從九省聯(lián)考第11題談抽象函數(shù)教學(xué)策略

［摘 要］抽象函數(shù)是高中數(shù)學(xué)函數(shù)知識(shí)中的一條重要分支，也是高考的重點(diǎn)考查內(nèi)容，解決有關(guān)抽象函數(shù)的問(wèn)題需要具備數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。對(duì)于抽象函數(shù)問(wèn)題，學(xué)生常常感到無(wú)從下手，文章針對(duì)學(xué)生的解題難點(diǎn)，從2024年九省聯(lián)考數(shù)學(xué)試題第11題入手，從教材處理、性質(zhì)總結(jié)、解法歸納等角度探討抽象函數(shù)的教學(xué)策略。

［關(guān)鍵詞］九省聯(lián)考；抽象函數(shù)；教學(xué)策略

［中圖分類(lèi)號(hào)］" " G633.6" " " " ［文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼］" " A" " " " ［文章編號(hào)］" " 1674-6058（2024）17-0001-03

2024年1月舉行的九省聯(lián)考，對(duì)往后的高考備考產(chǎn)生了巨大的影響。在九省聯(lián)考中，數(shù)學(xué)試題的結(jié)構(gòu)和賦分發(fā)生了巨大的變化，試題內(nèi)容的設(shè)置與考法和以往相比也有很大的不同，雖然以往容易的題更為簡(jiǎn)單，但難題更難了，如解答題最后一題涉及費(fèi)馬小定理與初等數(shù)論。第11題為多選題的壓軸題，考查內(nèi)容為抽象函數(shù)，很多考生無(wú)從下手，這道題設(shè)置巧妙、返璞歸真，著重考查了學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。

一、真題呈現(xiàn)

［題1］（2024年九省聯(lián)考數(shù)學(xué)試題第11題）已知函數(shù)[f（x）]的定義域?yàn)閇R]，若[f（x+y）+f（x）f（y）=4xy]，且[f12≠0]，則（ ）。

A. [f-12=0]

B. [f12=-2]

C.函數(shù)[fx-12]是偶函數(shù)

D. 函數(shù)[fx+12]是減函數(shù)

方法1：賦值法

解：令[x=12]，[y=0]，則有[f12+f12·f（0）=f121+f（0）=0]，又[f12≠0]，故[f（0）=-1]；

令[x=12]，[y=-12]，則有[f12-12+f12f-12=4×12×-12]，即[f（0）+f12f-12=-1]，由[f（0）=-1]，可得[f12f-12=0]，又[f12≠0]，故[f-12=0]；

令[y=-12]，則有[fx-12+fxf-12=4x×-12]，即[fx-12=-2x]，故函數(shù)[fx-12]是奇函數(shù)。

有[fx+1-12=-2（x+1）=-2x-2]， 即[fx+12=-2x-2]，∴函數(shù)[fx+12]為減函數(shù)，由[fx-12=-2x]，令[x=1]，有[f12=-2×1=-2]。故選項(xiàng)ABD正確。

解后反思：本題避開(kāi)了抽象函數(shù)試題中常見(jiàn)的奇偶性、周期性問(wèn)題，返璞歸真地考查了學(xué)生對(duì)函數(shù)符號(hào)語(yǔ)言的理解。由A、B兩個(gè)選項(xiàng)可聯(lián)想到本題的關(guān)鍵解法——賦值法，令[x=12]，[y=0]，代入題目所給的抽象函數(shù)關(guān)系式中，結(jié)合題意可得[f（0）=-1]，由此打開(kāi)解題突破口。

方法2：構(gòu)造函數(shù)法

解：由[f（x+y）+f（x）f（y）=4xy]可知[f（x）]解析式中應(yīng)該沒(méi)有指數(shù)、對(duì)數(shù)以及三角函數(shù)的結(jié)構(gòu)，那么[f（x）]應(yīng)該是多項(xiàng)式，再由[f（x）f（y）]以及[4xy]可猜想[f（x）]應(yīng)該是一次函數(shù)。

設(shè)[f（x）=kx+b]，由[f（x+y）+f（x）f（y）=4xy?] [k（x+y）+b+（kx+b）（ky+b）=4xy]，整理得[k2xy+（kb+k）（x+y）+b2+b=4xy?k2=4]，[kb+k=0]，[b2+b=0]，

由[b2+b=0?b=0]或[b=-1]，

當(dāng)[b=0]時(shí)，由[kb+k=0?k=0]，則[f（x）=0]，與條件[f12≠0]矛盾，則[b=-1]，[k=±2]，當(dāng)[k=2]時(shí)，[f（x）=2x-1]，則[f12=0]，與條件[f12≠0]矛盾，∴[b=-1]，[k=-2]，即[f（x）=-2x-1]，由此可判斷選項(xiàng)ABD正確。

解后反思：觀察題目所給抽象函數(shù)的條件關(guān)系可知，由于存在[4xy]， 函數(shù)[f（x）]基本上就只能為多項(xiàng)式函數(shù)，其他的函數(shù)形式很難出現(xiàn)這樣的項(xiàng)。同時(shí)，關(guān)系式的左側(cè)有[f（x）f（y）]，顯然這個(gè)多項(xiàng)式函數(shù)應(yīng)該是一次的，否則等號(hào)左右變量的次數(shù)就不一致了?；谝陨显颍覀兛梢岳么ㄏ禂?shù)法求函數(shù)的解析式，然后再進(jìn)一步分析問(wèn)題。

二、教學(xué)策略

學(xué)生之所以感覺(jué)抽象函數(shù)問(wèn)題難，主要是因?yàn)閷?duì)函數(shù)性質(zhì)不熟，邏輯推理能力不強(qiáng)，解題策略匱乏，等等。針對(duì)這些問(wèn)題，我們?cè)诮虒W(xué)中應(yīng)采取有效的教學(xué)策略。

（一）追根溯源，用好教材

不論是舊教材還是新教材，函數(shù)始終是高中數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，而抽象函數(shù)是學(xué)生學(xué)習(xí)函數(shù)知識(shí)的一條重要主線。教材中雖然沒(méi)有明確提出抽象函數(shù)的概念，但會(huì)使用抽象函數(shù)對(duì)定義進(jìn)行敘述或在課后習(xí)題中出現(xiàn)與抽象函數(shù)相關(guān)的問(wèn)題。

新人教A版高中數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)函數(shù)的部分內(nèi)容如下：

1.（第77頁(yè)）一般地，設(shè)函數(shù)[f（x）]的定義域?yàn)閇D]，區(qū)間[I?D]：如果[? x1]，[x2∈I]，當(dāng)[x1lt;x2]時(shí)，都有[f（x1）lt;f（x2）]，那么就稱(chēng)函數(shù)[f（x）]在區(qū)間[I]上單調(diào)遞增[1]。

2.（第81頁(yè)練習(xí)2）設(shè)函數(shù)[f（x）]的定義域?yàn)閇-6，11]，如果[f（x）]在區(qū)間[-6，-2]上單調(diào)遞減，在區(qū)間[-2，11]上單調(diào)遞增，畫(huà)出[f（x）]的一個(gè)大致的圖象，從圖象上可以發(fā)現(xiàn)[f（-2）]是函數(shù)[f（x）]的一個(gè)" " " " " " " [2]。

3.（第87頁(yè)習(xí)題13節(jié)選） 我們知道，函數(shù)[y=fx]的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)圖形的充要條件是函數(shù)[y=f（x）]為奇函數(shù)，有同學(xué)發(fā)現(xiàn)可以將其推廣為：函數(shù)[y=f（x）]的圖象關(guān)于點(diǎn)[P（a，b）]成中心對(duì)稱(chēng)圖形的充要條件是函數(shù)[y=f（x+a）-b]為奇函數(shù)。（2）類(lèi)比上述結(jié)論，寫(xiě)出“函數(shù)[y=f（x）]的圖象關(guān)于[y]軸成軸對(duì)稱(chēng)圖形的充要條件是函數(shù)[y=f（x）]為偶函數(shù)”的一個(gè)推廣結(jié)論[3]。

教師對(duì)這一部分內(nèi)容應(yīng)該給予足夠重視，用以深化學(xué)生對(duì)抽象函數(shù)的理解。首先，在介紹抽象函數(shù)之前，確保學(xué)生對(duì)函數(shù)的基本概念有充分的理解，包括函數(shù)的定義、表示方法（如表達(dá)式、圖象等）、性質(zhì)和分類(lèi)，讓學(xué)生通過(guò)復(fù)習(xí)和鞏固這些函數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)，為理解抽象函數(shù)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。其次，借助實(shí)際問(wèn)題來(lái)引入抽象函數(shù)的概念，幫助學(xué)生理解抽象函數(shù)的應(yīng)用價(jià)值和意義。教師可選擇一些生活中的例子，如溫度與時(shí)間的關(guān)系、汽車(chē)行駛距離與油耗的關(guān)系等，引導(dǎo)學(xué)生從中抽象出函數(shù)模型，理解函數(shù)的本質(zhì)是研究變量之間的關(guān)系。

在教學(xué)中，教師還應(yīng)該強(qiáng)調(diào)抽象函數(shù)的符號(hào)語(yǔ)言（如[f（x）]、[g（x）] 等），讓學(xué)生明白這些符號(hào)代表的是一種對(duì)應(yīng)關(guān)系，而不是具體的數(shù)值。教師可列舉具體的函數(shù)例子（如一次函數(shù)、二次函數(shù)等）來(lái)幫助學(xué)生理解抽象函數(shù)的概念，使學(xué)生通過(guò)比較了解抽象函數(shù)與具體函數(shù)的共同點(diǎn)與不同點(diǎn)，逐步建立起對(duì)抽象函數(shù)的認(rèn)知框架。

在答題訓(xùn)練中，教師可以設(shè)計(jì)一些開(kāi)放性問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)探究式學(xué)習(xí)來(lái)深入理解抽象函數(shù)的本質(zhì)、探索抽象函數(shù)的性質(zhì)。通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生探索抽象函數(shù)的性質(zhì)，如周期性、奇偶性、單調(diào)性等，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力和推理能力。

（二）及時(shí)總結(jié)常用性質(zhì)、結(jié)論

函數(shù)的很多性質(zhì)都是運(yùn)用抽象函數(shù)進(jìn)行表達(dá)的，例如：

1.軸對(duì)稱(chēng)

（1）函數(shù)[y=f（x）]關(guān)于直線[x=a]對(duì)稱(chēng)[?f（x+a）=f（a-x）?f（x）=f（2a-x）?f（-x）=f（2a+x）]

（2）函數(shù)[y=f（x）]關(guān)于直線[x=a+b2]對(duì)稱(chēng)[?f（x+a）=f（b-x）?f（a-x）=f（x+b）]

2.中心對(duì)稱(chēng)

（1）函數(shù)[y=f（x）]關(guān)于點(diǎn)[（a，0）]對(duì)稱(chēng)[?f（x）=-f（2a-x）?f（x+a）=-f（a-x）]

（2）函數(shù)[y=f（x）]關(guān)于點(diǎn)[（a，b）]對(duì)稱(chēng)[?f（-x）+f（2a+x）=2b]

3.函數(shù)的奇偶性和對(duì)稱(chēng)性的關(guān)系

（1）若[f（x+a）]為奇函數(shù)，則[f（x）]關(guān)于[（a，0）]對(duì)稱(chēng)

（2）若[f（x+a）]為偶函數(shù)，則[f（x）]關(guān)于[x=a]對(duì)稱(chēng)

（3）若[f（ωx+φ）]為奇函數(shù)，則[f（x）]關(guān)于[（φ，0）]對(duì)稱(chēng)

（4）若[f（ωx+φ）]為偶函數(shù)，則[f（x）]關(guān)于[x=φ]對(duì)稱(chēng)

這些性質(zhì)能幫助學(xué)生更加清晰地認(rèn)識(shí)到問(wèn)題的本質(zhì)，從而明確解題的方向，有條理地分析問(wèn)題，高效地完成計(jì)算。通過(guò)不斷的練習(xí)和總結(jié)，學(xué)生逐漸掌握抽象函數(shù)問(wèn)題的解題方法和技巧，形成自己的數(shù)學(xué)思維模式。這種思維模式不僅有助于學(xué)生解決當(dāng)前的抽象函數(shù)問(wèn)題，還可以為學(xué)生未來(lái)學(xué)習(xí)和應(yīng)用更高級(jí)的數(shù)學(xué)概念打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

在教學(xué)中，教師應(yīng)當(dāng)及時(shí)給學(xué)生總結(jié)這些性質(zhì)，并通過(guò)舉例、類(lèi)比等方式，讓學(xué)生在獲得直觀感受的同時(shí)，建立起完整的函數(shù)知識(shí)體系。在教學(xué)這些函數(shù)的性質(zhì)時(shí)，教師應(yīng)該清晰、系統(tǒng)地講解每一個(gè)性質(zhì)，并注重講解函數(shù)性質(zhì)之間的內(nèi)在聯(lián)系，確保學(xué)生能夠全面、準(zhǔn)確地理解函數(shù)的性質(zhì)。教師還可以通過(guò)設(shè)計(jì)具體的練習(xí)題、進(jìn)行案例分析等方式，讓學(xué)生在實(shí)踐中加深對(duì)函數(shù)性質(zhì)的理解。同時(shí)，教師要鼓勵(lì)學(xué)生主動(dòng)探索和創(chuàng)新，發(fā)現(xiàn)新的應(yīng)用場(chǎng)景和解題方法，激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新精神和探索欲望。

（三）及時(shí)歸納主要解題方法

1.賦值法

賦值法是研究函數(shù)問(wèn)題的常見(jiàn)方法，也是處理抽象函數(shù)問(wèn)題的重要方法。賦值法可以幫助學(xué)生簡(jiǎn)化問(wèn)題、找出規(guī)律、驗(yàn)證性質(zhì)和確定函數(shù)形式，能起到“投石問(wèn)路”“撥云見(jiàn)日”的作用。常見(jiàn)的賦值法應(yīng)用題型如下：

（1）“賦值法”求抽象函數(shù)的值

技巧：根據(jù)題目的具體情況，合理、巧妙地對(duì)某些變量賦予確定的特殊值（如0，1，-1），從而使問(wèn)題得到簡(jiǎn)捷有效的解決[4]。

［題2］已知函數(shù)[f（x）]對(duì)任意[x，y∈R]都有[f（x+y）=f（x）+f（y）]成立，且[f（2）=4]，則[f（-1）=]（ ）。

A. [-2] B. 1 C. [12] D. 2

解：令[x=y=0]，則有[f（0+0）=f（0）+f（0）]，即[f（0）=0]；令[x=y=1]，則有[f（1）+f（1）=f（1+1）=f（2）=4]，即[f（1）=2]；令[x=-1]，[y=1]，則有[f（-1）+f（1）=f（-1）+1=f（0）=0]，所以[f（-1）=-2]。故選A。

（2）“賦值法”求抽象函數(shù)的解析式

技巧：求抽象函數(shù)的解析式，首先要對(duì)題設(shè)中的有關(guān)參數(shù)進(jìn)行賦值，得到抽象函數(shù)解析式的某種遞推關(guān)系后，再求抽象函數(shù)的解析式[5]。

［題3］設(shè)[f（x）]是[R]上的函數(shù)，對(duì)于任意的實(shí)數(shù)[x，y]都有[f（x+y）=f（x）+y（2x+1）]，且[f（0）=1]，求[f（x）]。

解：由已知條件得[f（0）=1]，又[f（x+y）=f（x）+y（2x+1）]，令[y=-x]，則[f（x-x）=f（x）-x（2x+1）]，所以[f（x）=2x2+x+1]。

（3）“賦值法”探究抽象函數(shù)的奇偶性

技巧：判斷抽象函數(shù)的奇偶性的關(guān)鍵是得到[f（x）]與[f（-x）]的關(guān)系，解題時(shí)要對(duì)有關(guān)變量進(jìn)行賦值，使其最后只保留[f（x）]與[f（-x）]的關(guān)系[6]。

［題4］設(shè)函數(shù)[f（x）]是增函數(shù)，對(duì)于任意[x，y∈R]都有[f（x+y）=f（x）+f（y）]。證明[f（x）]是奇函數(shù)。

證明：對(duì)于任意[x，y∈R]都有[f（x+y）=f（x）+f（y）]，令[x=y=0]，則[f（0）=0]；再令[y=-x]，則[f（x）+f（-x）=f（x-x）=0]，所以[f（-x）=-f（x）]，所以函數(shù)[f（x）]是奇函數(shù)。

2.構(gòu)造函數(shù)模型法

抽象函數(shù)和具體函數(shù)是兩個(gè)相輔相成的概念。抽象函數(shù)強(qiáng)調(diào)的是函數(shù)概念的本質(zhì)，具體函數(shù)是抽象函數(shù)概念的實(shí)例化，抽象函數(shù)源自對(duì)具體函數(shù)的深入理解和抽象提煉。在高中數(shù)學(xué)中，許多抽象函數(shù)往往是基于基本函數(shù)（如一次函數(shù)、二次函數(shù)等），通過(guò)抽象化處理而形成的。在面對(duì)這些抽象函數(shù)問(wèn)題時(shí)，如果能夠從研究它們的“模型”開(kāi)始，利用題目中給出的抽象函數(shù)性質(zhì)，通過(guò)類(lèi)比和猜想，推測(cè)其可能對(duì)應(yīng)的具體函數(shù)類(lèi)型，就能夠?qū)⒊橄髥?wèn)題具體化，將陌生問(wèn)題熟悉化。這樣，常常能幫助我們揭示抽象函數(shù)背后隱藏的重要性質(zhì)，找到解題的突破口。

常見(jiàn)的抽象函數(shù)模型如下：

（1）若[f（x+y）=f（x）+f（y）+b]，則可構(gòu)造[f（x）=kx-b]。特別地，當(dāng)[f（x+y）=f（x）+f（y）]時(shí)，可構(gòu)造[f（x）=kx]。

（2）若[f（x+y）=f（x）+f（y）+2axy-c]，則可構(gòu)造[f（x）=ax2+bx+c]。

（3）若[f（x+y）=f（x）f（y）]，則可構(gòu)造[f（x）=ax]（[agt;0]且[a≠1]）。

（4）若[f（xy）=f（x）+f（y）（xy≠0）]，則可構(gòu)造[f（x）=logax]（[agt;0]且[a≠1]）。

（5）若[f（x+y）+f（x-y）=2f（x）f（y）]，則可構(gòu)造[f（x）=cosωx]。

（6）若[f（x±y）=f（x）±f（y）1?f（x）f（y）]，則可構(gòu)造[f（x）=tanωx]。

抽象函數(shù)的教學(xué)不能見(jiàn)題講題，教師應(yīng)幫助學(xué)生梳理函數(shù)知識(shí)脈絡(luò)，建立函數(shù)知識(shí)體系，讓學(xué)生深刻理解函數(shù)符號(hào)的作用和意義。教師應(yīng)以抽象函數(shù)為載體，回歸教材，通過(guò)強(qiáng)化概念教學(xué)、加強(qiáng)具體化訓(xùn)練等幫助學(xué)生破解抽象函數(shù)問(wèn)題，提升他們的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。

［" "參" "考" "文" "獻(xiàn)" "］

[1][2][3]" 人民教育出版社，課程教材研究所，中學(xué)數(shù)學(xué)課程教材研究開(kāi)發(fā)中心.普通高中教科書(shū) 數(shù)學(xué) 必修 第一冊(cè)[M].北京：人民教育出版社，2019.

[4][5][6]" 馬正清.聚焦抽象函數(shù)問(wèn)題的類(lèi)型與求解方法[J].中學(xué)生數(shù)理化（高一數(shù)學(xué)），2022（10）：40-41.

（責(zé)任編輯 黃春香）