段廣猛 孫 峰

(江蘇省蘇州市工業(yè)園區(qū)星灣學(xué)校 215021)

王曉峰

江蘇省蘇州工業(yè)園區(qū)教師發(fā)展中心 215021)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)》(下稱《課標(biāo)2022》)中明確指出:綜合與實(shí)踐以培養(yǎng)學(xué)生綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)和方法解決實(shí)際問題的能力為目標(biāo),根據(jù)不同學(xué)段學(xué)生特點(diǎn),以跨學(xué)科主題學(xué)習(xí)為主,適當(dāng)釆用主題式學(xué)習(xí)和項(xiàng)目式學(xué)習(xí)的方式,設(shè)計(jì)情境真實(shí)、較為復(fù)雜的問題,引導(dǎo)學(xué)生綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)學(xué)科和跨學(xué)科的知識(shí)與方法解決問題．[1]筆者以蘇州園林中的窗欞為載體,開展項(xiàng)目式探究活動(dòng),充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的主觀能動(dòng)性,使學(xué)生真正實(shí)現(xiàn)有意義的學(xué)習(xí),從而獲得綜合能力的提升．

1 驅(qū)動(dòng)任務(wù)

1.1 任務(wù)1:“看”中學(xué)

用數(shù)學(xué)的眼光“看”園林,發(fā)現(xiàn)與數(shù)學(xué)有關(guān)的研究對(duì)象或元素,搜集園林中的各種“數(shù)學(xué)元素”,并簡(jiǎn)單歸類,描述各種數(shù)學(xué)對(duì)象或元素．觀察窗欞圖案,可以感受到圖形對(duì)稱之美(軸對(duì)稱、中心對(duì)稱等)、變換之美(平移、翻折、旋轉(zhuǎn)等)以及各種不同圖形的組合之趣．還能感受到大量與圖形密鋪有關(guān)的素材,抽象出相關(guān)的數(shù)學(xué)研究對(duì)象,歸納共同特征,得到平面圖形鑲嵌的基本概念．

表1給出了該任務(wù)所需的數(shù)學(xué)知識(shí)或技能以及相應(yīng)的活動(dòng)形式和成果建議(下同,不再贅述)．

表3 任務(wù)3所需數(shù)學(xué)知識(shí)或技能、活動(dòng)形式和成果建議

表4 任務(wù)4所需數(shù)學(xué)知識(shí)或技能、活動(dòng)形式和成果建議

1.2 任務(wù)2:“思”中學(xué)

(1)制定研究路徑:確定具體的研究路徑,即按照什么順序研究圖形鑲嵌．

(2)建立數(shù)學(xué)模型:建立合適的數(shù)學(xué)模型分析并解決鑲嵌問題．

(3)發(fā)現(xiàn)一般規(guī)律:將鑲嵌問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題,通過求解數(shù)學(xué)問題,獲取鑲嵌中的一般規(guī)律．

1.3 任務(wù)3:“查”中學(xué)

通過上網(wǎng)查閱文獻(xiàn)或查閱相關(guān)的實(shí)體書籍,了解窗欞的發(fā)展歷史、鑲嵌的發(fā)展史以及鑲嵌在建筑、藝術(shù)等各方面的應(yīng)用,梳理成課件展示成果．

1.4 任務(wù)4:“做”中學(xué)

根據(jù)探究所得的一般規(guī)律及相關(guān)結(jié)論,利用多媒體作圖軟件或手工繪制優(yōu)美而有創(chuàng)意的窗欞圖案,學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的語言進(jìn)行表達(dá)的能力．

2 項(xiàng)目探究

2.1 特征歸納,概念導(dǎo)出,顯示研究對(duì)象

美麗的窗欞蘊(yùn)藏著豐富多彩的數(shù)學(xué)美,如軸對(duì)稱性、中心對(duì)稱性、圖形變換(平移、翻折、旋轉(zhuǎn))等．觀察各種各樣的窗欞圖案,發(fā)現(xiàn)這樣一類有趣的現(xiàn)象:很多窗欞都是由一種或幾種多邊形組合而成,而且每個(gè)頂點(diǎn)處這些多邊形的內(nèi)角之和都是一個(gè)周角(圖1)．

由此抽象出鑲嵌的有關(guān)概念:用形狀、大小完全相同的一種或幾種平面圖形進(jìn)行拼接,彼此之間不留空隙、不重疊地鋪成一片,這就是平面圖形的鑲嵌．

2.2 觀察分析,結(jié)合經(jīng)驗(yàn),確定研究路徑

圍繞“由特殊到一般,從具體到抽象”的基本原則,確定探究“鑲嵌”問題的一般路徑:

(1)一種邊長(zhǎng)相等的正多邊形鑲嵌;(2)一種形狀、大小完全相同的一般多邊形(三角形、四邊形、五邊形……)的鑲嵌;(3)兩種邊長(zhǎng)相等的正多邊形鑲嵌;(4)三種邊長(zhǎng)相等的正多邊形鑲嵌……

2.3 聚焦角度,錨定關(guān)系,建立數(shù)學(xué)模型

確定了研究路徑,接下來進(jìn)入具體探究環(huán)節(jié):

·一種邊長(zhǎng)相等的正多邊形

(1)如圖2,先從最簡(jiǎn)單的情形入手,即正三角形的鑲嵌．拼圖發(fā)現(xiàn),正三角形可以實(shí)現(xiàn)鑲嵌,且每個(gè)頂點(diǎn)處需要6個(gè)正三角形.

(2)正四邊形的鑲嵌:拼圖發(fā)現(xiàn),正四邊形可以實(shí)現(xiàn)鑲嵌,且每個(gè)頂點(diǎn)處需要4個(gè)正四邊形.

(3)正五邊形的鑲嵌:拼圖發(fā)現(xiàn),每個(gè)頂點(diǎn)處放3個(gè)正五邊形會(huì)有空隙,放4個(gè)正五邊形會(huì)有重疊,所以僅用正五邊形不能實(shí)現(xiàn)鑲嵌.

經(jīng)過一系列的對(duì)比、思考、探究后發(fā)現(xiàn)——能否實(shí)現(xiàn)鑲嵌的本質(zhì)條件取決于“同一個(gè)頂點(diǎn)處,角度和是否為360°”,從而將多邊形的鑲嵌問題再次抽象成與角度有關(guān)的問題．由此提出更一般化的問題:對(duì)于邊長(zhǎng)相等的同一種正多邊形,哪些能實(shí)現(xiàn)鑲嵌?

能夠僅用同一種邊長(zhǎng)相等的正多邊形進(jìn)行平面鑲嵌的只有三種:正三角形、正方形和正六邊形,且上面的拼接實(shí)驗(yàn)檢驗(yàn)出它們均能夠向外擴(kuò)展開來．

·一種形狀、大小完全相同的一般多邊形

遵循由特殊到一般的研究路徑,結(jié)合前面的探究及轉(zhuǎn)化經(jīng)驗(yàn),只需要研究“同一個(gè)頂點(diǎn)處角度和能否等于360°”．

(1)同一種全等的任意三角形

因?yàn)槿我庖粋€(gè)三角形的三個(gè)內(nèi)角之和均為180°,而180°+180°=360°,所以用同一種全等的任意三角形都可以進(jìn)行平面鑲嵌．

(2)同一種全等的任意四邊形

由于任意四邊形的四個(gè)內(nèi)角之和恰好均為360°,結(jié)合拼接實(shí)驗(yàn)可知,用同一種全等的任意四邊形也可以進(jìn)行平面鑲嵌．

(3)同一種全等的任意五邊形、六邊形……

根據(jù)前面的探究經(jīng)驗(yàn),自然提出:同一種全等的任意五邊形、六邊形是否也能進(jìn)行平面鑲嵌?

答案是否定的!因?yàn)槲暹呅蔚膬?nèi)角和為540°,六邊形的內(nèi)角和為720°……按照上面的拼接方式,顯然并不能滿足“在同一個(gè)頂點(diǎn)處各內(nèi)角之和為360°”這一條件,因此,邊數(shù)超過4的任意多邊形均不能進(jìn)行平面鑲嵌．

·兩種邊長(zhǎng)相等的正多邊形

順著“從一到二,從二到三,再到所有”的研究思路,進(jìn)一步探究?jī)煞N邊長(zhǎng)相等的正多邊形的組合鑲嵌問題．

只要繼續(xù)建立方程模型進(jìn)行分析:

第1步 (引進(jìn)字母表示未知量)設(shè)有k1個(gè)正n1邊形,k2個(gè)正n2邊形,其中k1,k2,n1,n2為正整數(shù),且n1≥3,n2≥3;

問題轉(zhuǎn)化為研究關(guān)于k1,k2,n1,n2的四元方程的正整數(shù)解問題．

·三種乃至多種邊長(zhǎng)相等的正多邊形

進(jìn)一步思考:最多有幾種邊長(zhǎng)相等的正多邊形可能實(shí)現(xiàn)鑲嵌?

觀察正多邊形的每個(gè)內(nèi)角度數(shù)的變化,發(fā)現(xiàn)正多邊形的每個(gè)內(nèi)角隨著邊數(shù)的增多而增大．

正n邊形n=3n=4n=5n=6…每個(gè)內(nèi)角度數(shù)60°90°108°120°…

回到上面的問題中來,若是有三種邊長(zhǎng)相等的正多邊形進(jìn)行拼接,則同一個(gè)頂點(diǎn)處各內(nèi)角之和的最小值為60°+90°+108°=258°<360°,也就是說,三種邊長(zhǎng)相等的正多邊形有可能實(shí)現(xiàn)鑲嵌．同樣地,若是由四種邊長(zhǎng)相等的正多邊形進(jìn)行拼接,則同一個(gè)頂點(diǎn)處各內(nèi)角之和的最小值為60°+90°+108°+120°=378°>360°．由此可見,四種邊長(zhǎng)相等的正多邊形不可能實(shí)現(xiàn)鑲嵌．

由此得到:最多由三種邊長(zhǎng)相等的正多邊形實(shí)現(xiàn)鑲嵌．

2.4 學(xué)科融合,借力編程,求解一般模型

若是一一枚舉,將非常繁雜,利用Python編程(或C+ + 編程)可以找到符合條件的所有非負(fù)整數(shù)解(共17組):

類型1 一種邊長(zhǎng)相等的正多邊形(3種):①(3,3,3,3,3,3);②(4,4,4,4);③(6,6,6)．

類型2 兩種邊長(zhǎng)相等的正多邊形(6種):①(3,12,12);②(4,8,8);③(5,5,10);④(3,3,6,6);⑤(3,3,3,4,4);⑥(3,3,3,3,6)．

類型3 三種邊長(zhǎng)相等的正多邊形(8種):①(3,7,42);②(3,8,24);③(3,9,18);④(3,10,15);

⑤(4,5,20);⑥(4,6,12);⑦(3,4,4,6);⑧(3,3,4,12)．

注:以上( )中的數(shù)字均表示正多邊形的邊數(shù)．

以上17種情形中,經(jīng)過實(shí)驗(yàn)及作圖驗(yàn)證,最終得到能夠進(jìn)行平面鑲嵌的只有11種[2]．

2.5 圖案設(shè)計(jì),藝術(shù)鑒賞,凸顯數(shù)學(xué)應(yīng)用

小組合作或獨(dú)立創(chuàng)作,利用探究所得的結(jié)論,借助電腦軟件或手工繪制優(yōu)美而有創(chuàng)意的窗欞圖案．通過“做”中學(xué),親身感受圖形鑲嵌、變換、組合的藝術(shù)之美,體會(huì)數(shù)學(xué)探究的應(yīng)用價(jià)值,培養(yǎng)用數(shù)學(xué)的語言進(jìn)行藝術(shù)表達(dá)等核心素養(yǎng),發(fā)展審美、創(chuàng)造美的能力．

學(xué)生代表作品(圖3):

圖3

靈感來源:密鋪圖形,園林中的自然美景．

數(shù)學(xué)元素:圖案中心為一個(gè)用六個(gè)全等的鏢形與箏形拼成的正六角星形,在此基礎(chǔ)上用全等的菱形進(jìn)行密鋪,組成一個(gè)冰晶的形狀．

自然元素:冰晶周圍運(yùn)用互不相同的多個(gè)圖形進(jìn)行填充,用這種不規(guī)則、無規(guī)律的美表現(xiàn)大自然的鬼斧神工．

寓意:冬日即將來臨,透過此窗欞觀景,便是透過冰晶賞冬景．即使無雪,也可在園中一步見冰晶,一步見冬景．

3 項(xiàng)目反思

3.1 指向驅(qū)動(dòng)任務(wù),凝練本質(zhì)問題

項(xiàng)目式學(xué)習(xí)以驅(qū)動(dòng)任務(wù)來包孕本質(zhì)問題,或以驅(qū)動(dòng)任務(wù)推動(dòng)本質(zhì)問題的凝練化．通過數(shù)學(xué)的眼光,可以從現(xiàn)實(shí)世界的客觀現(xiàn)象中發(fā)現(xiàn)數(shù)量關(guān)系與空間形式,提出有意義的數(shù)學(xué)問題,抽象出數(shù)學(xué)的研究對(duì)象及其屬性,形成概念、關(guān)系與結(jié)構(gòu),進(jìn)而幫助人們理解自然現(xiàn)象背后的數(shù)學(xué)原理,感悟數(shù)學(xué)的審美價(jià)值．本文以蘇州園林中的窗欞為載體,通過若干驅(qū)動(dòng)任務(wù),引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察窗欞,發(fā)現(xiàn)幾何圖形的對(duì)稱之美、組合之美,并聚焦到圖形的密鋪(即鑲嵌)之美,由此提出核心問題:“什么是圖形的鑲嵌?圖形鑲嵌中蘊(yùn)含怎樣的規(guī)律?”在任務(wù)實(shí)施的過程中,培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)美、探究美、創(chuàng)造美的能力．項(xiàng)目式學(xué)習(xí)可以幫助學(xué)習(xí)者不斷發(fā)現(xiàn)知識(shí)和現(xiàn)實(shí)世界的聯(lián)系,提出現(xiàn)實(shí)生活情境中真實(shí)遇到的問題,讓學(xué)習(xí)者實(shí)現(xiàn)“經(jīng)驗(yàn)的不斷改造和重新組織”,從而獲取并建構(gòu)屬于自己的經(jīng)驗(yàn)和知識(shí),在“做中學(xué)”“學(xué)中做”,通過親身實(shí)踐解決實(shí)際問題．

3.2 體驗(yàn)真實(shí)情境,凸顯實(shí)踐價(jià)值

《課標(biāo)2022》指出:初中階段綜合與實(shí)踐領(lǐng)域,可釆用項(xiàng)目式學(xué)習(xí)的方式,以問題解決為導(dǎo)向,整合數(shù)學(xué)與其他學(xué)科的知識(shí)和思想方法．項(xiàng)目式學(xué)習(xí)所涉及的問題主要是現(xiàn)實(shí)世界中具有開放性的跨學(xué)科問題,問題解決需要將現(xiàn)實(shí)問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題．真實(shí)性是考量項(xiàng)目?jī)?yōu)劣的首要指標(biāo),這就要求項(xiàng)目本身必須立足于現(xiàn)實(shí)生活的真實(shí)場(chǎng)景,或者是真實(shí)情境,在真實(shí)情境里解決真實(shí)問題．本文中千姿百態(tài)、美妙絕倫的窗欞就是現(xiàn)實(shí)世界的產(chǎn)物,學(xué)生從真實(shí)情境出發(fā),以數(shù)學(xué)、美學(xué)等不同學(xué)科的視角,綜合運(yùn)用相關(guān)學(xué)科的知識(shí)與方法、思維與習(xí)慣去分析、探究窗欞之美,通過創(chuàng)作新的窗欞圖案,又回歸到現(xiàn)實(shí)生活中來,充分體現(xiàn)項(xiàng)目式探究的實(shí)踐價(jià)值．

3.3 聚焦活動(dòng)過程,提升核心素養(yǎng)

項(xiàng)目式學(xué)習(xí)中,學(xué)生歷經(jīng)發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的全過程,在建構(gòu)學(xué)科核心知識(shí)的同時(shí),體驗(yàn)知識(shí)學(xué)習(xí)的價(jià)值和意義,使學(xué)習(xí)方法和思維方式得到不斷強(qiáng)化,從而實(shí)現(xiàn)思維品質(zhì)和關(guān)鍵能力的螺旋上升,提升核心素養(yǎng)．本文的項(xiàng)目探究路徑如圖4所示,概括來說,即會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界,從生活情境中抽象出數(shù)學(xué)的研究對(duì)象,發(fā)現(xiàn)并提出數(shù)學(xué)問題;會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界,通過數(shù)學(xué)推理,對(duì)提出的問題展開有序研究,逐步分析數(shù)學(xué)問題;會(huì)用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界,將數(shù)學(xué)建模探究得到的相關(guān)結(jié)論應(yīng)用于現(xiàn)實(shí)生活,發(fā)展并提高數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識(shí)．

圖4