馮雪婷

【摘? 要】? 數(shù)學(xué)中的定義與概念是解決問(wèn)題的根本所在，也是破解問(wèn)題最常用的一種樸素策略與重要思想方法．在解決圓錐曲線問(wèn)題中，回歸圓錐曲線的定義實(shí)質(zhì)，綜合已知條件與相關(guān)知識(shí)加以靈活應(yīng)用，實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的創(chuàng)新與應(yīng)用，達(dá)到解決圓錐曲線問(wèn)題的目的，提升解題研究與創(chuàng)新應(yīng)用．

【關(guān)鍵詞】? 高中數(shù)學(xué)；圓錐曲線；解題技巧

波利亞在《怎樣解題》中認(rèn)為：“回到定義上來(lái)是一項(xiàng)重要的思維活動(dòng)，并將這一重要思維活動(dòng)列在解題表的顯著位置加以闡述．”圓錐曲線的定義描述的是對(duì)應(yīng)曲線（橢圓、雙曲線、拋物線等）最本質(zhì)的幾何特征，是解決圓錐曲線問(wèn)題的根本出發(fā)點(diǎn)，更是數(shù)學(xué)新知識(shí)與數(shù)學(xué)新思維的生長(zhǎng)點(diǎn)與創(chuàng)新點(diǎn).特別的，在利用圓錐曲線定義來(lái)分析與解決問(wèn)題，可以使得代數(shù)運(yùn)算簡(jiǎn)化，邏輯推理優(yōu)化．定義法是解答圓錐曲線問(wèn)題的根本方法，是“以退求進(jìn)，以簡(jiǎn)馭繁”策略下的一種解題模式．

1? 抓住圓錐曲線要素切入

曲線要素涉及圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、焦點(diǎn)、頂點(diǎn)、準(zhǔn)線、漸近線等相關(guān)的元素，與對(duì)應(yīng)的曲線方程相聯(lián)系，往往離不開(kāi)圓錐曲線的定義的應(yīng)用與轉(zhuǎn)化．

例1? （2021年高考數(shù)學(xué)新高考Ⅰ卷·14）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線C：的焦點(diǎn)為F，P為C上一點(diǎn)，PF與x軸垂直，Q為x軸上一點(diǎn)，且PQ⊥OP．若，則C的準(zhǔn)線方程為_(kāi)_______．

解析? 通過(guò)數(shù)形結(jié)合，根據(jù)拋物線的定義確定線段PF的長(zhǎng)度，結(jié)合兩垂直關(guān)系的應(yīng)用，確定兩三角形相似，利用相似的性質(zhì)建立線段的比例關(guān)系，進(jìn)而代入并確定參數(shù)p的值，得以求解拋物線的準(zhǔn)線方程．

解? 由題意可得焦點(diǎn)，

準(zhǔn)線方程為：，

如圖1所示，由拋物線定義可知，

由于PF與x軸垂直，且PQ⊥OP，

易得△PFO∽△QFP，

所以有，

即，解得，

所以?huà)佄锞€C的準(zhǔn)線方程為：，

故填答案：．

點(diǎn)評(píng)? 巧妙利用平面幾何知識(shí)，通過(guò)數(shù)形結(jié)合，利用直觀圖形，并抓住拋物線的定義加以應(yīng)用與轉(zhuǎn)化，合理邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算，轉(zhuǎn)化線段的長(zhǎng)度關(guān)系，并通過(guò)三角形相似的判斷與性質(zhì)建立對(duì)應(yīng)的關(guān)系式，從而得以應(yīng)用．

2? 抓住圓錐曲線特征切入

曲線特征涉及圓錐曲線的形狀，主要是橢圓或雙曲線的離心率，線段的比例，動(dòng)點(diǎn)、動(dòng)直線等所對(duì)應(yīng)的定點(diǎn)、定值等，也是圓錐曲線的定義的基本綜合與應(yīng)用．

例2? 已知F1，F(xiàn)2分別是雙曲線C：（，）的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線右支上且不與頂點(diǎn)重合，過(guò)F2作∠F1PF2的角平分線的垂線，垂足為A，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，則該雙曲線的離心率為_(kāi)_______．

分析? 根據(jù)圖形直觀，利用平面圖形中輔助線的構(gòu)建，挖掘圖形中蘊(yùn)含的幾何關(guān)系，結(jié)合平面幾何知識(shí)以及雙曲線的定義得以確定相關(guān)線段的長(zhǎng)度，進(jìn)而構(gòu)建參數(shù)之間的關(guān)系，結(jié)合雙曲線的離心率公式來(lái)分析與求解．

解析? 如圖2所示，延長(zhǎng)F2A，交PF1于點(diǎn)B，

由題意可知，△PBA≌△PF2A，

則有，

結(jié)合雙曲線的定義，可得，

又因?yàn)辄c(diǎn)A是BF2的中點(diǎn)，

可得，

從而可得，

所以該雙曲線的離心率，

故填答案：．

點(diǎn)評(píng)? 抓住圓錐曲線的圖形特征，以及平面幾何圖形的特征性質(zhì)，通過(guò)圖形直觀，并結(jié)合圓錐曲線的定義來(lái)轉(zhuǎn)化與應(yīng)用，合理構(gòu)建對(duì)應(yīng)平面幾何圖形并結(jié)合相關(guān)的圖形特征加以分析與處理．

3? 抓住圖形特征切入

圓錐曲線上對(duì)應(yīng)的平面幾何圖形（往往是三角形、四邊形等）的面積、角度、距離等相關(guān)問(wèn)題，經(jīng)常要借助圓錐曲線的定義加以應(yīng)用．

例3? （2021年高考數(shù)學(xué)全國(guó)甲卷）已知F1，F(xiàn)2為橢圓C：的兩個(gè)焦點(diǎn)，P，Q為C上關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn)，且，則四邊形PF1QF2的面積為_(kāi)_______．

解析? 先根據(jù)四邊形的結(jié)構(gòu)特征判定四邊形PF1QF2的形狀為矩形，結(jié)合矩形的幾何性質(zhì)，并綜合利用橢圓定義以及平面幾何知識(shí)來(lái)建立相應(yīng)的關(guān)系式，綜合數(shù)學(xué)運(yùn)算與邏輯推理來(lái)分析與應(yīng)用．

解? 依題可得，結(jié)合題設(shè)條件可知四邊形PF1QF2為矩形，

設(shè)，

由橢圓的定義可得，

兩邊同時(shí)平方可得，

利用勾股定理有，

結(jié)合以上關(guān)于m，n的兩式，整理可得，

所以四邊形PF1QF2的面積為，

故填：8．

點(diǎn)評(píng)? 綜合利用圓錐曲線的定義，結(jié)合對(duì)應(yīng)線段的長(zhǎng)度來(lái)合理構(gòu)建對(duì)應(yīng)的關(guān)系式，為進(jìn)一步解決圓錐曲線上對(duì)應(yīng)的平面幾何圖形的幾何特征與性質(zhì)提供條件．破解的關(guān)鍵是將平面幾何圖形的對(duì)應(yīng)邊或角的元素與圓錐曲線上的相關(guān)元素加以聯(lián)系，進(jìn)而構(gòu)建關(guān)系，產(chǎn)生聯(lián)系．

4? 結(jié)語(yǔ)

借助圓錐曲線的定義是解決圓錐曲線的綜合應(yīng)用問(wèn)題中常用的一種基本技巧方法，回歸圓錐曲線的定義本源，借助定義先行，合理構(gòu)建與定義相關(guān)的關(guān)系式，為進(jìn)一步的分析與應(yīng)用奠定基礎(chǔ)．回歸數(shù)學(xué)問(wèn)題的定義，追溯數(shù)學(xué)問(wèn)題的本源，讓概念走下“神壇”，這是我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要節(jié)點(diǎn)．巧妙靈活利用數(shù)學(xué)中的相關(guān)定義，直達(dá)問(wèn)題本質(zhì)，往往可以?xún)?yōu)化解題過(guò)程，提升解題效益，從而化繁為簡(jiǎn)、化難為易，達(dá)到事半功倍的良好效果，全面提升數(shù)學(xué)能力與數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．