李軍

摘 要：新課程、新教材、新高考的貫徹和落實，使核心素養(yǎng)成為教育工作的核心所在，旨在幫助學(xué)生提高自身能力。其中，數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識的重要前提和基礎(chǔ)。然而實際上，高中階段學(xué)生所展現(xiàn)出來的運算能力相對較差一些，這不僅會影響自身成績的提高，還會對思維能力、空間能力培養(yǎng)造成制約和阻礙。文章以分析運算素養(yǎng)的基本內(nèi)涵以及培養(yǎng)運算素養(yǎng)需要遵循的原則為出發(fā)點，研究影響運算能力提升因素，并以“解三角中的最值問題”為例，探討如何在新高考視角下培養(yǎng)數(shù)學(xué)運算能力的策略，以期能夠促進學(xué)生協(xié)同發(fā)展、綜合發(fā)展。

關(guān)鍵詞：新高考視角；數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)；培養(yǎng)策略

新課程標(biāo)準(zhǔn)的實施不僅明確數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的基本內(nèi)涵、內(nèi)容，新高考的提出也將高考重心轉(zhuǎn)移到核心素養(yǎng)考查上，這就要求高中數(shù)學(xué)教師及時調(diào)整教學(xué)方向，切實提高核心素養(yǎng)重視程度?；趯W(xué)生角度分析，運算能力可以說是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識的開端，但在高中階段教學(xué)中，因為各種因素造成的影響使學(xué)生參與運算的機會少之又少，最終在日常作業(yè)、考試中出現(xiàn)運算錯誤的概率相對較高的現(xiàn)象，而最終將問題歸結(jié)為做題粗心，并未從根本上尋找解決這一問題方法，導(dǎo)致數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)局限在自身能力范圍內(nèi)，無法實現(xiàn)有效培養(yǎng)和提升。

一、數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)的基本內(nèi)涵以及需要遵循的原則

（一）數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)的基本內(nèi)涵

數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)是數(shù)學(xué)這門學(xué)科核心素養(yǎng)之

一[1]。對于數(shù)學(xué)知識來說，學(xué)習(xí)應(yīng)當(dāng)以相應(yīng)的計算法則為基準(zhǔn)，圍繞數(shù)學(xué)運算對象展開全方位、多角度的剖析，確定運算目標(biāo)，完成計算，其間，除了能夠直接運用運算法則尋求正確答案外，還可利用與運算對應(yīng)的數(shù)學(xué)規(guī)律進行推導(dǎo)，得出解決問題路徑，既能提高學(xué)生運算能力，又能降低運算錯誤發(fā)生率，使解題準(zhǔn)確度得到顯著提升。

（二）培養(yǎng)數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)需要遵循的原則

新高考視角下培養(yǎng)數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)的原則可以從靈活性、趣味性兩點來說。第一，靈活性原則。具備較高復(fù)雜性、抽象性是高中階段數(shù)學(xué)知識特點所在，并且在實際學(xué)習(xí)中常常伴隨突發(fā)情境的發(fā)生，所以并不能完全按部就班地實施教學(xué)活動，故在培養(yǎng)數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)過程中要遵循靈活性原則，通過設(shè)計靈活度較強的教學(xué)活動以及強化自身靈活變通性，同時結(jié)合學(xué)生實際情況做出合理預(yù)設(shè)，避免在課堂教學(xué)中出現(xiàn)僵化現(xiàn)象，不僅能提高教師課堂應(yīng)變能力、優(yōu)化教學(xué)方式，還能使課堂教學(xué)質(zhì)量和效率得到顯著提升。第二，趣味性原則。由于高中階段的數(shù)學(xué)知識具備一定復(fù)雜性，很容易讓學(xué)生產(chǎn)生枯燥、乏味的感覺，降低數(shù)學(xué)知識學(xué)習(xí)興趣。為此教師要遵照趣味性原則，通過營造充滿趣味性的課堂氛圍，調(diào)動學(xué)生參與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的積極主動性，進而萌生探索知識欲望。另外，教師還要在充分觀察和了解學(xué)生發(fā)展特征基礎(chǔ)上，增強教學(xué)設(shè)計的科學(xué)性，使學(xué)生保有較高學(xué)習(xí)興趣的同時，實現(xiàn)運算素養(yǎng)的有效培養(yǎng)和提升。

二、新高考視角下影響數(shù)學(xué)運算能力培養(yǎng)的因素

根據(jù)調(diào)查研究發(fā)現(xiàn)，影響高中數(shù)學(xué)運算能力培養(yǎng)的因素主要是由思維定式、缺乏解題反思習(xí)慣、不具備良好數(shù)學(xué)思維意識，以及運算過程欠缺一定嚴(yán)謹(jǐn)性造成的。第一，思維定式。高中階段的學(xué)生已經(jīng)擁有一定解題能力、思維和學(xué)習(xí)方法，所以在學(xué)完某一知識點后經(jīng)常性地選擇運用自己的方法解決問題，這就是思維定式。雖然說思維定式在促進學(xué)生能力提升上具有積極作用，但在長期思維定式影響下很容易讓學(xué)生從思維上產(chǎn)生惰性，不再主動思考運用其他方式解決問題，不利于數(shù)學(xué)思考、思維能力發(fā)展，久而久之，就會影響運算能力培養(yǎng)。第二，未養(yǎng)成解題反思習(xí)慣。上述提到高中數(shù)學(xué)知識具備一定復(fù)雜性，計算過程中極易出現(xiàn)迷茫心理、進入計算盲區(qū)，導(dǎo)致所學(xué)形成的知識結(jié)構(gòu)、重點知識整理缺乏一定完整性，尤其是在運算結(jié)束后，大部分學(xué)生認(rèn)為只需要掌握一種解題方法即可，不會再轉(zhuǎn)換思維，主動尋求其他解題方法[2]。此外，教師在針對某一題目講解時，為了讓學(xué)生了解知識重點，就會忽略題目的簡便運算方式引導(dǎo)，這是缺乏反思意識培養(yǎng)的直接體現(xiàn)。要知道，如果缺少了思維引導(dǎo)，將不利于運算能力、運算素養(yǎng)培養(yǎng)。第三，缺乏數(shù)學(xué)思維意識，數(shù)學(xué)教育不單單是運算方法的教授，培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)性的邏輯思維意識也是非常重要的。故需要運用相同類型的數(shù)學(xué)題目，通過不斷分析、探索帶領(lǐng)學(xué)生逐漸掌握解題方法、解題規(guī)則，此過程思維意識占據(jù)重要地位。第四，運算過程不嚴(yán)謹(jǐn)，是否能夠?qū)崿F(xiàn)運算素養(yǎng)的有效培養(yǎng)與學(xué)生本身有著密不可分的關(guān)系，比如，運算開始前未能認(rèn)真審題，那么后邊的解題思路、解題方法都會出現(xiàn)偏差；如果解題不認(rèn)真、不仔細(xì)，就會無法將所學(xué)知識充分運用到解題過程，除了會使結(jié)果出現(xiàn)誤差外，還不利于運算素養(yǎng)培養(yǎng)。

三、新高考視角下數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)培養(yǎng)的有效策略

（一）規(guī)范思考，培養(yǎng)科學(xué)精神

數(shù)學(xué)運算是在圍繞運算規(guī)則基礎(chǔ)上展開的邏輯推理，也是解決數(shù)學(xué)問題的重要手段。運算素養(yǎng)的培養(yǎng)一方面能夠促進數(shù)學(xué)思維發(fā)展，另一方面能夠幫助學(xué)生養(yǎng)成規(guī)范化思考習(xí)慣、學(xué)習(xí)品質(zhì)，培養(yǎng)“嚴(yán)謹(jǐn)、求實”的科學(xué)精神?，F(xiàn)階段，高中數(shù)學(xué)教學(xué)中存在的“會而不對、會而不簡以及解不全、解不優(yōu)”等問題給學(xué)生帶來極大挑戰(zhàn)。為此，數(shù)學(xué)教師要合理設(shè)計運算教學(xué)程序，通過提高運算的準(zhǔn)、精、優(yōu)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)。

例如，在解三角形面積的取值范圍類題目時，部分學(xué)生解決問題時的思路也較為明確，知道借助正弦定理或者是余弦定理完成運算，但是卻對到底采用哪一定理完成運算產(chǎn)生迷茫心理[3]。此種問題解決中，當(dāng)三角形給定一個角度以及一鄰邊后，如果選擇從余弦定理著手解決的話，從本質(zhì)上來講，探索的是一個二元二次方程兩未知邊的變量關(guān)系。如果說兩未知邊是正數(shù)，那么方程就是一個圖像在第一象限的函數(shù)；如果說題目中要求去求面積或者是邊長取值范圍，那么就可以從函數(shù)角度思考，借助導(dǎo)數(shù)探索該函數(shù)的性質(zhì)，求出范圍。運算素養(yǎng)培養(yǎng)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生從理解算理、掌握算法、探究運算規(guī)律等方面帶領(lǐng)學(xué)生分析運算，這樣才能做到“知其然，亦知其所以然”，進而養(yǎng)成良好的思維習(xí)慣，提升運算素養(yǎng)[4]。

（二）設(shè)計活動，鍛煉運算素養(yǎng)

做好高中階段數(shù)學(xué)學(xué)科的教學(xué)工作，盡可能多地開展運算練習(xí)活動，不僅能鍛煉數(shù)學(xué)運算能力、發(fā)現(xiàn)運算規(guī)律效果，還能調(diào)動學(xué)生參與數(shù)學(xué)運算的積極主動性，實現(xiàn)知識的學(xué)以致用[5]。為此，教師要圍繞教材內(nèi)容設(shè)計和開發(fā)一些具備較強針對性的運算活動，來培養(yǎng)學(xué)生的運算素養(yǎng)[6]。對于解三角形的最值問題來講，通常會借助未知條件變化解決問題，大體可以分為三種類型：其一，已經(jīng)知道一個角和一條鄰邊，求范圍；其二，題目中給出一個角和其中一個對邊，求范圍；其三，已知兩條邊，求范圍?？v觀近幾年高考例題，前兩個問題出現(xiàn)得相對頻繁，而第三類問題在全國范圍內(nèi)暫未出現(xiàn)，但是仍不能忽略教學(xué)引導(dǎo)。

學(xué)習(xí)三角形最值的問題，通常都是將正弦定理和余弦定理作為解題橋梁，運用“知二求二”的方式將問題呈現(xiàn)出來，尋找解題路徑[7]。通過盡可能多地設(shè)計運算活動，能讓學(xué)生在不斷練習(xí)中加深知識理解、掌握運算規(guī)律，進而實現(xiàn)數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)的提升。

（三）經(jīng)典剖析，掌握運算規(guī)律

高中階段的學(xué)生已經(jīng)具備相對扎實的數(shù)學(xué)知識，并且大腦中擁有相對完善的知識體系，所以可以運用相對清晰的解題思路和辨析能力分析題目中的運算條件。然而，因基礎(chǔ)知識與數(shù)學(xué)知識是相互交通的，雖然能夠明確解題思路，但在實踐應(yīng)用中在探究方向這方面缺乏一定敏銳度、靈活性，需要后期訓(xùn)練和多加磨合，為此，教師要收集一些經(jīng)典例題，帶領(lǐng)學(xué)生展開深入剖析、歸納和總結(jié)，以此來探尋更為簡便、合理的運算途徑，積累經(jīng)驗，掌握規(guī)律。

以2015年高考真題（全國卷）中一題為例，假設(shè)的內(nèi)角Ａ、Ｂ、C的對邊分別為a、b、c，已知a=btanA，并且內(nèi)角B為鈍角。求sinA+sinC的取值范圍。

此題的運算是以已知條件的一個邊角關(guān)系為出發(fā)點，分析A與B兩者關(guān)系，進而得出C與A的關(guān)系，也就是C=（π/2）-2A。從角的結(jié)構(gòu)特征來看，其中包含了誘導(dǎo)公式和二倍角關(guān)系，可以判斷出。而余弦定理中的二倍角公式中囊括較為豐富的二次關(guān)系，不僅能幫助學(xué)生在腦海中建立關(guān)于正弦、余弦二次函數(shù)模式，運用恰當(dāng)?shù)倪\算方式解決最值問題。值得一提的是，解答過程對重要角的范圍、三角函數(shù)范圍求解予以高度關(guān)注，這樣才能較為精準(zhǔn)地求出二次函數(shù)最值。針對此題展開重點分析，還可將其做出以下變式：

對于解三角形問題的題型，主要考查三角函數(shù)的概念、和差半誘導(dǎo)公式、正弦定理、余弦定理的知識掌握情況以及知識運用能力。其中與同角的關(guān)系為sin2A+cos2A=1；余弦的二倍角公式為cos2A=2cos2A-1=1-2sin2A……這些都屬于二次型結(jié)構(gòu)，幫助學(xué)生在面對解三角形問題中經(jīng)常出現(xiàn)的一邊或者某一個角，以三角函數(shù)為變元的二次函數(shù)[8]。

四、新高考視角下培養(yǎng)數(shù)學(xué)運算能力的教學(xué)反思與探究

上述題型屬于中檔題的范疇，具有解法多樣、計算量適當(dāng)?shù)蕊@著特征。但就不同解法之間，其計算量也是存在明顯差異的，所以，學(xué)生選擇也就成為得分難易程度的關(guān)鍵。上述題目大約有66%的學(xué)生存在扣分情況，得分在一半及以下的學(xué)生占到了35%，這也是數(shù)學(xué)運算方面能力不足的直接體現(xiàn)。對此，通過切實可行的策略提高學(xué)生數(shù)學(xué)運算能力，進而培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)顯得尤為緊迫。

（一）加大對知識相關(guān)性的重視度

任何知識都不是孤立存在的，數(shù)學(xué)知識也不例外，且系統(tǒng)性和邏輯性較強，那么如何遴選和把握整體教學(xué)的線索呢？基于此，可以教材為基礎(chǔ)，將相關(guān)性強的知識納入同一單元教學(xué)當(dāng)中，打破以往知識被冊、章節(jié)割裂的局面。之后，立足知識間的聯(lián)系和區(qū)別，通過引導(dǎo)幫助學(xué)生清晰掌握知識之間的來龍去脈，增強所學(xué)知識的全面性和系統(tǒng)性，由此一來，可以有效減輕學(xué)生學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)和壓力，強化學(xué)生對核心概念的把握，同時也有助于數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)的提升。

（二）聚焦常識性算法的積累

新課標(biāo)提到，數(shù)學(xué)運算是指以明晰運算對象為基礎(chǔ)，結(jié)合運算法則進行數(shù)學(xué)問題解決的素養(yǎng)。“四基”夯實與發(fā)展能夠為學(xué)生核心素養(yǎng)培養(yǎng)奠定堅實基礎(chǔ)，而數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)的提升則需要教師發(fā)揮自身引導(dǎo)作用，讓學(xué)生對算理有清晰的了解，并以此為基礎(chǔ)熟練掌握算法，借助具體問題分析和解決從中感知數(shù)學(xué)基本思想，并逐漸累積處理對象方法、靈活使用運算法則策略以及優(yōu)化運算思路的經(jīng)驗。算理能夠為算法提供依據(jù)，當(dāng)明晰算理之中行為時，也就賦予了算理更強的操作性，并不僅僅是簡單、機械化的計算，更不是數(shù)字游戲，而是能力的直接反映和個人素養(yǎng)的充分體現(xiàn)。算法在算理支撐下也更加鮮活，教師在開展日常教學(xué)時可以加大對算理、算法的重視力度，并著重強調(diào)學(xué)生在解決數(shù)學(xué)問題時注意常識性算法的積累，由此實現(xiàn)常識性算法程序化。

例如“求未知數(shù)找方程”“n個未知數(shù)需要n個方程（條件）”“求范圍找不等式”等題目，就可以為學(xué)生找出解決思路提供一定的幫助，進而得出運算結(jié)果。這不僅是高中數(shù)學(xué)常識，而且也為解決數(shù)學(xué)問題提供了明確的方向。針對此考題，我們可以將其等同于“求x的值”問題，其中，x為“求D、A之間的距離”，這樣即可以通過△CAD和中公共角CAD，結(jié)合余弦定理構(gòu)建方程組，獲得解法一。提高對算法教學(xué)和常識性算法的積累，應(yīng)將其貫穿在整個數(shù)學(xué)教學(xué)過程當(dāng)中，尤其是要注重引導(dǎo)學(xué)生回顧并反思整個解題過程，從中總結(jié)、提煉出與數(shù)學(xué)本質(zhì)概念和算法接近的內(nèi)容，幫助學(xué)生獲取到解決問題的切入口。

結(jié)束語

數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)的培養(yǎng)并不是一蹴而就的，而是需要在教師的有效指導(dǎo)中逐漸養(yǎng)成，為此，教師要對需要培養(yǎng)學(xué)生什么能力、運用什么樣的方法有一個深入了解，同時，通過深入觀察、分析和研究自身教學(xué)行為，在做到揚長避短的基礎(chǔ)上，強化學(xué)生數(shù)學(xué)運算能力，實現(xiàn)學(xué)生的全面發(fā)展。

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本文系廈門市教育科學(xué)“十四五”規(guī)劃2021年度課題“新高考視角下數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)培養(yǎng)的實踐研究”（課題批準(zhǔn)號：21063）的研究成果。