多維聯(lián)想 有序思維 聚焦方向

［摘 要］解題不是方法的簡單堆積，而是發(fā)散思維的呈現(xiàn)，是靈活運(yùn)用知識的體現(xiàn)。解題能勾勒出知識之間的聯(lián)系，深化學(xué)生對數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)識。文章對基于TPACK框架和分層教學(xué)理論的解題教學(xué)進(jìn)行探索，具體從求線段的視角對一道聯(lián)考題分別提出7種解題方法。

［關(guān)鍵詞］TPACK框架；分層教學(xué)理論；解題教學(xué)

［中圖分類號］" " G633.6" " " " ［文獻(xiàn)標(biāo)識碼］" " A" " " " ［文章編號］" " 1674-6058（2024）17-0007-03

在解題教學(xué)中，教師不僅是學(xué)生學(xué)習(xí)活動的參與者和觀察者，還是學(xué)生學(xué)習(xí)活動的管理者。通過管理學(xué)生的學(xué)習(xí)活動，教師可得到學(xué)生的學(xué)情反饋，并不斷完善整個管理系統(tǒng)的分層結(jié)構(gòu)。通過運(yùn)用信息化技術(shù)，教師還可以實現(xiàn)解法分層、作業(yè)分層以及學(xué)生分層合作學(xué)習(xí)等。

基于TPACK框架和分層教學(xué)理論的解題教學(xué)模式如圖1所示。

下面運(yùn)用TPACK框架和分層教學(xué)理論對一道深圳市中考聯(lián)考題進(jìn)行解題教學(xué)探索。

一、試題呈現(xiàn)

如圖2，[∠ABC=∠ADB=90°]，[DA=DB]，[AB]與[CD]交于點[E]，若[BC=2]，[AB=4]，則點[D]到[AC]的距離是（ ）。

A. [556] B. [655]

C. [455] D. [554]

二、試題分析

試題文字量適中，簡潔明了，無生活實際背景，直接考查學(xué)生的幾何分析能力。題目給出的圖形構(gòu)成直觀，由等腰直角三角形和一個已知兩直角邊的直角三角形構(gòu)成。從學(xué)生的解題情況來看，本題不屬于難題，且是以選擇題的形式給出，難度降低了?？偟膩碚f，本題是難得的一道好題，其解題方法多樣，串聯(lián)了許多初中幾何知識，能幫助學(xué)生在更大的視角下整體感知題目的思考和解題方向，使學(xué)生對幾何知識的理解更為深刻，激發(fā)了學(xué)生的發(fā)散性思維。

三、解法分層

根據(jù)題目已知條件，由勾股定理以及等腰三角形的性質(zhì)可得，[AD=BD=22]，[∠DAB=∠DBA=45°]，[AC=25]。如圖3，點[D]到[AC]的距離就是垂線段[DQ]的長度，本題的目標(biāo)就是求線段[DQ]的長度。

從不同的角度來看，線段[DQ]既可以看作[△ADQ]的高，也可以看作[△AQD、△DQC]的邊，因此可以從面積法、全等、相似、三角函數(shù)等方向思考。

【第一層次解法】

解法1：如圖4，過[D]作[DQ⊥] [AC]，垂足為[Q]，過[D]作[DF⊥BC]，交[BC]的延長線于點[F]。由[∠DBF=45°]，[∠ABC=90°]可得[△DFB]為等腰直角三角形，所以[DF=BF=2]。[S四邊形ADBC=S△ADB+S△ABC=12AD·DB+12AB·BC=12AC·DQ+12BC·DF=12×22×22+12×2×4=8]。于是[12AC·DQ=8-12×2×2=6]，所以[DQ=655]。

解法分析：作[△DAC]的高[DQ]，而[AC]的長度已知，如果[△ADC]的面積已知，則[DQ]作為[△ADC]的高可求。四邊形可以看作由兩個直角邊已知的直角三角形拼接而成，它的面積是可求的，也可以看成是由[△ADC]和[△DBC]拼接而成。[△DBC]的面積可以通過以[BC]為底來求，于是延長[BC]，構(gòu)造等腰直角三角形[△DFB]，得到對應(yīng)的高。

解法2：如圖5，取[AB]的中點[G]，連接[CG]，并延長[CG]交[AD]于點[H]，所以[AG=BG=BC=2]，則[△BGC]為等腰直角三角形，所以[CG=DB=22]，[∠DBA=∠BGC=45°]，[∠AGC=∠CBD=135°]，因此[△AGC ]≌[△CBD]，[DB]∥[CH]，且[HG=12DB=2]，又[CD=AC=25]，[CH⊥AD]，于是[S△ACD=12AD·CH=12×22×32=6=12AC·DQ]，所以[DQ=2×6AC=655]。

解法分析：考慮[△DAB]為等腰直角三角形，以及[BC=12AB]，可以取[AB]的中點，構(gòu)造全等三角形，得到[△CDA]為等腰三角形，[DB]∥[CH]，從而求出[CH]的長度，它也是[△CDA]的高，利用等面積法可求出[DQ]的長度。

【第二層次解法】

解法3：如圖6，過D作DQ⊥AC，過[B]作[BJ⊥DQ]，[BK⊥AC]，垂足分別為[Q]、[J]和[K]。在[Rt△ABC]中，[AC=AB2+BC2=42+22=25]。因為[S△ABC=12AB·BC=12BK·AC=4]，所以[BK=455]。在[Rt△BAK]中，[AK=AB2-BK2=855]。易證，四邊形[JBKQ]為矩形，[△DAQ ]≌[△BDJ]，所以[DJ=AQ]，[DQ=BJ=QK]，[JQ=BK=455]。設(shè)[DQ=JB=QK=x]，則[DJ=AQ=x-455]，所以[AK=AQ+QK=x-455+x=855]，所以[DQ=x=655]。

解法分析：[△ADB]為等腰直角三角形，有一組邊相等，可用同角的余角相等，從全等條件分析，可構(gòu)造[△DAQ ]≌[△BDJ]，所以[DQ=BJ]，將未知的量轉(zhuǎn)換為已知量。于是，過[B]作[BK⊥AC]，得到矩形[JBKQ]，這樣[DQ=BJ=QK]，再根據(jù)線段之間的關(guān)系，可求出[DQ]的長度。

解法4：如圖7，過D作DQ⊥AC，垂足為[Q]，過[B]作[BM⊥AC]，垂足為[M]，延長[QA]至點[D']，使得[D'Q=DQ]，延長[MC]至點[B']，使得[MB'=MB]。易得[△D'DQ]和[△BMB']為等腰直角三角形，所以[∠DD'Q=∠BB'M=∠DAB=45°]。由解法3可得，[BM=455]，[AM=855]，所以[AB'=1255]。根據(jù)“三角形內(nèi)角和為180°”和“平角為180°”可得[∠D'DA=∠BAB']，所以[△DD'A ]∽[△AB'B]，所以[DAAB=DD'AB'=22]，所以[DD'=1255×22=6105]，所以[DQ=6105×22=655]。

解法分析：考慮[∠DAB=45°]， 在直線[AC]上構(gòu)造兩個[45°]，利用三角形內(nèi)角和與平角度數(shù)可以得到[△DD'A]與[△AB'B]相似，同時還可以得到[△DD'Q]為等腰直角三角形，利用相似比以及等腰直角三角形的邊的比例關(guān)系可求出[DQ]的長度。

【第三層次解法】

解法5：如圖8，過D作DQ⊥AC，垂足為[Q]，過[D]作[RS]∥[AC]，過[A]作[AR⊥AC]交[RS]于點[R]，過[B]作[BT⊥AC]，延長TB交[RS]于點[S]，交[AC]于點[T]。易得四邊形[RDQA]、四邊形[DQTS]、四邊形[RSTA]均為矩形。因為[∠ADB=∠ARD=∠DSB=90°]，所以[∠RAD+∠RDA=∠RDA+∠BDS=90°]，于是[∠DAR=∠BDS]。又因為[AD=DB]，所以[△ARD ]≌[△DSB]，所以[RD=SB=AQ]，[AR=DQ=ST=DS=QT]。由解法3可得[BT=455]，[AT=855]，設(shè)[DQ=RA=DS=QT=ST=x]，則[SB=AQ=RD=x-455]，所以[AT=AQ+QT=x-455+x=855]，所以[DQ=x=655]。

解法分析：此解法與解法3有相似之處，同樣借助等腰直角三角形的特征，構(gòu)造全等三角形，進(jìn)一步構(gòu)造矩形，得到邊與邊之間的數(shù)量關(guān)系，借助方程思想求出線段[DQ]的長度。

解法6：如圖9，過D作DQ⊥AC，垂足為[Q]，過[B]作[BV⊥] [AC]，垂足為[V]，過[D]作[DX⊥AB]，垂足為[W]，交[AC]于點[X]。因為[△DAB]為等腰直角三角形，所以[DW=AW=BW=2]。又因為[∠ABC=90°]，所以[WX]∥[BC]，所以[WX=12BC=1]，所以[DX=DW+WX=2+1=3]。由解法3可得[AV=855]。因為[∠AQD=∠DWA=90°]，所以[∠BAV=∠XDQ]，所以[△BAV ]∽[△XDQ]，于是[DQAV=DXAB]，因此[DQ=AV·DXAB=855×34=655]。

解法分析：考慮[DQ⊥AC]，利用對頂角相等，作[DX⊥AB]，根據(jù)三角形的內(nèi)角和為[180°]得到[∠BAV=∠XDQ]，從而得到[△BAV ]∽[△QXD]，再利用相似三角形的性質(zhì)可求出線段[DQ]的長度。

解法7：如圖10，過D作DQ⊥AC，垂足為[Q]，將[△DAQ]繞點[D]逆時針旋轉(zhuǎn)[90°]得到[DA1B]，并延長[A1B]，交[AC]于點[Z]，所以[DQ=DA1]，[AQ=A1B]，[∠DQZ=∠QDA1=∠A1=90°]，所以四邊形[DA1ZQ]為正方形。由解法3可得[AZ=855]，[BZ=455]。設(shè)[DQ=DA1=A1Z=QZ=x]，則[A1B=AQ=x-455]，所以[AZ=AQ+QZ=x-455+x=855]，所以[DQ=x=655]。

解法分析：“等腰直角三角形兩腰相等，頂角為[90°]”的特征為[△DAQ]旋轉(zhuǎn)提供了條件，同時也自然地構(gòu)建了正方形，從而得到邊的數(shù)量關(guān)系，借助方程思想可求線段[DQ]的長度。

基于TPACK框架下分層教學(xué)理論的解法分層，是基于圖形特征和題目所給的已知條件得到的，能呈現(xiàn)出學(xué)生能聯(lián)想的點，學(xué)生能由點到面，一步步地解決問題，能在解題中顯現(xiàn)出清晰的解題思路。上述三個層次的解法間存在聯(lián)系（如圖11），加強(qiáng)了知識與知識之間的連接。

四、教學(xué)啟示

（一）縱橫相關(guān)知識，探尋解題思路

基于TPACK框架的解法分層，使得不同層次的學(xué)生，在不同的時間和空間里進(jìn)行獨立學(xué)習(xí)、獨立思考，能夠?qū)W有所獲，提高能力。解題的教學(xué)價值不在于把題目的解題過程完美地呈現(xiàn)，而是在于通過分析題目、探究解題思路，達(dá)到彌補(bǔ)知識缺漏、積累解題經(jīng)驗、發(fā)展數(shù)學(xué)思維、提升核心素養(yǎng)的目的。獲取題目的信息是解答好題目的前提，解題的靈感往往基于某個或者某幾個已知條件，通過聯(lián)想相關(guān)知識點或者作輔助線找到解題的關(guān)鍵點。有的學(xué)生題目沒有讀完就開始做題，抑或是對某些關(guān)鍵的已知條件敏感度不夠，不能聯(lián)想到相關(guān)知識和方法，其結(jié)果或答非所問，或死扣某個已知條件而忽視其他條件導(dǎo)致解題走偏。這就需要教師引導(dǎo)學(xué)生重視讀題，在某些關(guān)鍵的已知條件處提問，強(qiáng)化這些條件的作用，加深學(xué)生對這些條件所引出的相關(guān)知識的理解。

（二）明晰解題策略，提升解題能力

抽象、推理、模型是數(shù)學(xué)基本思想的三個核心要素。數(shù)學(xué)是講邏輯的，因此解題是有方向的。解一道題，需要明晰它是什么類型的問題，明確大的方向 ，再根據(jù)已知條件不斷明晰具體的解題策略。例如，本文用了7種方法求解線段長度問題，從大的方向來說能求線段長度的方法有等面積法、全等、相似、三角函數(shù)、勾股定理，這里7種不同的方法是基于對已知條件不同方向挖掘得到的。在教學(xué)中，教師要注重引導(dǎo)學(xué)生整體把握解題方向，啟發(fā)學(xué)生根據(jù)題目條件思考具體的解題策略，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力；讓學(xué)生通過一題多解構(gòu)建知識之間的聯(lián)系，體會不同的思考方向，在比較中體悟解題方法的合理性，有效掌握解題方法，提升發(fā)散思維能力。

（責(zé)任編輯 黃春香）