【摘? 要】? 對(duì)2022年高考數(shù)學(xué)試卷中的集合、常用邏輯用語、復(fù)數(shù)試題進(jìn)行分析，發(fā)現(xiàn)其題型、分值、難度、考點(diǎn)都比較穩(wěn)定，試題注重基礎(chǔ)且比較常規(guī)，適度綜合并創(chuàng)新.通過對(duì)試題的分析，優(yōu)化解題策略，為今后的高考備考復(fù)習(xí)提供參考.

【關(guān)鍵詞】? 高中數(shù)學(xué)；集合；復(fù)數(shù)；解題教學(xué)

2022年全國各地高考，除了北京市、上海市、天津市和浙江省采用自主命題，其他地區(qū)均采用全國卷.在高考試卷中都對(duì)集合、常用邏輯用語、復(fù)數(shù)進(jìn)行了考查.與往年相比沒有太大的變化，在題型、分值、難度、考點(diǎn)、題量上都相對(duì)穩(wěn)定.

為了在備考復(fù)習(xí)中能夠更好地掌握集合、常用邏輯用語、復(fù)數(shù)的知識(shí)點(diǎn)，提高復(fù)習(xí)效率，本文通過對(duì)2022年高考試卷中相關(guān)內(nèi)容進(jìn)行分析與研究，從中歸納與總結(jié)了本部分內(nèi)容的試題特點(diǎn)、解題方法，為今后的高考備考復(fù)習(xí)提供參考.

1? 試題分析

綜觀2022年高考數(shù)學(xué)集合、常用邏輯用語、復(fù)數(shù)試題，題型結(jié)構(gòu)與考點(diǎn)分布情況如下表1所示.

從試卷的結(jié)構(gòu)來看，2022年高考數(shù)學(xué)對(duì)集合、常用邏輯用語、復(fù)數(shù)的試題仍以單選題為主，只有天津卷和上海卷有填空題.這三部分內(nèi)容的考查試題注重對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能和基本數(shù)學(xué)思想的考查，符合《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》（以下簡(jiǎn)稱《標(biāo)準(zhǔn)》）的要求，體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).因此，在今后的高考備考復(fù)習(xí)中應(yīng)以歷年的高考題作為參考，不必過多的加深和走偏.

2? 試題解法分析

1? 集合

（1）集合的基本運(yùn)算

集合的基本運(yùn)算是高考的一個(gè)常考內(nèi)容.《標(biāo)準(zhǔn)》的要求為：理解兩個(gè)集合的并集與交集的含義，能求兩個(gè)集合的并集與交集；理解在給定集合中一個(gè)子集的補(bǔ)集的含義，能求給定子集的補(bǔ)集；能使用Venn圖表達(dá)集合的基本關(guān)系與基本運(yùn)算，體會(huì)圖形對(duì)理解抽象概念的作用.

例1? （全國乙卷·文1）集合，，則（? ?）

（A）0? ? （B）0? ? ?（C）0? ? （D）0

分析? 可以先在數(shù)軸上表示出集合，再根據(jù)數(shù)集找出其公共部分，從而得到集合的交集；也可以通過元素與集合之間的關(guān)系，對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行排除得到答案；還可以通過交集的定義，先列舉出集合中的整數(shù)，再利用Venn圖找出其公共元素.

解法1? 利用數(shù)軸，由交集的定義，得.

解法2? 由交集的定義，中的元素既屬于，也屬于，所以可以判斷6，8，10都不屬于可排除（B）（C）與（D），從而確定答案為（A）.

解法3? 集合中的元素為整數(shù)的有0，1，2，4，5，利用Venn圖可得.故選（A）.

評(píng)析? 本題主要考查集合的交集運(yùn)算，考查學(xué)生對(duì)交集定義的理解及運(yùn)算分析能力，屬于基礎(chǔ)題，涉及到的核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)運(yùn)算.

例2? （全國新高考Ⅰ卷·1）若集合，，則（? ?）

（A）.? ?（B）.

（C）.? ?（D）.

分析? 先通過求解根式不等式和一元一次不等式化簡(jiǎn)集合的表示，然后在數(shù)軸上表示出集合，并找出其公共部分，從而得到集合的交集.也可以通過元素與集合之間的關(guān)系，對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行排除得到答案.

解? 解不等式，

得；

解不等式，

得

解法1

利用數(shù)軸，由交集的定義，

得.

解法2? 由交集的定義，中的元素既屬于，也屬于，所以判斷0不屬于排隊(duì)A；由既屬于，也屬于排除B與C，從而確定答案為D.

故選（D）.

評(píng)析? 本題主要考查集合的交集運(yùn)算以及根式不等式和一元一次不等式的求解，屬于基礎(chǔ)題；考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力和數(shù)形結(jié)合的分析能力.

例3? （全國甲卷·理3）設(shè)全集，集合，，則（? ?）

（A）.? ? （B）.? ? ?（C）.? ? ?（D）.

分析? 先解一元二次方程化簡(jiǎn)集合，然后利用Venn圖，利用集合混合運(yùn)算的性質(zhì)求解即可.

解? 解方程，

得，

故

解法1? 由Venn圖可得，.

解法2? 根據(jù)混合運(yùn)算律，

先求出與，

故.

解法3? 利用并集與補(bǔ)集的定義及元素與集合的關(guān)系，由排除選項(xiàng)A與B；由排除選項(xiàng)（C）；從而確定答案為（D）.

故選（D）.

評(píng)析? 本題主要考查集合的并集與補(bǔ)集的混合運(yùn)算及一元二次方程的求解，屬于基礎(chǔ)題；考查學(xué)生對(duì)集合的并集與補(bǔ)集定義的理解及Venn圖、混合運(yùn)算性質(zhì)的正確使用，體現(xiàn)了學(xué)生對(duì)轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法運(yùn)用及數(shù)形結(jié)合的分析能力.

在2022年高考中考查集合的基本運(yùn)算的考點(diǎn)還有全國甲卷文科第1題、全國新高考Ⅱ卷第1題、北京卷第1題、浙江卷第1題、天津卷第1題、上海卷第13題.對(duì)于這類問題，題干中的兩個(gè)集合用描述法（或列舉法）給出了變量的范圍求其交集、并集、補(bǔ)集的運(yùn)算.如果集合中的元素是連續(xù)范圍的實(shí)數(shù)，常用數(shù)軸來表示，則要注意區(qū)間的端點(diǎn)是否可??；如果集合中的元素是離散范圍的，常用Venn圖來求解.如果集合中的元素是離散范圍與連續(xù)范圍的相互運(yùn)算，則要注意其運(yùn)算特征：如果求集合的交集，其結(jié)果一定是離散的，可以用列舉法來求解，也可以利用元素與集合的關(guān)系采用排除選項(xiàng)的方法確定；如果是求集合的并集與補(bǔ)集，則采用數(shù)軸來求解.

例4? （全國甲卷·文1）設(shè)全集，，則（? ?）

（A）.? ? （B）.? ? ?（C）.? ? （D）.

答案：（A）.

例5? （全國新高考Ⅱ卷·1）? 已知集合，例3? 則（? ?）

（A）.? ? （B）.? ? ?（C）.? ? ?（D）.

答案：（B）.

例3? （北京卷·1）已知全集，集合，則（? ? ）

（A）? ?（B）? ?（C）? ? （D）

答案：D.

例6? （浙江卷·1）設(shè)集合，，則（? ?）

（A）.? ? （B）.? ? ?（C）.? ? ?（D）.

答案：（D）.

例7? （天津卷·1）設(shè)集合，，，則（? ?）

答案：.

例8? （上海卷·13）設(shè)集合，，則（? ?）

（A）.? ? （B） .? ? ?（C） .? ? ?（D）.

答案：（B）.

（2）? 集合的概念與表示、集合間的基本關(guān)系

集合的概念與表示、集合間的基本關(guān)系也是一個(gè)?？純?nèi)容.《標(biāo)準(zhǔn)》的要求為：了解集合的含義，理解元素與集合的屬于關(guān)系；能在自然語言和圖形語言的基礎(chǔ)上，用符號(hào)語言刻畫集合；在具體情境中，了解全集與空集的含義；理解集合之間包含與相等的含義，能識(shí)別給定集合的子集.

例9? （全國乙卷·理1）設(shè)全集，集合滿足，則（? ?）

（A）.? ?（B）.? ? （C）.? ? （D）.

分析? 根據(jù)補(bǔ)集的定義利用Venn圖寫出集合，再利用元素與集合的關(guān)系確定答案.

解? 由Veen圖可得，故選（A）.

評(píng)析本題主要考查了元素與集合的關(guān)系、補(bǔ)集的定義與應(yīng)用問題，屬于基礎(chǔ)題．考查學(xué)生對(duì)元素與集合的關(guān)系的理解、Venn圖的運(yùn)用，以及學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng).

2? 常用邏輯用語

常用邏輯用語是數(shù)學(xué)語言的重要組成部分，是數(shù)學(xué)表達(dá)和交流的工具，是邏輯思維的基本語言.用常用邏輯用語表達(dá)數(shù)學(xué)對(duì)象、進(jìn)行數(shù)學(xué)推理，體會(huì)常用邏輯用語在表述數(shù)學(xué)內(nèi)容和論證數(shù)學(xué)結(jié)論中的作用，提高交流的嚴(yán)謹(jǐn)性與準(zhǔn)確性.《標(biāo)準(zhǔn)》的要求為：理解必要條件的意義及性質(zhì)定理與必要條件的關(guān)系；理解充分條件的意義及判定定理與充分條件的關(guān)系；理解充要條件的意義及理解數(shù)學(xué)定義與充要條件的關(guān)系；理解全稱量詞與存在量詞的意義及能正確使用全稱量詞命題與存在量詞命題的否定.

2022年高考中常用邏輯用語部分的考點(diǎn)只有浙江卷、北京卷和天津考查了充分條件和必要條件的概念，且與三角函數(shù)、數(shù)列、不等式等知識(shí)點(diǎn)相結(jié)合命題.

例10? （浙江卷·4）設(shè)，則“”是“”的（? ?）

（A）充分不必要條件.? ? ? ? （B）必要不充分條件.

（C）充分必要條件.? ? ? ? ? （D）既不充分也不必要條件.

分析? 利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系及充要條件的定義判斷即可．

解? 由可知，

當(dāng)時(shí)，可得，

即由“”，可推得“”；

而由“”m可得，解得，

故不能推出“”，

故可知“”是“”的充分不必要條件．

故選（A）.

評(píng)析? 本題考查充分條件、必要條件、充要條件的判斷與三角函數(shù)間的基本關(guān)系的綜合應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化與化歸的求解能力與邏輯推理能力.

例11? （北京卷·6）設(shè)是公差不為0的無窮等差數(shù)列，則“為遞增數(shù)列”是“存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，”的（? ?）

（A）充分而不必要條件. （B）必要而不充分條件.

（C）充分必要條件. （D）既不充分也不必要條件.

分析? 根據(jù)等差數(shù)列的定義與性質(zhì)，結(jié)合充分必要條件的定義，判斷即可．

解? 因?yàn)閿?shù)列是公差不為0的無窮等差數(shù)列，當(dāng)為遞增數(shù)列時(shí)，公差，

令，

解得，表示取整函數(shù)，

所以存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，，充分性成立；

當(dāng)時(shí)，，，則，必要性成立；

故是充分必要條件．

故選（C）.

評(píng)析? 本題考查了等差數(shù)列與充分必要條件的綜合應(yīng)用問題，屬于基礎(chǔ)題．考查學(xué)生的運(yùn)算求解與邏輯推理能力.

例12? （天津卷·2）“為整數(shù)”是“為整數(shù)”的（? ?）

（A）充分不必要條件.? ? ? ? （B）必要不充分條件.

（C）充分必要條件.? ? ? ? ? （D）既不充分也不必要條件.

分析? 利用充要條件的定義判斷即可．

解? 當(dāng)為整數(shù)時(shí)，可得為整數(shù)，

即由“為整數(shù)”可推得“為整數(shù)”；

而取時(shí)“為整數(shù)”，此時(shí)為整數(shù)不成立.

故不能推出“為整數(shù)”，

故可知“為整數(shù)”是“為整數(shù)”的充分不必要條件．

故選（A）.

評(píng)析? 本題考查充分條件、必要條件、充要條件的判斷的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．考查了數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)為邏輯推理.

3? 復(fù)數(shù)

復(fù)數(shù)的考點(diǎn)在高考中屬于基礎(chǔ)題，每卷必考.《標(biāo)準(zhǔn)》的要求為：復(fù)數(shù)的概念、理解復(fù)數(shù)的代數(shù)表示及其幾何意義，理解兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的含義；掌握復(fù)數(shù)代數(shù)表示式的四則運(yùn)算，了解復(fù)數(shù)加、減運(yùn)算的幾何意義.

（1）復(fù)數(shù)的概念.

例12? （全國乙卷·理2）已知，且，其中為實(shí)數(shù)，則（? ?）

（A）.? ?（B）.? ?（C）.? ?（D）.

分析? 根據(jù)復(fù)數(shù)與共軛復(fù)數(shù)的定義及復(fù)數(shù)的運(yùn)算化簡(jiǎn)，再利用復(fù)數(shù)相等列方程求出、的值．

解? 因?yàn)椋?/p>

且，

所以，

所以，

解得，．

故選（A）.

評(píng)析? 本題考查了復(fù)數(shù)與共軛復(fù)數(shù)的定義、復(fù)數(shù)的運(yùn)算以及復(fù)數(shù)相等的應(yīng)用問題，屬于基礎(chǔ)題．

（2）復(fù)數(shù)的運(yùn)算

例13? （全國新高考Ⅰ卷·2）若，則（? ?）

（A）.? ? ? （B）.? ? ? （C）.? ? ? ? （D）.

分析? 把已知等式變形，利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)，求出，再利用共軛復(fù)數(shù)的概念求出，最后求出．

解法1? 設(shè)，

因?yàn)椋?/p>

所以，

根據(jù)復(fù)數(shù)相等的定義，解得，

所以，則，

所以．

解法2? 由，

得，

所以，則，

所以．

故選（）．

評(píng)析? 本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算（重點(diǎn)要注意），考查共軛復(fù)數(shù)的概念，屬于基礎(chǔ)題．

例14? （全國甲卷·文3）若，則（? ?）

（A）.? ? ? （B）.? ? ? （C）.? ? ? ?（D）.

分析? 利用共軛復(fù)數(shù)的概念及復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算先求出，再利用復(fù)數(shù)模的公式求出．

解? 因?yàn)椋?/p>

所以，

則．

故選（）．

點(diǎn)評(píng)? 本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的模（復(fù)數(shù)的模為）等基礎(chǔ)知識(shí)，考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．

綜觀2022年全國各地高考題，都沒有考查復(fù)數(shù)的幾何意義的題目.而考查復(fù)數(shù)的概念和運(yùn)算的還有全國新高考Ⅱ卷第2題、全國甲卷理科第1題、全國乙卷文科第2題、浙江卷第2題、天津卷第10題、北京卷第2題和上海卷第1題.

例15? （全國新高考Ⅱ卷·2）（? ?）

（A）.? ? （B）.? ? ? ?（C）.? ? ?（D）.

答案：（D）.

例16? （全國甲卷·理1）若，則（? ?）

（A）.? ? （B）.? ? ? ?（C）.? ? ?（D）.

答案：（C）.

例17? （全國乙卷·文2）設(shè)其中為實(shí)數(shù)，則（? ?）

（A）.? ? （B）.? ? ?（C）.? ? ?（D）.

答案：（A）.

例18? （浙江卷·1）已知，（為虛數(shù)單位），則（? ?）

（A）.? ?（B）.? ?（C）.? ?（D） .

答案：（B）.

例19? （天津卷·10）是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)? ? ?.

答案：.

例20? （北京卷·2）若復(fù)數(shù)滿足，則（? ?）

（A）.? ? ? （B）.? ? ? （C）.? ? ? ? （D）.

答案：（B）.

例20? （上海卷·1）已知復(fù)數(shù)，則? ? ? ? ?.

答案：.

3? 復(fù)習(xí)建議

通過對(duì)2022年全國各地高考試題中的集合、常用邏輯用語與復(fù)數(shù)試題的命題分析，總結(jié)今后在高考備考復(fù)習(xí)中應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：

3.1? 集合復(fù)習(xí)策略

（1）近幾年的高考試卷中經(jīng)常把集合與不等式綜合命題，因此在復(fù)習(xí)中不僅要加強(qiáng)對(duì)集合概念的理解的同時(shí)也要注重對(duì)解一元一次不等式、一元二次不等式、根式不等式、分式不等式以、絕對(duì)值不等式、一元二次方程的訓(xùn)練.

（2）集合的考點(diǎn)有三個(gè)部分：集合的概念與表示方法、集合間的基本關(guān)系、集合的基本運(yùn)算.其中試題以直接考查集合的基本運(yùn)算為主，對(duì)于另兩個(gè)考點(diǎn)的考查比較隱性且常與其它知識(shí)融合在一起或僅在求解過程中體現(xiàn)；考查學(xué)生應(yīng)知、應(yīng)會(huì)的內(nèi)容.因此在復(fù)習(xí)中應(yīng)注重對(duì)學(xué)生的思維過程、數(shù)學(xué)運(yùn)算以及分析能力的培養(yǎng).

（3）利用描述法（或列舉法）給出了變量的范圍求其交集、并集、補(bǔ)集的運(yùn)算.如果集合中的元素是連續(xù)范圍的實(shí)數(shù)，常用數(shù)軸來表示，則要注意區(qū)間的端點(diǎn)是否可??；如果集合中的元素是離散范圍的，常用Venn圖來求解.如果集合中的元素是離散范圍與連續(xù)范圍的相互運(yùn)算，一定要注意其運(yùn)算特征：如果求集合的交集，其結(jié)果一定是離散范圍的，可以用列舉法來求解，也可以利用元素與集合的關(guān)系采用排除法來確定選項(xiàng)；如果是求集合的并集與補(bǔ)集，則采用數(shù)軸來求解.

3.2? 常用邏輯用語復(fù)習(xí)策略

常用邏輯用語的考查比較多的是充分條件與必要條件概念的應(yīng)用，常與其它知識(shí)相結(jié)合，從難度上看一般屬于中低難度.因此在復(fù)習(xí)中應(yīng)要求學(xué)生對(duì)概念做到能夠準(zhǔn)確表達(dá)并理解，正確進(jìn)行邏輯推理，與其他知識(shí)的融會(huì)貫通.

3.3? 復(fù)數(shù)復(fù)習(xí)策略

復(fù)數(shù)作為一類重要的運(yùn)算對(duì)象，主要考查復(fù)數(shù)的概念、復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算和復(fù)數(shù)的表示方法及幾何意義，考查要求比較低.因此在復(fù)習(xí)中應(yīng)夯基礎(chǔ)知識(shí)，以歷年的高考題為參考，控制好運(yùn)算難度，適當(dāng)?shù)倪M(jìn)行練習(xí)，達(dá)到對(duì)知識(shí)的靈活應(yīng)用.

4? 試題解法欣賞

例21 （全國新高考Ⅰ卷·17）記為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，是公差為的等差數(shù)列．

（1）求的通項(xiàng)公式；

（2）證明：．

分析? （1）直接利用利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與數(shù)列的遞推關(guān)系式的應(yīng)用求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）利用（1）的結(jié)論，利用裂項(xiàng)相消法的應(yīng)用求出數(shù)列的和，再利用放縮法的應(yīng)用求出結(jié)果．

解? （1）解法1? 已知，是公差為的等差數(shù)列，

所以，

整理得，①，

故當(dāng)時(shí)，，②，

①②得：，

故，

化簡(jiǎn)得：，，，，；

所以，

故．

經(jīng)檢驗(yàn)，也符合上式，

所以 ．

解法2? 令，

易得，，

又因?yàn)椋?/p>

代入上式得，

即，

遞推得

將代入，

得

經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)時(shí)也滿足上式，

所以

經(jīng)檢驗(yàn)，也符合上式，

所以 ．

證明：（2）由于，

所以，

所以．

評(píng)析? 本題主要考查的等差數(shù)列求通項(xiàng)公式、利用數(shù)列的遞推關(guān)系式求數(shù)列的通項(xiàng)公式、數(shù)列的求和，裂項(xiàng)相消法在數(shù)列求和中的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于中檔題．涉及到數(shù)學(xué)學(xué)科的核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理.

參考文獻(xiàn)

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作者簡(jiǎn)介：吳偉雄（1978-），男，中學(xué)高級(jí)教師，深圳市羅湖區(qū)學(xué)科名師，主要從事高中數(shù)學(xué)教育教學(xué)研究.

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