追求理性的數(shù)學教育
——解讀《理想國》的數(shù)學教育思想

韋 旭 朱 雁

(華東師范大學教師教育學院 200062)

柏拉圖是一名數(shù)學哲學家[1],同時也是一名數(shù)學教育家,他將自己的數(shù)學教育思想充分貫徹在他創(chuàng)辦的柏拉圖學院中,培養(yǎng)出了多位數(shù)學家,例如證明了只存在五種正多面體的泰特圖斯(Theaetetus)、創(chuàng)立嚴謹窮竭法的歐達克斯(Eudoxus)、《幾何原本》的作者歐幾里得(Euclid)……[2]柏拉圖在《理想國》中系統(tǒng)闡述了自己的數(shù)學教育思想,因此有必要對柏拉圖在《理想國》中的數(shù)學教育思想進行解讀．

本文首先在柏拉圖的“世界二元論”的背景下介紹《理想國》中的數(shù)學教育目的、數(shù)學教育的具體內容以及數(shù)學的學習與教學思想,然后對數(shù)學教育目的的兩種取向進行討論,并從本體論的角度對柏拉圖提出的數(shù)學教育內容進行分析,最后將柏拉圖的數(shù)學學習、教學思想與當代數(shù)學教育思想進行比較并得到啟示．

1 數(shù)學教育目的

柏拉圖將世界分為可感世界(可見世界)和理念世界(可知世界).他認為人們現(xiàn)實生活所處的可感世界是對理念世界的描摹,可感世界是流變的,因可感世界的對象變動不居,可感世界不存在真正的知識,因此可感世界存在而不實在;理念世界是永恒不變的,人們只有通過思維才能知覺理念世界,理念世界具有實在性,真理只存在于理念世界中．

根據(jù)柏拉圖在《理想國》中的論述,數(shù)學教育的目的可以分為現(xiàn)實應用和促使心靈轉向．由于柏拉圖在青少年時期親眼目睹了雅典在伯羅奔尼撒戰(zhàn)爭中慘敗于斯巴達人,他在《理想國》中特別強調了數(shù)學兩大分支——算術和平面幾何在統(tǒng)率軍隊和排兵布陣方面的用處．相比于數(shù)學的現(xiàn)實應用目的,柏拉圖顯然更看重數(shù)學促使心靈轉向的作用．

柏拉圖在《理想國》中認為數(shù)學教育充當了連通可感世界和理念世界的橋梁,他用幾何研究舉例說明了數(shù)學的橋梁作用:個體在研究平面幾何中的正方形或者圓形時,以形似的可感世界的事物為手段,但思考的卻是具有共相特征的一般的正方形理念、圓形理念,圖形理念相比于圖形殊相不具有厚度,殊相只是對理念的模仿,理念只存在于思維中,個體經過思考接觸到理念世界．數(shù)學一方面與可感世界流變的殊相接觸,另一方面能接觸共相,觸及純粹的理念世界[3],于是在數(shù)學研究過程中,個體以殊相為手段,心靈在此時處于理智狀態(tài),對共相進行思考,個體的認知從對殊相的感性認識上升到對共相的理性認識,心靈也接觸到理念世界,實現(xiàn)心靈從可感世界到理念世界的轉向．

2 數(shù)學教育的內容

柏拉圖在《理想國》中根據(jù)數(shù)學研究對象將數(shù)學教育內容分為算術、平面幾何、立體幾何、天文學和諧音學．具體來看每一部分內容:算術并不只是要求個體對可感世界的客觀物體進行計算與數(shù)數(shù),為了心靈到達理念世界,柏拉圖要求個體研究理念世界的純數(shù)．算術能訓練個體的反應力、計算能力和理性思維,幫助個體的靈魂把握實在,為學習其他學科奠定基礎．幾何學是柏拉圖極其重視的學科,在他創(chuàng)辦的柏拉圖學院門前就刻有一句話:不精通幾何學的人勿入此門[4]．平面幾何的研究對象是永恒實在的圖形理念,通過思考平面幾何中較為深層次的事物,個體更容易把握理念世界的終極目的善理念．立體幾何科目屬于三維尺度下的學習,其研究對象為立方體等具有厚度的事物的理念．《理想國》中的天文學和諧音學為數(shù)學的應用學科,柏拉圖提出要像研究幾何一樣忽視可感世界的事物,以理念為思考對象,提出問題并建立數(shù)學模型進行天文研究[5]．同樣,柏拉圖認為要從數(shù)字的角度對諧音學進行研究,諧音學的研究對象并不是音樂的旋律,而是可聞音之間數(shù)的和諧關系．以上五門科目聯(lián)系緊密,立體幾何為平面幾何在三維空間的拓展,天文學為運動的立體之研究,同時,天文學和諧音學是算術和幾何的應用學科,柏拉圖要求學習者在深入掌握各科的基礎上,弄清各科的聯(lián)系并得出總體認識,提升理性思維．

柏拉圖認為個體需要學習的數(shù)學研究方法為假設-演繹法,假設-演繹法需要有前置條件,例如在研究算術和幾何時,個體須先假設基數(shù)和圖形已知且絕對正確,在此基礎上進行演繹推理獲得數(shù)學結論．但由于假設-演繹法的前置條件被默認為自明的,沒有經過嚴格證明,因此柏拉圖不認同能夠通過這種方法獲得真正的知識．

3 數(shù)學學習與教學思想

柏拉圖在《理想國》中針對數(shù)學教育提出了一系列數(shù)學學習與教學思想,可以將其分為以學生為主體的學習思想和以教師為主體的教學思想．

對學生來說,學習數(shù)學首先要有良好的記憶力,柏拉圖認為對真理的熱愛會讓學習者在追求知識的道路上充滿動力,因此學習數(shù)學需要強烈的興趣．在學習者擁有對數(shù)學的興趣的基礎上,堅持不懈的精神同樣為柏拉圖重視,他認為學習的艱苦相比于肉體的勞累更有挑戰(zhàn)性,學習者面對困難不輕易放棄才會到達知識的彼岸．從以上分析可以認識到柏拉圖在學生具備基本認知條件的基礎上,注重調動學生的主觀能動性,使得他們主動進行數(shù)學學習,這體現(xiàn)了數(shù)學學習中的學生主體性．

柏拉圖在《理想國》中談論數(shù)學教育時表露出了一系列教育教學思想．柏拉圖表示任何一個人學習算術、幾何等科目時均不應該被強迫進行,他提倡寓教學于游戲中,通過游戲可以了解學生的天性以及提升學生的學習興趣,進而調動學生學習數(shù)學的主觀能動性．柏拉圖重視數(shù)學教學的策略與方法,他認為數(shù)學教學過程中要由易到難,逐步深入,先學習算術,然后是二維的平面幾何,進而是三維的立體幾何,最后是數(shù)學的應用學科——研究運動三維物體的天文學和諧音學．柏拉圖還認識到了數(shù)學與其他科目的聯(lián)系,即所謂“天性擅長算術的人,往往也敏于學習其他一切學科”[6]．數(shù)學和其他科目的這種聯(lián)系表明學習數(shù)學有助于學習其他學科,因此在教學時要考慮各學科的教學順序,這種聯(lián)系也提示了教師將數(shù)學與其他學科結合進行跨學科教學的可能性．

4 討論

(1)數(shù)學教育目的的兩種取向

《理想國》中數(shù)學教育目的可以分為促進心靈轉向和現(xiàn)實應用,顯然柏拉圖更看重前者．然而當代教育界的一些學者對數(shù)學教育目的有不同的看法,弗賴登塔爾(Freudenthal)提出了現(xiàn)實數(shù)學教育思想:數(shù)學是有用的,學生要將學習到的數(shù)學知識應用到其他學科和現(xiàn)實生活中[7]．實用主義教育家杜威(Dewey)認為數(shù)學要與生活緊密聯(lián)系,實現(xiàn)對兒童生活經驗的改造[8]．在今天的數(shù)學教育中,數(shù)學在改造世界中的應用價值和培養(yǎng)人理性思維的作用均被各國教育界認同,并在各自國家的數(shù)學課程標準中體現(xiàn)[9]．

(2)本體論視域下的數(shù)學教育內容

柏拉圖認為數(shù)學并不是由人類創(chuàng)造的,只是為人類發(fā)現(xiàn)．他對數(shù)學本體論的這一觀念也被稱作數(shù)學柏拉圖主義,并影響著后世數(shù)學家對數(shù)學的認知,康托爾(Cantor)便認為數(shù)學家的工作是發(fā)現(xiàn)而不是發(fā)明[10]．但數(shù)學柏拉圖主義作為柏拉圖客觀唯心主義的產物,不能解釋構造數(shù)學家的工作,因此也被一些數(shù)學家批評,弗賴登塔爾便認為“數(shù)學是人類的活動”[11]．

在柏拉圖看來,數(shù)學的研究方法為假設-演繹法,這與羅素(Russell)認為數(shù)學是邏輯演繹體系的觀點相似．柏拉圖對假設-演繹法有超越時代的認識,他認為假設-演繹法的前置條件沒有經過嚴格證明,不一定能夠獲得真正的知識．

(3)歷久彌新的數(shù)學學習與教學思想

柏拉圖在《理想國》中提出的許多數(shù)學學習與教學思想在今天仍然適用．在數(shù)學學習方面,柏拉圖重視學生的主觀能動性以及學習過程中的主體性,我國數(shù)學課程標準同樣明確指出:學生是學習的主體[12]．柏拉圖認為學習數(shù)學不應該被強迫進行,學生需要對數(shù)學產生興趣,當代數(shù)學教育家波利亞(Polya)提出的數(shù)學學習原則之一就是最佳動機原則:學生在數(shù)學學習過程中要有興趣的刺激[13]．柏拉圖提出的數(shù)學學習過程中學生應具備備的認知條件、學習品質等在當代數(shù)學教育中同樣被重視．在數(shù)學教學方面,柏拉圖提出了一些數(shù)學教學的策略與方法,他認為教師要注意教學的順序,教學內容要由易到難、逐步深入,波利亞針對數(shù)學學習順序也提出了階段循序原則:學生必須有序經歷數(shù)學學習過程中低級到高級三個階段[13]．

5 結語

柏拉圖的數(shù)學教育思想與許多當代數(shù)學教育家的觀點不謀而合,在今天仍然充滿生機．數(shù)學教育實踐者要重視數(shù)學教育培養(yǎng)理性思維的獨特作用.例如,教師可以在教學幾何等數(shù)學內容時有意脫離現(xiàn)實物理世界,要求學生對抽象數(shù)學內容進行思考,在教學數(shù)學研究方法時要求學生對假設-演繹法進行批判性思考,達到提升學生理性思維層次的目的．數(shù)學教育實踐者還要吸收柏拉圖數(shù)學學習與教學思想的精華,如搭建腳手架教學、進行跨學科教學、通過數(shù)學游戲調動學生主觀能動性等,并將之融入實踐,實現(xiàn)自我和學生的雙重提升．