姜夢(mèng)潔　劉冰楠

[摘? 要] 條件多余試題以往被認(rèn)為是不當(dāng)命題，但如今一些試題有意創(chuàng)設(shè)多余條件，摒棄解題套路，這符合素養(yǎng)立意的命題原則. 文章以2022年各地中考數(shù)學(xué)試題為例，分析其中幾道典型的條件多余試題，這些試題的條件看似“多余”，實(shí)際承載著不可忽視的育人價(jià)值，教師在相關(guān)教學(xué)與命題中應(yīng)注重：豐富情境創(chuàng)設(shè)，踐行學(xué)科德育;構(gòu)造一題多解，培養(yǎng)高階思維;創(chuàng)新試題形式，關(guān)注數(shù)學(xué)本質(zhì).

[關(guān)鍵詞] 中考數(shù)學(xué);條件多余;試題命制

研究背景

數(shù)學(xué)試題中的已知條件并非解題的充要條件，刪去某條件仍可解題，此類題稱為條件多余試題. 這類試題在過(guò)去往往被認(rèn)為命題不嚴(yán)謹(jǐn)、命題失誤而不應(yīng)出現(xiàn)，但如今初中數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)水平考試中卻開(kāi)始出現(xiàn)形式多樣、立意豐富的條件多余試題，引發(fā)大家對(duì)條件多余試題進(jìn)行再認(rèn)識(shí). 《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡(jiǎn)稱《課標(biāo)》）指出，學(xué)業(yè)水平考試的命題原則是“堅(jiān)持素養(yǎng)立意，凸顯育人導(dǎo)向”[1]. 中考試題命制對(duì)于開(kāi)展與評(píng)價(jià)教學(xué)具有重要的作用，而一些條件多余試題創(chuàng)新性地打破常規(guī)，更有利于綜合考查學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng). 下面以2022年部分省市的中考數(shù)學(xué)試題為例，分析其多余條件的創(chuàng)設(shè)，為教師教學(xué)與試題命制提供思路與參考.

對(duì)條件多余試題進(jìn)行分析

1. 情境中的多余條件

為創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境而提供的、與解題無(wú)關(guān)的條件為情境中的多余條件. 此類多余條件往往用于描述現(xiàn)實(shí)生活中的具體數(shù)據(jù)或數(shù)量關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)學(xué)的視角認(rèn)識(shí)現(xiàn)實(shí)世界，同時(shí)彰顯數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值.

例1? （2022年北京中考）截至2021年12月31日，長(zhǎng)江干流六座梯級(jí)水電站全年累積發(fā)電量達(dá)2628.83億千瓦·時(shí)，相當(dāng)于減排二氧化碳約2.2億噸. 將數(shù)據(jù)262883000000用科學(xué)記數(shù)法表示，應(yīng)為（? ）

A. 26.2883×1010

B. 2.62883×1011

C. 2.62883×1012

D. 0.262883×1012

解答? 262883000000用科學(xué)記數(shù)法表示，應(yīng)該為2.62883×1011，故選B.

評(píng)析? 本題考查科學(xué)記數(shù)法，能檢測(cè)學(xué)生的運(yùn)算能力與應(yīng)用意識(shí). 題干中“相當(dāng)于減排二氧化碳約2.2億噸”是與解題無(wú)關(guān)的多余條件，但減排量的可觀數(shù)據(jù)能帶給學(xué)生數(shù)量上的震撼沖擊，能讓學(xué)生體會(huì)到轉(zhuǎn)變生活生產(chǎn)方式對(duì)環(huán)境保護(hù)的作用，能讓學(xué)生增強(qiáng)環(huán)保意識(shí)，樹(shù)立可持續(xù)發(fā)展觀念，能發(fā)揮數(shù)學(xué)學(xué)科問(wèn)題情境的育人價(jià)值，達(dá)到生態(tài)文明教育的目的.

2. 解題中的多余條件

能用于解題，但刪去后仍可用其他方法解題的條件為試題的多余條件. 此類多余條件既拓寬了知識(shí)的考查范圍，又為學(xué)生提供了一題多解的可能性，能促進(jìn)學(xué)生高階思維的發(fā)展.

例2? （2022年山西中考）首屆全民閱讀大會(huì)于2022年4月23日在北京開(kāi)幕，大會(huì)主題是“閱讀新時(shí)代·奮進(jìn)新征程”. 某?！熬C合與實(shí)踐”小組為了了解全校3600名學(xué)生的讀書(shū)情況，隨機(jī)抽取部分學(xué)生進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，形成了如表1所示的調(diào)查報(bào)告（不完整）.

請(qǐng)根據(jù)以上調(diào)查報(bào)告，解答下列問(wèn)題：

（1）求參與本次抽樣調(diào)查的學(xué)生人數(shù)及這些學(xué)生中選擇“從圖書(shū)館借閱”的人數(shù);

（2）估計(jì)該校3600名學(xué)生中，平均每周閱讀課外書(shū)時(shí)間在“8小時(shí)及以上”的人數(shù);

（3）該小組要根據(jù)以上調(diào)查報(bào)告在全班進(jìn)行交流，假如你是小組成員，請(qǐng)結(jié)合以上兩項(xiàng)調(diào)查數(shù)據(jù)分別寫(xiě)出一條你獲取的信息.

解答? （1）先求參與本次抽樣調(diào)查的學(xué)生總?cè)藬?shù)，再根據(jù)“從圖書(shū)館借閱”的人數(shù)比例求出“從圖書(shū)館借閱”的人數(shù)，其中求參與本次抽樣調(diào)查的學(xué)生總?cè)藬?shù)的方法不唯一，有如下兩種方法. 方法一，觀察條形統(tǒng)計(jì)圖，將單選A，B，C，D四項(xiàng)的人數(shù)相加，即得參與本次抽樣調(diào)查的學(xué)生總?cè)藬?shù)，即96+48+123+33=300（名）. 方法二，觀察條形統(tǒng)計(jì)圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖，單選A選項(xiàng)的96人對(duì)應(yīng)參與調(diào)查總數(shù)的32%，即參與本次抽樣調(diào)查的學(xué)生總?cè)藬?shù)為96÷32%=300（名）（從單選B、C、D選項(xiàng)的人數(shù)和占比入手，算法相同）. 這些學(xué)生中選擇“從圖書(shū)館借閱”的有300×62%=186（名）.

（2）本題方法不唯一. 方法一，利用條形統(tǒng)計(jì)圖，可得3600×=1152（名）. 方法二，利用扇形統(tǒng)計(jì)圖，可得3600×32%=1152（名）.

（3）略

評(píng)析? 本題為抽樣與數(shù)據(jù)分析，重點(diǎn)考查學(xué)生的數(shù)據(jù)觀念、幾何直觀與應(yīng)用意識(shí). 題中扇形統(tǒng)計(jì)圖多余，去除該條件仍可解題，此處保留該條件作用有二：其一，提供多種解法，降低計(jì)算量與解題難度;其二，考查內(nèi)容覆蓋面增加，兩種解法相較之下條形統(tǒng)計(jì)圖便于獨(dú)立體現(xiàn)各組具體數(shù)值，扇形統(tǒng)計(jì)圖更有利于反映整體與部分的關(guān)系，兩種統(tǒng)計(jì)圖同時(shí)呈現(xiàn)有利于加深學(xué)生對(duì)兩種統(tǒng)計(jì)圖各自優(yōu)劣及轉(zhuǎn)換的理解. 且選擇不同統(tǒng)計(jì)圖進(jìn)行解題，也是理性思維、優(yōu)化策略的體現(xiàn)，能將解題過(guò)程的思維層次從低階的“記憶—理解—應(yīng)用”引向高階的“分析—評(píng)價(jià)—?jiǎng)?chuàng)造”.

例3（2022年重慶中考）用正方形按如圖1所示的規(guī)律拼圖案，其中第①個(gè)圖案中有5個(gè)正方形，第②個(gè)圖案中有9個(gè)正方形，第③個(gè)圖案中有13個(gè)正方形，第④個(gè)圖案中有17個(gè)正方形……按此規(guī)律排列下去，則第⑨個(gè)圖案中正方形的個(gè)數(shù)為（? ）

方形的個(gè)數(shù)為37，故選C. 方法二，觀察數(shù)字特征，前4個(gè)圖案中正方形的個(gè)數(shù)分別為5，9，13，17，后一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差均為4，于是第一項(xiàng)為1+1×4=5，第二項(xiàng)為1+2×4=9，第三項(xiàng)為1+3×4=13，第四項(xiàng)為1+4×4=17. 不難發(fā)現(xiàn)第n項(xiàng)應(yīng)為1+n×4=4n+1. 于是第9項(xiàng)為1+9×4=37，即第⑨個(gè)圖案中有37個(gè)正方形，答案為C.

評(píng)析本題為規(guī)律探索類問(wèn)題，考查學(xué)生的抽象能力、運(yùn)算能力、幾何直觀與推理能力. 題干實(shí)際上給出了反映同一遞進(jìn)規(guī)律的圖案變化與數(shù)字變化兩個(gè)條件，學(xué)生任擇其一即可解題，因此條件多余. 但如此命題，一方面是兩個(gè)均可單獨(dú)解題的條件啟示學(xué)生有兩種解題思路，并提供驗(yàn)算方案，能幫助學(xué)生提高正確率;另一方面，若將兩個(gè)條件結(jié)合，不難發(fā)現(xiàn)“后一個(gè)圖案在前一個(gè)圖案的基礎(chǔ)上增加[◇

◇]”，正方形的個(gè)數(shù)增加了4，即“后一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差為4”，因此根據(jù)圖案變化更容易直觀地找到數(shù)字遞進(jìn)關(guān)系，從而降低解題難度. 同時(shí)，試題蘊(yùn)含以形載數(shù)、以數(shù)解形的數(shù)形結(jié)合思想，能為高中等差數(shù)列的學(xué)習(xí)做鋪墊.

3. 判斷多余條件

在試題中給出多個(gè)可供選擇的條件，由學(xué)生判斷與篩選能否用于解決特定問(wèn)題，此類試題為判斷多余條件試題. 此類試題往往以選擇題的形式呈現(xiàn)，將學(xué)生視角由解題轉(zhuǎn)向命題，從結(jié)論出發(fā)逆向思考，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)選擇能力.

例4（2022年成都中考）如圖2所示，在△ABC和△DEF中，A，E，B，D四點(diǎn)在同一條直線上，AC∥DF，AC=DF，只添加一個(gè)條件，能判定△ABC≌△DEF的是（? ? ）

A. BC=DE? ?? ? ? ? B. AE=DB

C. ∠A=∠DEF? ?D. ∠ABC=∠D

[圖2][B][D][C][E][A][F]

解答由AC∥DF，得∠A=∠D，要判定△ABC≌△DEF，目前已知一角及其一邊對(duì)應(yīng)相等，則只需構(gòu)造該角的另一邊或其余任一角對(duì)應(yīng)相等即可. 對(duì)于選項(xiàng)A，BC與DE并非相等角的另一邊，排除;對(duì)于選項(xiàng)B，AE=DB，于是AE+EB=DB+EB，即AB=DE，結(jié)合已知條件符合“邊角邊”判定定理，所以選項(xiàng)B符合題意;對(duì)于選項(xiàng)C和選項(xiàng)D，∠A與∠DEF，∠ABC與∠D均不是對(duì)應(yīng)角，排除. 故此題的答案為B.

評(píng)析本題依托三角形全等的證明，重點(diǎn)考查幾何直觀與推理能力. 證明全等，除題干中的已有條件，學(xué)生還要從選項(xiàng)中找出可使用的條件，所以學(xué)生需要判斷多余條件，篩選出證明所需的有效條件. 這種解決問(wèn)題的思維過(guò)程恰如在現(xiàn)實(shí)世界中解決實(shí)際問(wèn)題，其條件的出現(xiàn)形式與常規(guī)數(shù)學(xué)題不同，需要學(xué)生主動(dòng)識(shí)別并明辨. 本題為學(xué)生提供了從結(jié)論出發(fā)的解題思路，有利于提升學(xué)生的逆向思維能力.

對(duì)條件多余試題命制的思考

基于以上試題分析，可見(jiàn)多余條件有時(shí)看似“多余”，實(shí)則承載著不可忽視的育人價(jià)值，現(xiàn)對(duì)條件多余試題的命制提出以下建議.

1. 豐富情境創(chuàng)設(shè)，踐行學(xué)科德育

《課標(biāo)》指出，試題命制應(yīng)根據(jù)考查意圖，結(jié)合學(xué)生認(rèn)知水平和生活經(jīng)驗(yàn)，設(shè)置合理的生活情境、數(shù)學(xué)情境、科學(xué)情境，適當(dāng)引入數(shù)學(xué)文化[1]. 問(wèn)題情境拉近了數(shù)學(xué)與學(xué)生已有知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)的距離，激發(fā)了學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣和動(dòng)機(jī)[2]. 事實(shí)上，優(yōu)質(zhì)的試題情境在引發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)思考的同時(shí)，能寓德育于其中，凸顯核心素養(yǎng)的育人導(dǎo)向.

將包含具體數(shù)據(jù)或數(shù)量關(guān)系的德育素材作為多余條件融入問(wèn)題情境，能很好地發(fā)揮數(shù)學(xué)學(xué)科德育的特色，符合《中小學(xué)德育工作指南》“將德育內(nèi)容有機(jī)融入各門(mén)課程教學(xué)中[3]”的要求. 一方面，諸如生態(tài)文明、社會(huì)發(fā)展等素材取自貼近學(xué)生生活的客觀現(xiàn)實(shí)，具有現(xiàn)實(shí)意義，能培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界、用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界、用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界. 另一方面，結(jié)合具體數(shù)據(jù)或數(shù)量關(guān)系的客觀現(xiàn)實(shí)更具說(shuō)服力，能更好地實(shí)現(xiàn)德育功能，同時(shí)能培養(yǎng)學(xué)生理性分析問(wèn)題、尊重客觀事實(shí)的思維品質(zhì). 教師在解題或新授課教學(xué)中，都應(yīng)關(guān)注問(wèn)題情境的創(chuàng)設(shè)，融入貼近現(xiàn)實(shí)的德育素材，也可以以數(shù)學(xué)文化為背景，適當(dāng)引入數(shù)學(xué)史，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)文化素養(yǎng)，培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)精神.

2. 構(gòu)造一題多解，培養(yǎng)高階思維

一題多解是從不同角度分析問(wèn)題，重組已有信息，通過(guò)多種方法解決問(wèn)題的一種方式，其既能反映解題教學(xué)的一些普遍性現(xiàn)象，又對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的思維具有顯著的效果[4]. 經(jīng)過(guò)精心設(shè)計(jì)的多余條件，能為一題多解提供可能，具有重要的價(jià)值.

其一，多余條件為解題提供了多種思路. 如例2的條形統(tǒng)計(jì)圖與扇形統(tǒng)計(jì)圖、例3中數(shù)與形的應(yīng)用，均有助于建立數(shù)學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系，能讓學(xué)生理解和應(yīng)用數(shù)學(xué)思想方法，提高解決實(shí)際問(wèn)題的能力. 其二，多余條件易引起學(xué)生質(zhì)疑，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)多解，拓展思維，且不同解法各有優(yōu)劣，學(xué)生解題時(shí)經(jīng)歷聯(lián)系與轉(zhuǎn)化、抽象與擴(kuò)展、批判與監(jiān)控[5]的過(guò)程，有助于培養(yǎng)高階數(shù)學(xué)思維. 其三，一些多余條件設(shè)置在統(tǒng)計(jì)與概率題中，如給出全部統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的同時(shí)也給出平均數(shù)，這樣能減少計(jì)算量，符合教育部“科學(xué)合理設(shè)置試卷難度”[6]的要求. 其四，多解能為學(xué)生提供驗(yàn)算方法，而用不同方法驗(yàn)算的過(guò)程是對(duì)試題的再建構(gòu)、對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的再學(xué)習(xí)過(guò)程，能讓學(xué)生在提高答題正確率的同時(shí)，養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣. 教師可專門(mén)設(shè)置以一題多解為主題的習(xí)題課，加強(qiáng)學(xué)生對(duì)一題多解的重視，提升學(xué)生的思維水平.

3. 創(chuàng)新試題形式，關(guān)注數(shù)學(xué)本質(zhì)

常規(guī)題的大量訓(xùn)練使學(xué)生習(xí)慣于使用解題套路，心理產(chǎn)生依賴，基于條件反射習(xí)慣性地將某種固定不變的方法應(yīng)用于處理各式各樣的情況[7]. 但現(xiàn)實(shí)世界中的實(shí)際問(wèn)題往往無(wú)明顯的規(guī)律可循，想將數(shù)學(xué)作為工具解決問(wèn)題，就需要識(shí)別并篩選各種已知條件，排除多余條件后恰當(dāng)處理有用條件，由表及里地正確認(rèn)識(shí)問(wèn)題和解決問(wèn)題. 核心素養(yǎng)導(dǎo)向下的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)還要培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)選擇能力，特別是對(duì)于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的信息，教師要注重提高學(xué)生積極、主動(dòng)、有意識(shí)地做出正確、合理的篩選、吸收和加工的能力[8]. 所以教師平時(shí)應(yīng)命制一些非常規(guī)題型，摒棄解題套路，發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)造性思維.

判斷多余條件就是一種很好的試題形式. 一方面，學(xué)生由解題視角轉(zhuǎn)換為命題視角，能提升學(xué)習(xí)興趣，且能從不同角度建構(gòu)數(shù)學(xué)內(nèi)容，加深對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解. 另一方面，從結(jié)論出發(fā)尋求條件，執(zhí)果索因的分析方法，是推理論證中的一種常用方法，其既能培養(yǎng)學(xué)生的推理能力，又能為高中階段的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ).

結(jié)語(yǔ)

條件多余試題，與以往出現(xiàn)的由于條件互不相容[9]導(dǎo)致的錯(cuò)題（如2011年湛江中考數(shù)學(xué)第27題、2012年恩施中考第23題，均為平面幾何證明題）不同. 2022年中考中以創(chuàng)新性的形式出現(xiàn)的條件多余試題，能拓寬學(xué)生的視野，提高學(xué)生的認(rèn)知能力，增強(qiáng)學(xué)生的應(yīng)用水平，也有助于真正考查素養(yǎng)，改變選拔人才機(jī)制中的高分低能現(xiàn)象，符合《課標(biāo)》中“教學(xué)評(píng)價(jià)維度多元，全面考核和評(píng)價(jià)學(xué)生核心素養(yǎng)的形成和發(fā)展”[1]的要求，值得教師與命題人借鑒、推廣.

參考文獻(xiàn)：

[1]中華人民共和國(guó)教育部. 義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）[M]. 北京：北京師范大學(xué)出版社，2022.

[2]任旭，夏小剛. 問(wèn)題情境的創(chuàng)設(shè)：基于思維發(fā)展的理解[J]. 數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2017，26（04）：15-18.

[3]中華人民共和國(guó)教育部.中小學(xué)德育工作指南[EB/OL]（2017-08-22）[2022-08-08].

[4]程華. 從“一題多解”審思解題教學(xué)的思維培養(yǎng)[J]. 數(shù)學(xué)通報(bào)，2020，59（08）：50-54.

[5]許禮光，沈瓊. 高層次數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)路徑[J]. 數(shù)學(xué)通報(bào)，2019，58（05）：33-36+39.

[6]中華人民共和國(guó)教育部. 關(guān)于做好2022年中考命題工作的通知[EB/OL]（2022-03-29）[2022-08-08].

[7]彭達(dá)浩，李祎.數(shù)學(xué)解題需要套路嗎[J]. 數(shù)學(xué)通報(bào)，2022，61（05）：43-45+51.

[8]張文宇. 初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)選擇能力研究[D]. 濟(jì)南：山東師范大學(xué)，2011.

[9]羅增儒. 數(shù)學(xué)解題學(xué)引論[M]. 西安：陜西師范大學(xué)出版社，2001.

基金項(xiàng)目：2021年度教育部人文社會(huì)科學(xué)研究青年基金項(xiàng)目“建黨百年來(lái)我國(guó)中學(xué)數(shù)學(xué)教科書(shū)學(xué)科德育演變研究”（21XJC880002），云南師范大學(xué)2023年課程思政建設(shè)項(xiàng)目“數(shù)學(xué)史”（00800205020502051）.

作者簡(jiǎn)介：姜夢(mèng)潔（1998—），云南師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院碩士研究生，主要從事數(shù)學(xué)教育研究.

通信簡(jiǎn)介：劉冰楠（1986—），云南師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院副教授，博士，碩士生導(dǎo)師，主要從事數(shù)學(xué)教育研究.