徐艷艷

摘? 要：人教A版高中數(shù)學“探索與發(fā)現(xiàn)”欄目是教材知識的拓展與延伸，通過“探索與發(fā)現(xiàn)”欄目的教學，能夠很好地落實新課標的教育理念，發(fā)展學生的數(shù)學思維。文章以“為什么二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像是拋物線”為例，設計了“探索與發(fā)現(xiàn)”欄目的教學活動，教師通過設計問題鏈，借助網(wǎng)絡畫板演示，小組合作討論，啟發(fā)學生設計方案解決數(shù)學問題等一系列活動過程，在探究中引導學生完成從解釋函數(shù)定義和函數(shù)圖像平移兩個角度的證明，為下一步的學習打下了良好基礎，在數(shù)學課堂的活動過程中提高了學生的數(shù)學核心素養(yǎng)。

關鍵詞：高中數(shù)學;探索與發(fā)現(xiàn);拋物線;教學活動設計

在新課標背景下，分數(shù)不再是教師教學追求的唯一目標，如何讓學生在學習的過程中得到思維的鍛煉，獲得解決問題的能力，才是新課標的精髓所在。在高中數(shù)學教學中，如何將數(shù)學的核心素養(yǎng)滲透在教學過程中是每一位數(shù)學教師要追求的目標。人教A版高中數(shù)學“探索與發(fā)現(xiàn)”欄目是課程內(nèi)容的延伸與拓展，通過開展“探索與發(fā)現(xiàn)”的數(shù)學活動課程，可以讓學生在深度思考的過程中更好地理解數(shù)學問題的本質(zhì)。

本文以普通高中教科書《數(shù)學選擇性必修第一冊（A版）》第三章的“探索與發(fā)現(xiàn)”欄目“為什么二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像是拋物線”的教學為例，設計開展教學活動。教學過程中教師通過設置問題鏈，引導學生自主探究，形成方案，開展小組活動，最終得出結(jié)論，這種環(huán)環(huán)相扣、層層遞推的教學活動，不但能使學生有極大的參與感，激發(fā)出學生的學習興趣，也極大地提高了學生的數(shù)學能力和數(shù)學核心素養(yǎng)。

一、教學內(nèi)容和解析

（一）錨定內(nèi)容

本節(jié)課選自普通高中教科書《數(shù)學選擇性必修第一冊（A版）》第三章的“探索與發(fā)現(xiàn)”欄目，本節(jié)的主要內(nèi)容是探究二次函數(shù)圖像與拋物線圖像的特征，找出二者的共性和規(guī)律，通過拋物線定義和函數(shù)圖像平移兩個角度，解釋“為什么二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像是拋物線”。

（二）內(nèi)容解析

本節(jié)課安排在3.3.1“拋物線及其標準方程”之后，通過上一節(jié)課的學習，學生理解并掌握了拋物線的定義和標準方程，發(fā)現(xiàn)高中教材對于拋物線的定義與初中所學到的拋物線有很大的不同，學生難免產(chǎn)生疑問：為什么初中所學習的二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像也是一條拋物線？從定義的角度如何解釋？從函數(shù)方程的形式上看又和拋物線的標準方程之間有哪種聯(lián)系呢？本節(jié)課將會從兩個角度幫助學生理解初中所學習的二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像依然是拋物線，與高中所定義的拋物線并不矛盾。

二、課程教學目標及解析

（一）教學目標

本節(jié)課的教學目標是使學生能從拋物線的標準方程和函數(shù)定義兩方面研究拋物線與二次函數(shù)的關系，并借助網(wǎng)絡畫板從代數(shù)和幾何的雙重角度對這一問題進行探究，使學生通過自己的探索與發(fā)現(xiàn)加深對于這一問題的理解。在探索與發(fā)現(xiàn)的過程中，發(fā)展學生的數(shù)學核心素養(yǎng)。

（二）目標解析

高中數(shù)學學科的核心素養(yǎng)包括數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、直觀想象、數(shù)學運算、數(shù)據(jù)分析，如何在教學中發(fā)展學生的數(shù)學學科素養(yǎng)是每一節(jié)數(shù)學課的使命。本節(jié)課通過教師提出疑問，鼓勵學生大膽發(fā)現(xiàn)，勇于試錯，小組討論交流，進而發(fā)現(xiàn)“真理”的這一過程，可以很好地加深學生對于問題的理解，不僅深刻理解了圓錐曲線的定義，同時還使學生的數(shù)學能力得到大幅提高。

三、教學問題診斷分析

本節(jié)課在學生已經(jīng)學習了拋物線的定義和標準方程后，學生已經(jīng)很好地理解了拋物線的焦點和準線。高中教材對于拋物線的定義是“把平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線L（L不經(jīng)過點F）的距離相等的點的軌跡叫作拋物線”。而學生在初中學習二次函數(shù)的圖像是一條拋物線時，則并沒有給出這樣的定義，這就會導致學生產(chǎn)生疑問，認為二者并不相同，通過本節(jié)課的學習，教師要帶領學生深入挖掘教材定義，找出二者本質(zhì)上的一致性，使學生對拋物線的理解更為深刻。在探究過程中，教師要引導學生形成探究思路，即形成從平移變換和函數(shù)定義兩個角度入手的探究思路，并協(xié)助小組成員形成探究步驟。在進行代數(shù)法證明時，化簡的難度較大，教師可以協(xié)助學生完成化簡。

此外，本節(jié)課可以利用網(wǎng)絡畫板做出二次函數(shù)的圖像，通過平移變換，讓學生直觀感受并總結(jié)規(guī)律，得出結(jié)論。

四、教學過程設計

（一）提出問題，課堂引入

師：上一節(jié)課同學們學習了拋物線的定義及其標準方程，大家來回顧一下，拋物線是如何定義的？

生：平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線L（L不經(jīng)過點F）的距離相等的點的軌跡叫作拋物線。

師：在初中，同學們學過二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像也是一條拋物線，二次函數(shù)的圖像和現(xiàn)在所學習的拋物線是不同的嗎？如果不同，如何解釋？如果相同，又如何證明？本節(jié)課讓我們帶著這個問題一起來探索與發(fā)現(xiàn)吧！

設計意圖：學生對于圓錐曲線這部分的學習往往會忽視定義的理解，通過提出這個問題，引發(fā)學生對于拋物線定義的思考，便于在以后的學習中更好地利用圓錐曲線的定義解決數(shù)學問題。

（二）小組討論，確定研究方案

分小組進行討論，引導學生確定研究方案，形成研究步驟。一組學生從圖像平移的角度進行探究，另一組學生從拋物線定義的角度進行探究，探討二次函數(shù)y=ax2+bx+c是否也滿足拋物線的定義。

1. 從圖像平移的角度看拋物線

師：在直角坐標系中，請同學們將拋物線x2=2y的圖像向右平移兩個單位，再向上平移兩個單位，大家可以借助網(wǎng)絡畫板演示平移這一過程，如圖1和圖2所示，同學們有什么發(fā)現(xiàn)？圖像的形狀是否發(fā)生了變化？

生：只改變了圖像的位置，圖像的形狀沒有發(fā)生變化。

師：同學們能從平移變換的角度給出證明嗎？

生：拋物線方程x2=2y平移后得到的方程為（x-2）2=2（y-2），整理后可以化為y=x2-2x+4，與二次函數(shù)y=ax2+bx+c形式一致，因此可以得出結(jié)論，二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像可以由拋物線標準方程的圖像通過平移達到，即二次函數(shù)的圖像也是拋物線。

師：同學們能否給出一般性的證明，如何把y=ax2+bx+c進行平移，說明其圖像是拋物線？

生：可以把方程整理成二次函數(shù)的頂點式y(tǒng)=ax++，利用函數(shù)平移的性質(zhì)可知，如果將圖像沿著向量=，-

進行平移，平移后對應的解析式為y=ax2，即x2=y，這個方程表示的曲線是頂點在原點，焦點為0，

的拋物線，則得到了一般性方程的證明。

設計意圖：由特殊方程引入，通過平移變換發(fā)現(xiàn)拋物線的形狀不變，再引入一般方程，通過由特殊方程到一般方程的證明，可以發(fā)展學生數(shù)學抽象、邏輯推理的能力。

2. 從定義的角度看拋物線

師：同學們知道拋物線x2=2y圖像上的點滿足拋物線的定義，即任意一點到定點

0，

的距離與到定直線y=-的距離相等，能否從定義的角度看平移后（x-2）2=2（y-2）的圖像上的點也滿足到定點的距離與到定直線的距離相等呢？如果滿足，定點與定直線又分別是什么呢？

生：將方程通過配湊的方式，可表示成（x-2）2+

y-=y-，即=y-

，其表示的幾何意義為：圖像上任意一點到定點2，

與到定直線y=的距離相等。通過這種方程形式的變換，會發(fā)現(xiàn)二次函數(shù)y=ax2+bx+c也滿足拋物線的定義。

師：同學們能否用一般方程給出證明呢？

一般方程的角度化簡難度較大，教師可以指導并協(xié)助學生完成，首先，由二次函數(shù)方程的頂點式y(tǒng)=a

，即=y-

，從而得到二次函數(shù)y=ax2+bx+c也同樣滿足拋物線的定義，即圖像上的點到定點

-，

的距離與到定直線y=的距離相等。

（三）歸納小結(jié)

1. 拋物線的定義是本節(jié)課探索與發(fā)現(xiàn)的基礎。

2. 數(shù)形結(jié)合是本節(jié)課小組討論的基本方法。

3. 代數(shù)法的難點在于配方，配方法的難點在于待定系數(shù)。

4. 二次函數(shù)的圖像是拋物線，符合拋物線的定義，但并不是所有的拋物線都是二次函數(shù)。二次函數(shù)通過平移變換可以化簡為拋物線的標準方程，但是如果把拋物線圖像進行旋轉(zhuǎn)變換，則圖像依然是拋物線，但是曲線方程則不一定是二次函數(shù)形式。

五、教學總結(jié)

本節(jié)課從圖像平移和拋物線的定義兩個角度去研究了為什么二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像也是拋物線，體現(xiàn)了知識的一致性，引發(fā)了學生對于圓錐曲線定義的深度思考。從教學活動實施的效果來看，“探索與發(fā)現(xiàn)”欄目通過數(shù)學活動課的形式進行教學，能夠讓每一位學生積極參與進來，激發(fā)學習興趣，通過小組討論，總結(jié)問題，探究方法，在思維的碰撞中落實教學目標，讓“學數(shù)學”變?yōu)椤坝脭?shù)學”，使學生獲得了思考和解決問題的能力。

六、結(jié)語

綜上所述，高中數(shù)學教材中的“探索與發(fā)現(xiàn)”這一欄目，有利于培養(yǎng)學生的閱讀理解能力、獨立思考能力以及解決問題的能力，可以有效培養(yǎng)學生的數(shù)學思維，幫助學生形成良好的數(shù)學核心素養(yǎng)。在新課標的大背景以及素質(zhì)教育不斷發(fā)展的當下，高中數(shù)學教師更應鉆研教材、利用教材，帶領學生一起探究“探索與發(fā)現(xiàn)”欄目中的數(shù)學文化知識，發(fā)揮出“探索與發(fā)現(xiàn)”這一欄目的價值，從而全面提升學生的數(shù)學能力。

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[5]徐菊. 高中數(shù)學“探究與發(fā)現(xiàn)”欄目的有效教學研究[J]. 高考，2019（33）：174.

（責任編輯：向志莉）

* 本文系“高中數(shù)學新教材‘探索與發(fā)現(xiàn)欄目在內(nèi)地西藏班的教學實踐研究”（課題編號：XZJYKT321048）課題的研究成果之一。