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      一題多解,發(fā)散思維,多解歸一,能力升華

      2024-01-12 09:09:47何偉
      數(shù)理天地(初中版) 2024年1期
      關(guān)鍵詞:化歸思想一題多解發(fā)散思維

      何偉

      【摘要】“解題就是把要解題轉(zhuǎn)化為已經(jīng)解過的題”.數(shù)學(xué)的解題過程,就是從未知向已知、從復(fù)雜到簡單的化歸轉(zhuǎn)換過程A化歸思想方法的特點是具有靈活性和多樣性,在應(yīng)用化歸思想方法去解決數(shù)學(xué)問題時,沒有一個統(tǒng)一的模式去進行,它可以在數(shù)與數(shù)、形與形、數(shù)與形之間進行轉(zhuǎn)換,它可以在宏觀上進行等價轉(zhuǎn)化,如在分析和解決實際問題的過程中,普通語言向數(shù)學(xué)語言的翻譯;消去法、換元法、數(shù)形結(jié)合法、求值求范圍問題等等,都體現(xiàn)了化歸思想.

      【關(guān)鍵詞】一題多解;發(fā)散思維;化歸思想

      經(jīng)典例題? 如圖0,在△ABC中,CD⊥AB,交于點D,點E在邊BC上,AE交CD于點F,若CD=AB=AE,求證:AF=CF+BD.

      方法1? 構(gòu)造全等三角形

      證明? 如圖1,作AG⊥AB,BG⊥BC,交于G點,連接CG,交AE于H點,易證:△CDB≌△BAG,AG∥CD,△CBG為等腰直角三角形,BD=AG;

      設(shè)∠BCD=α,∠ABE=90°-α=∠AEB,∠HCF=45°-α,∠AEC=90°+α,∠CHF=45°-α,

      △CFH為等腰三角形,所以CF=HF

      易證:AH=AG,所以BD=AH所以AF=AH+HF=BD+CF.

      方法2? 構(gòu)造旁心圓

      證明? 如圖2,作∠BAE的角平分線,由B作AB的垂線,兩線相交于G點,由G作CD的垂線與CD交于H點,因為AB=AE, 所以AG⊥BE,∠BAG=90°-∠ABC=∠DCB,又AB=CD,所以Rt△BAG≌Rt△DCB,所以GB=BD=GH,所以G在∠CDB的角平分線上,即G為△ADF的旁心,AB、DF均與⊙G相切,因為AE=AB,所以E為⊙G切點,所以DF=DH+HF=BD+EF,

      即AE=AB=CD=DF+CF=BD+EF+CF,因為AE=AF+EF,所以AF=CF+BD.

      方法3? 三角比計算

      證明? 如圖3,作AG⊥BE,交BD于G點,設(shè)CD=AB=AE=1,BD=x,角α,β見圖上標(biāo)注,

      易得:tanα=1x,tanβ=x,

      tan∠FAD=tan2β=2x1-x2,

      在Rt△ADF中,DF=2x1+x,

      AF=1+x21+x,CF=1-DF=1-x1+x

      則CF+BD=1-x1+x+x=1+x21+x,所以AF=CF+BD.

      方法4? 構(gòu)造正方形

      證明? 如圖4,作∠BAE的角平分線,由B作AB的垂線,兩線相交于G點,連接GE、FG,

      作CH⊥BG,交點H,則四邊形ABHK為正方形.

      所以AK=AE=AB,所以ABHK為正方形,所以AB=BH.

      因為AB=AE,AG平分∠EAB,易證:∠AEG=90°.

      易證:△ABG≌△BHC,所以CH=BG=EG=BD.

      作CJ∥FG,CJ與GH交于J,所以CF=JG,F(xiàn)G=CJ.

      因為EG=CH,F(xiàn)G=CJ,∠FEG=∠CHJ=90°所以△EFG≌△HJC,所以EF=HJ.

      因為AB=BH=AE,所以AF+EF=JH+BG+CJ,所以AF=BD+CF.

      方法5? 構(gòu)造相似三角形

      證明? 如圖5,延長FA到G,使得AG=AD,過F作FH⊥AF,交GD于H,

      設(shè)∠AGD=∠ADG=α,

      則∠FAD=2α,∠DFH=2α,∠FHD=90°-α,∠FDH=90°-α,∠ABE=90°-α,∠BCD=α,

      易得:△BCD∽△HGF,

      所以CDFH=AG+AFFD=AD+AFFD

      所以CD·DF=(AD+AF) ·BDCD·2DF=2(AD+AF) ·BD

      所以CD2+CD(DF-CF)=2(AF+AD)AB2-2AD·BD+CD(DF-CF)=2AF·BD

      所以AD2+DF2+BD2-CF2=2AF·BDAF2+BD2-2AF·BD=CF2

      所以(AF-BD)2=CF2AF=CF+BD

      方法6? 解析法——建立平面直角坐標(biāo)系

      證明? 如圖6,以D點為原點,直線AB為X軸,直線DC為Y軸,建立平面直角坐標(biāo)系.

      不妨設(shè)AB=CD=AE=1,DB=a(a>0),則點B,A,C的坐標(biāo)分別為B(a,0),A(1-a,0),C(0,1),作AH⊥BC,交BC于H點,

      因為AE=AB,所以H為BE中點,且AH⊥BC,因為kBC=-1a,所以kAH=a.

      可得直線AH的方程為:y=ax+a(a-1),因為直線BC的方程為:y=-1ax+1.

      聯(lián)系方程組可得點H坐標(biāo)為

      H(-a3+a2+aa2+1,2a2-aa2+1).

      因為H為線段EB的中點,可得點E的坐標(biāo)為E(-3a3+2a2+aa2+1,4a2-2aa2+1).

      從而可得直線AE的方程為:

      y=2a-a2+1x+2a(a2+a-2)(a2+1)(a+1).

      因為直線AE交Y軸于點F,可得點F的坐標(biāo)為F0,2a(a2+a-2)(a2+1)(a+1).

      由兩點間距離公式可得:

      AF=a3-a2+3a-1a2+1,

      CF=-a2+2a+1a2+1,BD=a,

      計算可得:AF=CF+BD.

      典型應(yīng)用? 一題多解是幾何學(xué)習(xí)過程中不斷提升思維能力的有效手段,針對同一個問題,用不同的思考方式,體會上不同方法之間的融會貫通,在個性中尋找共性,以解決類似的幾何問題打下堅實的基礎(chǔ),在應(yīng)用的過程中,我們要針對具體問題,要合理選擇最適合的證明方法,下面提供兩道例題,本文僅選用一種較為簡潔的證明方法,其他方法留給讀者自信完成.

      例題1? 如圖1.1,已知:正方形12中,12分別在12上,12于12,求證:12.反之,若12.

      解答? 如圖1.1,延長CB至H,使BH=DF,連結(jié)AH,則△AHB≌△AFD,∠HAF=∠BAD=90°,∠HAF=90°-45°=45°,又AH=AF,AE=AE,故△AHE≌△AFE,AB、AG為其對應(yīng)邊上的高,于是AG=AB.

      反之,若AG=AB,則RT△ABE≌RT△AGE,∠EAG=∠BAE,同理∠FAG=∠DAF,于是∠EAF=12∠BAD=45°.

      例題2? 如圖2.1,已知:△ABC中,∠A=45°,AD⊥BC于D,BD=3、CD=2.求:AD.

      解答? 如圖2.2,由題意知AD⊥BC,則∠ADB=∠ADC=90°,翻折直角△ABD到△ABE,翻折直角△ADC到△AFC,延長EB、FC,交于點G.

      由翻折的對稱性得:∠BAD=∠BAE=∠1,∠CAF=∠CAD=∠2,AE=AF,因為∠A=45°,則2∠1+∠2=90°=∠EAF,又∠AEB=∠AFC=90°,所以四邊形AEGF為正方形,設(shè)正方形邊長為x;在Rt△BCG中,x-22+x-32=52,解得:x=6或-1(舍),所以AD=6.

      結(jié)語

      面對抽象的平面幾何問題,可以用轉(zhuǎn)化和化歸思想進行問題轉(zhuǎn)化,應(yīng)用全等、相似、三角比、圓等工具,將抽象問題具體化,復(fù)雜問題簡單化,從而順利解決問題.通過建立平面直角坐標(biāo)系,充分運用代數(shù)計算方法進行化歸,將幾何問題代數(shù)化,從而解決抽象的幾何難題.充分理解不同解題方法的深層原理和數(shù)學(xué)思想,直線與方程思想,數(shù)形結(jié)合思想,轉(zhuǎn)化與化歸思想, 特殊與一般的思想.敢于發(fā)散思維,大膽嘗試獨特的解題思路,并在運用過程中根據(jù)題目的實際需要,對方法進行合理有據(jù)的轉(zhuǎn)化,使之能夠正確、合理的完成對題目的簡潔性解答.

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