而并未體現(xiàn)出與數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)成績的相關(guān)關(guān)系．

最后,目前高中的建模教學(xué)多以教師講授為主,學(xué)生實(shí)際操作、自主建模的機(jī)會不多,其建模能力的提升也就受到限制．通過短期的建模教學(xué),學(xué)生能夠了解數(shù)學(xué)建模的基本流程,知道對于各類數(shù)學(xué)模型的求解與處理方式,因而能增強(qiáng)其對模型進(jìn)行求解、解釋與評價(jià)模型的意識與能力．而對于學(xué)生簡化與構(gòu)建數(shù)學(xué)模型能力的培養(yǎng),絕非一旦一夕之功,需要學(xué)生的長期實(shí)踐積累．

3.2 對中學(xué)數(shù)學(xué)建模教學(xué)的建議

結(jié)合研究結(jié)論,對中學(xué)數(shù)學(xué)建模教學(xué)提出以下幾點(diǎn)建議．

(1)廣泛教學(xué),長期強(qiáng)化建模意識

建模教學(xué)要面向所有學(xué)生,由于學(xué)生的建模能力水平與其數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)成績并不相關(guān),因此不同數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)水平的學(xué)生都具有發(fā)展建模能力的同等可能．建模能力培養(yǎng)的本質(zhì)是通過數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)的長期積累來提升學(xué)生的“四能”,因此建模教學(xué)需要走向“常態(tài)化”．除了開設(shè)建模課程之外,在日常的教學(xué)中,教師也應(yīng)滲透運(yùn)用數(shù)學(xué)知識工具或技術(shù)解決實(shí)際問題的意識,體現(xiàn)數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界的緊密聯(lián)系．

(2)有計(jì)劃、分階段、有目標(biāo)地實(shí)施建模教學(xué)

初期的建模教學(xué)意在指導(dǎo)學(xué)生“入門”,可利用問題示例展示數(shù)學(xué)建模的完整過程,使學(xué)生形成對數(shù)學(xué)建模的本質(zhì)、基本流程、基本模型的求解方法等方面的初步認(rèn)知,并逐步從局部走向整體、從模仿走向自主,從模型的“再現(xiàn)”水平過渡到“聯(lián)系”水平．而在“入門”后,則要注重實(shí)際操作．例如,指導(dǎo)學(xué)生研讀優(yōu)秀建模論文,體會選題、開題、做題、結(jié)題中的思路,鼓勵(lì)其在課后參與數(shù)學(xué)建模項(xiàng)目競賽等．

(3)增強(qiáng)研究意識,發(fā)展教師專業(yè)素養(yǎng)

在建模教學(xué)中,教師也需不斷更新知識技能,提高自身素養(yǎng)．除了掌握常用的幾何畫板等技術(shù)外,教師需要進(jìn)一步學(xué)習(xí)GeoGebra,MATLAB等軟件的操作．此外,數(shù)學(xué)建模課例資源開發(fā)、建模教學(xué)形式的創(chuàng)新也是教師需要面對的重要功課．