汪明亮

在解答立體幾何問(wèn)題時(shí)，我們經(jīng)常會(huì)遇到判斷空間中的直線與直線、直線與平面、平面與平面的平行或垂直關(guān)系的問(wèn)題，這就要用到線線平行的性質(zhì)：（1）若兩條平行直線中的一條垂直于一個(gè)平面，則另一條直線也垂直這個(gè)平面；（2）平行于同一條直線的兩條直線互相平行；（3）若兩條直線平行，則其同位角相等；（4）若兩條直線平行，則其同旁內(nèi)角互補(bǔ).

而要用線線平行的性質(zhì)解題，往往要先證明兩條直線平行.常用的方法有：（1）面面平行的性質(zhì)定理：若兩個(gè)平行平面分別和第三個(gè)平面相交，則交線平行；（2）面面平行的性質(zhì)：如果兩個(gè)平面平行，則在一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線平行于另外一個(gè)平面；（3）利用三角形中位線的性質(zhì)；（4）利用平行四邊形的性質(zhì)；（5）根據(jù)線段之間的比例關(guān)系.線線平行的性質(zhì)常用于證明線面垂直、求異面直線所成的角、求直線與平面所成的角.下面舉例加以說(shuō)明.

一、證明線面垂直

有時(shí)無(wú)法直接證明直線與平面垂直，就不妨先證明這條直線與另外一條直線平行，再證明另一條平行線垂直于平面，然后根據(jù)線線平行的性質(zhì)證明這條直線垂直這個(gè)平面.

我們很難直接證明直線 EF 垂直于平面 PAD ，于是先根據(jù)線段之間的比例關(guān)系證明直線 EF 平行于直線 CD ，再證直線 CD 垂直于平面 PAD ，即可證明直線 EF 垂直于平面 PAD .

先根據(jù)直三棱柱和平行四邊形的性質(zhì)證明直線 MN 平行于 BO ，再根據(jù)線面垂直的判定定理證明 BO 垂直于平面 A1B1C ，即可證明直線 MN 垂直于平面 A1B1C .

二、求異面直線所成的角

根據(jù)等角定理可知，如果空間中兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ).在求異面直線所成的角時(shí)，常常需要平移異面直線，使移動(dòng)后的直線與兩條異面直線平行，并交于一點(diǎn)，構(gòu)成平面角，通過(guò)求平面角來(lái)求得異面之間所成的角.我們就可以根據(jù)線線平行的性質(zhì)以及等角定理，確定異面直線所成的角.

例3.如圖3，在正方體 ABCD -A1B1C1D1中，E 是 BC 的中點(diǎn)，則異面直線 BC1和 D1E 所成角的大小為

先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可以判定直線 AD1 與直線 BC1 平行，即可根據(jù)線線平行的性質(zhì)確定異面直線 BC1 和 D1E 所成的角為∠AD1E 或其補(bǔ)角；然后根據(jù)正余弦定理、勾股定理求得△AD1E 各條邊的長(zhǎng)，即可求得角∠AD1E 的大小.

例4.如圖5，在直三棱柱 ABC -A1B1C1中，ΔABC是等邊三角形，AA1=AB，D，E，F(xiàn) 分別是棱 AA1，BB1， BC 的中點(diǎn)，則異面直線 DF 與C1E 所成角的余弦值是

我們先添加輔助線，根據(jù)平面四邊形的性質(zhì)證明直線C1E 與直線 HF 平行，即可根據(jù)線線平行的性質(zhì)確定異面直線 DF 與C1E 所成的角為∠DFH 或其補(bǔ)角；再根據(jù)勾股定理、余弦定理求解即可.

三、求直線與平面所成的角

因?yàn)閮蓷l平行直線與同一個(gè)平面所成角的大小相等，所以在求直線與平面所成角受阻時(shí)，可以將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求平行線與平面所成角的大小.

解答本題，需先根據(jù)正方形的性質(zhì)判定 PA//EF ；然后根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理以及直線與平面所成角的定義，確定直線 PA 與平面 ABCD 所成的角為∠PAD ；再根據(jù)線線平行的性質(zhì)證明直線 EF 與平面 ABCD 所成的即為∠PAD .

由四邊形 AMB1A1 為平行四邊形可知 AM//A1B1 ，即可根據(jù)線線平行的性質(zhì)，將求直線 A1B1 與平面 BCB1 所成的角，轉(zhuǎn)化為求直線 AM 與平面 BCB1 所成的角.而∠AME 為直線 AM 與平面 BCB1 所成的角，利用勾股定理得出 EM，AE 的長(zhǎng)度，即可求得直線 A1B1 與平面 BCB1 所成角的大小.

可見線線平行的性質(zhì)在解答線面平行、線面垂直、異面直線所成角和線面所成角問(wèn)題時(shí)，都起著非常重要的作用.同學(xué)們要學(xué)會(huì)將其靈活地應(yīng)用于解題當(dāng)中.