劉亞敏

【摘? 要】? 本文基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)對“等比數(shù)列的前n項(xiàng)和”進(jìn)行單元教學(xué)設(shè)計，主要包括單元內(nèi)容及其解析、教學(xué)目標(biāo)及其解析、單元教學(xué)問題診斷分析、單元教學(xué)支持條件分析，同時給出“等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式”的課時教學(xué)過程設(shè)計.在課堂教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)、提出并解決問題，讓學(xué)生構(gòu)建整體認(rèn)知結(jié)構(gòu)，提升數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng).

【關(guān)鍵詞】? 核心素養(yǎng)；單元教學(xué)；等比數(shù)列

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》實(shí)施建議中提到教師“不僅關(guān)注每一節(jié)的教學(xué)目標(biāo)，更要關(guān)注主題、單元的教學(xué)目標(biāo)，明晰這些目標(biāo)對實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)發(fā)展的貢獻(xiàn)”.單元教學(xué)設(shè)計就是教師根據(jù)學(xué)生現(xiàn)有的知識，對教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行有機(jī)的重組和優(yōu)化，作出一個整體的構(gòu)思，讓學(xué)生從宏觀上構(gòu)建條理清晰、層次分明的知識結(jié)構(gòu)與思維框架，有利于學(xué)生在潛移默化中落實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

1? 單元內(nèi)容及其解析

1.1? 內(nèi)容

等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)和應(yīng)用.本單元教學(xué)建議用2課時：第1課時，等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)；第2課時，等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用.

1.2? 內(nèi)容解析

從在教材中的地位與作用來看，等比數(shù)列的前n項(xiàng)和是等比數(shù)列的又一重要性質(zhì)，是進(jìn)一步認(rèn)識等比數(shù)列的函數(shù)特性的又一重要角色，是體會數(shù)學(xué)整體性的又一重要載體.等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式是數(shù)列單元中的重點(diǎn)內(nèi)容.教科書在公式的推導(dǎo)中，采用了“分類討論法”和“錯位相減法”.“錯位相減法”源于對等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的觀察和分析，利用了等比數(shù)列的定義，沒有用到等比數(shù)列的其他性質(zhì).等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式不僅在現(xiàn)實(shí)生活中有著廣泛的實(shí)際應(yīng)用，如銀行儲蓄、分期付款、資產(chǎn)折舊、病毒傳播、元素衰變、人口增長等實(shí)際問題的有關(guān)計算等等，而且公式推導(dǎo)過程中所滲透的類比、化歸、分類討論、方程和函數(shù)等思想方法，都是學(xué)生今后學(xué)習(xí)和工作中必備的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

基于以上分析，確定本單元的教學(xué)重點(diǎn)：等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)及其應(yīng)用.

2? 單元目標(biāo)及其解析

2.1? 目標(biāo)

（1）了解等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式產(chǎn)生的背景；

（2）推導(dǎo)并掌握等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式；

（3）在具體的問題情境中，能運(yùn)用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式解決一些簡單的數(shù)學(xué)問題和實(shí)際問題，提升數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).

2.2? 目標(biāo)解析

達(dá)成上述目標(biāo)的標(biāo)志是：

（1）學(xué)生通過課前自主查閱數(shù)學(xué)史料，了解等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的來龍去脈，感悟特殊與一般的思想，感受前人嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹螌W(xué)精神和數(shù)學(xué)文化的熏陶；

（2）掌握等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的“錯位相減法”以及其他推導(dǎo)方法，能分析等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式的關(guān)系，描述等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的特征以及它與相應(yīng)指數(shù)函數(shù)的關(guān)系；

（3）學(xué)生能在具體的問題情境中，運(yùn)用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式解決相應(yīng)的問題．

3? 單元教學(xué)問題診斷分析

從學(xué)生已有的數(shù)學(xué)思維特點(diǎn)來看，其認(rèn)知基礎(chǔ)是等比數(shù)列的定義與性質(zhì)、數(shù)列求和的一般觀念，以及學(xué)生對特殊數(shù)列求和的研究經(jīng)驗(yàn)等．“錯位相減法”是一種帶有技巧性又便捷的方法.這種方法源于利用等比數(shù)列的定義，并沒有用等比數(shù)列的其他性質(zhì)，故教科書直接讓在的兩邊乘以公比q，得.然后通過消去兩式中的相同項(xiàng)，就得到了等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式.其過程中怎樣讓等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)能夠相對自然地呈現(xiàn)，成為學(xué)生理解公式推導(dǎo)過程的合理性的關(guān)鍵.為了有效突破這一難點(diǎn)，在推導(dǎo)過程中，從特殊到一般的問題情境中，通過觀察分析每項(xiàng)之間的聯(lián)系和規(guī)律，感悟“錯位相減法”的形成過程，從而獲得公式.

4? 單元教學(xué)支持條件分析

4.1? 知識上的支持

教科書借助多媒體引入古印度國際象棋的發(fā)明者向國王提出想要的麥粒作為獎勵的故事，讓學(xué)生經(jīng)歷“分類討論法——錯位相減法”的認(rèn)知過程；也借助實(shí)物投影儀展示學(xué)生的小組合作學(xué)習(xí)成果，讓學(xué)生經(jīng)歷化歸與轉(zhuǎn)化、探索與嘗試、總結(jié)與提煉以及應(yīng)用與深化四個階段，加深學(xué)生對求和公式的認(rèn)知，對推導(dǎo)和應(yīng)用過程的理解，完成本單元的教學(xué)目標(biāo).

4.2? 教學(xué)策略分析

教學(xué)方法：以學(xué)生為主體，采用分組討論、任務(wù)驅(qū)動式教學(xué)，精講精練.

教學(xué)工具：三角板，直尺，多媒體輔助.

4.3? 教學(xué)輔助媒體分析

黑板：板書教學(xué)內(nèi)容、引導(dǎo)學(xué)生一起作圖，重要例題的規(guī)范書寫過程.

多媒體教學(xué)工具：顯示教學(xué)各環(huán)節(jié)，展示問題背景及學(xué)生解答過程、結(jié)果，及時反饋.

5? “等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式”（第2課時）教學(xué)設(shè)計

5.1? 教學(xué)目標(biāo)

在具體的問題情境中，能運(yùn)用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式解決一些簡單的數(shù)學(xué)問題和實(shí)際問題，提升數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng).

5.2? 教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)

重點(diǎn)：等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用.

難點(diǎn)：綜合與靈活運(yùn)用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式.

5.3? 教學(xué)過程設(shè)計

環(huán)節(jié)1? 復(fù)習(xí)公式，簡單應(yīng)用

引導(dǎo)語：同學(xué)們，請利用上節(jié)課學(xué)習(xí)的等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式完成下題：

例如? 已知數(shù)列是等比數(shù)列，若求q與

設(shè)計意圖? 幫助學(xué)生復(fù)習(xí)鞏固等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式，強(qiáng)化方程的思想，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).

環(huán)節(jié)2? 理解公式，靈活運(yùn)用

例10? ?（教科書第38頁）正方形的邊長為，取正方形各邊的中點(diǎn)，作第2個正方形，然后再取正方形各邊的中點(diǎn)，作第3個正方形，依此方法一直繼續(xù)下去.

（1）求從正方形開始，連續(xù)10個正方形的面積之和；

（2）如果這個作圖過程可以一直繼續(xù)下去，那么所有這些正方形的面積之和將趨近于多少？

問題1? 請問第2個正方形的面積和第1個正方形的面積有什么關(guān)系？第3個和第2個呢？

師生活動? 構(gòu)建一個數(shù)列使其各項(xiàng)分別表示第1個到第n個的面積數(shù)，然后分析推理出，

問題2? 由這個規(guī)律我們可以直接得出嗎？

師生活動? 舉例讓學(xué)生明白這種歸納的方法不嚴(yán)謹(jǐn)，比如，某班1號同學(xué)是男生，2號同學(xué)是男生，3號同學(xué)是男生…則這個班的同學(xué)都是男生.

問題3? 那我們應(yīng)該怎樣尋找任意兩個相鄰的正方形的邊長之間的關(guān)系呢？

師生活動? 設(shè)第k個正方形的邊長為m，則第個正方形的邊長為，則? ，? ?即可得出，從而得出是一個以25為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，然后再用等比數(shù)列求和公式算出.

設(shè)計意圖? 引導(dǎo)學(xué)生在實(shí)際情境問題中抽象出等比數(shù)列，并能對此數(shù)列進(jìn)行推理論證，而后運(yùn)用等比數(shù)列求和公式求解.

環(huán)節(jié)3? 鞏固內(nèi)化，綜合運(yùn)用

例1? （教科書第38頁）去年某地產(chǎn)生的生活垃圾為20萬噸，其中14萬噸垃圾以填埋方式處理，6萬噸垃圾以環(huán)保方式處理．預(yù)計每年生活垃圾的總量遞增5%，同時，通過環(huán)保方式處理的垃圾量每年增加1.5萬噸．為了確定處理生活垃圾的預(yù)算，請寫出從今年起n年內(nèi)通過填埋方式處理的垃圾總量的計算公式，并計算從今年起5年內(nèi)通過填埋方式處理的垃圾總量（精確到0.1萬噸）.

問題4? 每年生活垃圾的總量之間有什么關(guān)系？通過環(huán)保方式處理的垃圾量之間有什么關(guān)系？

師生活動? 從實(shí)例中抽象出數(shù)列的概念，構(gòu)造數(shù)列模型，可知每年生活垃圾的總量構(gòu)成等比數(shù)列，而每年以環(huán)保方式處理的垃圾量構(gòu)成等差數(shù)列.

問題5? 我們應(yīng)該怎樣進(jìn)行模型構(gòu)建呢？

師生活動? 設(shè)從今年起每年的生活垃圾總量構(gòu)成數(shù)列，每年以環(huán)保方式處理的垃圾量構(gòu)成數(shù)列，n年內(nèi)通過填埋方式處理的垃圾總量為.

問題6? 怎樣確定數(shù)列所對應(yīng)的首項(xiàng)和公差或者公比呢？

師生活動? 構(gòu)造數(shù)列后要先確定基本量，比如此題等比數(shù)列中的首項(xiàng)是取20，還是取，公比q是，等比數(shù)列的公差d為1.5，但首項(xiàng)是取6還是取呢？寫通項(xiàng)時這些都要考慮清楚.

設(shè)計意圖? 此題是等差數(shù)列與等比數(shù)列合并的一個綜合題，因此求和時要作分組求和的處理.這個計算方法在教科書第40頁習(xí)題4.3的第3題中的（1）中也進(jìn)行了考查，前一節(jié)的課后練習(xí)有做知識方法鋪墊.

例2? （教科書第39頁）某牧場今年初牛的存欄數(shù)為1200，預(yù)計以后每年存欄數(shù)的增長率為8%，且在每年年底賣出100頭牛．設(shè)牧場從今年起每年年初的計劃存欄數(shù)依次為

（1）寫出一個遞推公式，表示 與之間的關(guān)系；

（2）（2）將（1）中的遞推公式表示成的形式，其中? 為常數(shù)；

（3）（3）求的值（精確到1）.

問題7? 請問和是什么關(guān)系？和呢？

師生活動? 引導(dǎo)學(xué)生從具體的問題情境中抽象出和之間的遞推規(guī)律，從而得到①，然后根據(jù)待定系數(shù)法得，設(shè)，則就是一個首項(xiàng)為，公比q為1.08的等比數(shù)列.設(shè)的前n項(xiàng)的和為，則，后面再根據(jù)分組來解決問題.

設(shè)計意圖? 強(qiáng)化學(xué)生的能力要求，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力.

環(huán)節(jié)4? 目標(biāo)檢測，檢驗(yàn)效果

目標(biāo)檢測? 教科書第40頁練習(xí)1，2.

設(shè)計意圖? 檢測學(xué)生對材料的閱讀理解能力、提取有關(guān)信息并建立數(shù)列模型的能力，綜合運(yùn)用數(shù)列的相關(guān)知識分析和解決實(shí)際問題的能力.

環(huán)節(jié)5? 小結(jié)提升，形成結(jié)構(gòu)

教師引導(dǎo)學(xué)生回顧本單元的學(xué)習(xí)內(nèi)容，并回答下列問題：

（1）概述本單元知識發(fā)生發(fā)展過程的基本脈絡(luò).

（2）等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)過程是怎樣的？其中蘊(yùn)含了什么思想方法？

（3）我們是如何探討等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的？分了哪幾個應(yīng)用層次？其中用到了哪些數(shù)學(xué)方法？

設(shè)計意圖? （1）使學(xué)生逐步掌握公式學(xué)習(xí)的基本路徑，加深知識形成過程的印象.

（2）回顧在公式推導(dǎo)過程中涉及的“分類討論”“錯位相減法”，幫助學(xué)生靈活選擇運(yùn)用.

（3）落實(shí)抽象概念、推理論證、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的培養(yǎng).

6? 教學(xué)反思

6.1? 學(xué)生所需具體的能力

對學(xué)生的能力要求有：（1）抽象概括能力，能在具體的問題情境中，抽象出具有遞推規(guī)律事物的數(shù)學(xué)關(guān)系；（2）數(shù)學(xué)建模能力，能根據(jù)遞推關(guān)系建立合適的數(shù)列模型；（3）邏輯推理能力，建立數(shù)列模型后能證明有關(guān)命題，并能有條理地表達(dá)；（4）數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，能合理運(yùn)用常用的代數(shù)變換手段，簡化復(fù)雜的數(shù)式運(yùn)算從而求得結(jié)果.

6.2? 教師需要做的鋪墊

冰凍三尺非一日之寒，對學(xué)生而言這些關(guān)鍵能力不是一天兩天能夠快速提高到哪個程度，需要教師循序漸進(jìn)地引導(dǎo)學(xué)生不斷理解、加強(qiáng)、鞏固、提高和掌握的.教學(xué)中提前準(zhǔn)備小專題將數(shù)列求和問題劃歸為錯位相減法，裂項(xiàng)求和法，分組求和法，構(gòu)造新數(shù)列法等方法求解的問題一一突破，也需要一些帶有探索性、存在性、開放性等方面的問題.

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