連續(xù)性電液伺服系統(tǒng)位移軌跡的滑模跟蹤控制

鄭 爽, 王峻程, 武俊峰, 祝永濤

(1.黑龍江科技大學(xué) 電氣與控制工程學(xué)院, 哈爾濱 150022; 2.黑龍江龍煤雙鴨山礦業(yè)有限責(zé)任公司, 黑龍江 雙鴨山 155199)

0 引 言

閥控液壓缸系統(tǒng)是液壓控制系統(tǒng)中應(yīng)用較為廣泛的一個分支,其被大量應(yīng)用于國防、航天等領(lǐng)域[1-2]。由于液壓系統(tǒng)中存在液體流動,液壓閥閥口的流量系數(shù)存在一個非線性關(guān)系[3]。

液壓伺服系統(tǒng)是通過油流量的流動產(chǎn)生壓強來帶動液壓閥運動,從而推動活塞桿位移。在液壓閥運動的過程中,往往將輸入電信號與位移信號視為線性關(guān)系。閥芯在零位附近動作時便會面臨著正負間跳動的問題,閥芯的負載壓力增益也將不連續(xù),導(dǎo)致整個系統(tǒng)在閥芯零位附近運動時產(chǎn)生抖振問題[4-6]。另外,液壓閥閥芯運動時,閥芯凸肩會與閥口之間產(chǎn)生間隙,導(dǎo)致通流截面積發(fā)生改變,液壓油的流態(tài)也會隨之從層流狀態(tài)改變?yōu)橥牧鳡顟B(tài)[7]。也就是說,閥芯在零位附近運動時,電信號與位移信號并不是呈線性關(guān)系[8],由于液壓缸自身的泄漏及油流特性,導(dǎo)致液壓缸在零位附近的壓力增益有一定的緩沖。

針對電液伺服系統(tǒng)在閥芯零位附近運動時產(chǎn)生的抖振問題,筆者根據(jù)液壓缸實際工作情況,采用雙曲正切函數(shù)擬合電液伺服系統(tǒng)的壓力靈敏度,根據(jù)液壓閥在零位附近工作時進行泰勒展開,確定雙曲正切函數(shù)的參量和連續(xù)性電液伺服系統(tǒng)方程,結(jié)合滑?？刂品椒?設(shè)計符合實際功率的控制器,以提高活塞桿位移跟蹤精度。

1 連續(xù)性電液伺服系統(tǒng)的改進

1.1 電液伺服系統(tǒng)

電液伺服系統(tǒng)原理,如圖1所示。由上部液壓缸和下部液壓閥組合而成。

圖1 電液伺服系統(tǒng)原理Fig. 1 Schematic of electro-hydraulic servo system

圖中,M為等效總質(zhì)量;B為黏性阻尼系數(shù);K為負載的彈簧剛度;F為作用于活塞桿的任意外負載力;y活塞桿位移值;xv為閥芯位移值;A1為進油腔容積;A2為出油腔容積;P1、P2為液壓缸兩腔壓力;Q1、Q2為液壓缸兩腔流量。

1.2 傳統(tǒng)伺服閥流量方程

電液控制系統(tǒng)的各部分均在同一大氣壓下,不同的控制電流信號驅(qū)動液壓閥閥芯運動時,伺服閥流量方程為

(1)

式中:QS——負載流量;

Cd——流量系數(shù);

w——節(jié)流口面積梯度;

kx——伺服閥增益;

u——控制輸入;

Pg——供油壓力;

Ps——負載壓力。

式(1)描述了典型的四通滑閥的流量與控制輸入之間的關(guān)系,這是目前被普遍認可的流量公式。

1.3 連續(xù)性伺服閥流量方程

在式(1)伺服閥流量方程中,采用符號定義來擬定液壓閥負載壓力的壓力增益函數(shù)。其中符號函數(shù)為

(2)

由式(2)可知,其表達的是階躍函數(shù),根據(jù)不同的應(yīng)用場景,以及所需的不同的精度要求,對符號函數(shù)的導(dǎo)數(shù),將使用近似方法或進行特殊處理來描述其變化。針對這個問題,筆者發(fā)現(xiàn)液壓閥在零位附近動作時,由于制造工藝的缺陷和油流自身特性,使壓力增益不是單純的線性關(guān)系。根據(jù)電液伺服系統(tǒng)的實際工作情況進行函數(shù)擬合,可以得到更加貼合實際的壓力增益函數(shù)為

ks=tan h(λxv)。

(3)

由雙曲正切函數(shù)的斜切率代表的負載壓強差公式為

(4)

電液伺服控制系統(tǒng)中,通常把閥芯位移與控制輸入量近似視為比例環(huán)節(jié)

xv=kxu。

(5)

將式(3)替換式(2)代入到式(1)中,結(jié)合式(5),伺服閥流量方程最終為

(6)

對比式(1)與式(6)可以看出,伺服流量方程中的不連續(xù)符號已經(jīng)被替換成雙曲正切函數(shù)代表的連續(xù)性伺服流量方程。但是對于雙曲正切函數(shù)中的λ值需要進一步驗證,因此先設(shè)定電液伺服系統(tǒng)不處于零位狀態(tài)時,推導(dǎo)伺服閥的三個系數(shù)來求解λ值,流量增益可表示為

(7)

流量壓力系數(shù)可表示為

(8)

伺服液壓閥壓力增益可表示為

(9)

式(7)～(9)是電液伺服系統(tǒng)在非零位附近狀態(tài)下的液壓閥3個系數(shù)表達式[9-10]。若不考慮液壓閥小開口時液體流態(tài)的非線性變化,則可以得到伺服閥在零位附近的3個系數(shù)為

(10)

結(jié)合式(3)和式(10)在電液伺服系統(tǒng)工作在零位附近進行泰勒展開式,將工作點標(biāo)記為A,可以得:

(11)

聯(lián)立式(3)、(10)和(11)可得,λ的近似表達式為

(12)

不同的λ值所對應(yīng)的壓力增益函數(shù)如圖2所示。當(dāng)λ值接近于無窮大時,液壓閥的壓力增益才會與符號函數(shù)相似,由式(12)可知,當(dāng)電液伺服系統(tǒng)的其他參數(shù)固定時,λ將是一個常數(shù)。

圖2 零位附近壓力增益Fig. 2 Pressure gain near zero

由式(12)可知,當(dāng)λ的值確定時,電液伺服系統(tǒng)在零位附近的壓力靈敏度只與液壓閥的位移相關(guān)。由圖2可以看出,當(dāng)λ的值不為無窮大時,壓力增益即使在零位附近依舊連續(xù)。因此連續(xù)性電液伺服系統(tǒng)的伺服閥流量方程可以改寫為

(13)

1.4 液壓缸受力平衡方程

液壓缸中活塞桿做往復(fù)運動時的流量方程可以表示為

(14)

式中:As——活塞有效面積;

V——兩容腔總面積;

βe——有效體積彈性模量;

y——活塞桿位移。

對液壓缸進行整體受力分析,并運用牛頓第二定律將活塞桿運動時的平衡方程為

(15)

式中:m——等效總質(zhì)量;

K——負載的彈簧剛度。

聯(lián)合式(14)、(15)可以表示為

(16)

由式(16)可以得,Ps負載壓力表達式為

(17)

根據(jù)伺服閥流量方程、液壓缸流量連續(xù)性方程和液壓缸平衡方程,即聯(lián)立式(13)～(17)可以得:

(18)

2 滑?？刂破髟O(shè)計

電液伺服系統(tǒng)為非線性數(shù)學(xué)模型,當(dāng)系統(tǒng)中的參量發(fā)生改變時,將極大地影響活塞桿位移跟蹤效果[11-12]。針對這個問題,提出了滑模控制策略來保證系統(tǒng)受到外界干擾或者系統(tǒng)參量發(fā)生改變時,活塞桿位移跟蹤效果良好。

為確?；钊麠U位移跟蹤效果,將活塞桿實際位移與期望軌跡進行對比,得到電液伺服系統(tǒng)位移跟蹤的誤差值為

e=x1d-x1。

(19)

由式(19)可以將伺服液壓系統(tǒng)視為三階系統(tǒng),滑模面可以設(shè)計為

(20)

為了使其他曲線快速靠近S面,則需要設(shè)計滑模控制的趨近律。選用指數(shù)形式的趨近律,其表達式為

(21)

將式(19)代入到式(20)可得:

(22)

聯(lián)合式(21)、(22)可解得:

(23)

由式(23)解得,控制器的表達式為

(24)

3 仿真結(jié)果與分析

在Matlab環(huán)境下,采用腳本形式對液壓伺服系統(tǒng)進行編寫,其中,包括系統(tǒng)的變量、輸入環(huán)節(jié)、控制環(huán)節(jié)和輸出環(huán)節(jié)。通過Simulink對整個系統(tǒng)進行搭建并調(diào)用系統(tǒng)腳本文件,通過示波器模塊觀測期望軌跡、實際軌跡及控制器波形。整體系統(tǒng)模型搭建如圖3所示。

通過修改控制器腳本文件,將傳統(tǒng)伺服液壓系統(tǒng)與連續(xù)型伺服液壓系統(tǒng)進行比較,對比在同一期望軌跡下,兩者產(chǎn)生的位移跟蹤效果,仿真結(jié)果如圖4所示。

圖3 伺服液壓系統(tǒng)模型Fig. 3 Servo hydraulic system model

由圖4可以看出,不論是傳統(tǒng)系統(tǒng)還是連續(xù)性系統(tǒng),都能在極短的時間內(nèi)完成軌跡跟蹤。這說明連續(xù)性系統(tǒng)與傳統(tǒng)的系統(tǒng)具有統(tǒng)一性,也驗證了連續(xù)性系統(tǒng)模型的正確性。

圖4 位移跟蹤軌跡Fig. 4 Displacement tracking trajectory

兩套系統(tǒng)的差異性應(yīng)該表現(xiàn)在系統(tǒng)的抖振問題上,因此對系統(tǒng)的輸出信號進行觀測,結(jié)果如圖5所示。由圖5可見,傳統(tǒng)的控制器輸出波形,由于期望軌跡是周期為20 s的正弦函數(shù),那么控制器輸出波形也類似于周期為20 s的正弦函數(shù)。這也驗證了前文所描述的控制信號與位移信號成比例的推論。

為了驗證系統(tǒng)的抖振問題,放大控制器在10 s左右的輸出波形?？刂破鬏敵霾ㄐ尾辉偈且粭l平滑的曲線,而是一段頻率高達2 kHz的鋸齒波。也正是高頻的鋸齒波信號對活塞桿位移進行高頻的調(diào)節(jié),才使系統(tǒng)位移軌跡跟蹤良好。

圖5 控制器輸出波形Fig. 5 Controller output waveform

實際中,控制器輸入信號很難達到2 kHz頻率以上的信號調(diào)節(jié),往往是輸入信號還未達到最高點便開始遞減,導(dǎo)致控制信號的失真,也是系統(tǒng)產(chǎn)生位移偏差的主要原因。為貼合實際情況下的控制器輸出能力,對控制器模塊的腳本文件進行修改,限制控制器輸出波形的調(diào)節(jié)頻率,再觀測系統(tǒng)的位移跟蹤效果,結(jié)果如圖6所示。

圖6 控制器輸出范圍內(nèi)的位移追蹤Fig. 6 Displacement tracking in controller output range

對比圖5與6可以發(fā)現(xiàn),當(dāng)控制器輸出能力達不到高頻調(diào)節(jié)時,活塞桿的位移跟蹤將產(chǎn)生漂移,得系統(tǒng)的控制精度達不到理想的需求。因此為消除控制器高頻調(diào)節(jié)的問題,采用雙曲正切函數(shù)替換傳統(tǒng)伺服液壓系統(tǒng)的符號函數(shù),使伺服液壓系統(tǒng)即使在零位附近依舊連續(xù)可微。連續(xù)弄液壓閥系統(tǒng)與傳統(tǒng)液壓閥系統(tǒng)的控制器輸出波形對比,如圖7所示。

由圖7可以看出,兩種系統(tǒng)的控制器輸出波形大致重合,可見控制活塞桿做正弦運動時,兩套系統(tǒng)的輸出能力一致。但是若觀測20 s附近的控制器輸出波形可以看出,相對于傳統(tǒng)液壓閥系統(tǒng),連續(xù)型液壓閥系統(tǒng)解決了系統(tǒng)中存在的抖動問題,使液壓閥系統(tǒng)的控制器輸出波形更加平滑。

圖7 連續(xù)型液壓閥對比傳統(tǒng)液壓閥控制器輸出Fig. 7 Continuous hydraulic valve compared with traditional hydraulic valve controller output

連續(xù)型液壓閥系統(tǒng)的優(yōu)越性也體現(xiàn)在控制策略上,兩種系統(tǒng)的滑模面趨近軌跡如圖8所示?；？刂浦饕歉鶕?jù)系統(tǒng)所期望的動態(tài)特性來設(shè)計系統(tǒng)的切換滑模面,通過滑動模態(tài)控制器使系統(tǒng)從滑模面之外向切換滑模面收縮。

圖8 兩者系統(tǒng)的滑模面趨近軌跡Fig. 8 Approaching trajectories of sliding mode surface of two systems

兩種系統(tǒng)都從滑模面之外向著切換滑模面逼近,當(dāng)系統(tǒng)到達切換滑模面時,都能沿著切換滑模面到達系統(tǒng)原點。但是對比兩種系統(tǒng)的控制面可以看出,連續(xù)性系統(tǒng)的控制面比傳統(tǒng)系統(tǒng)的控制面更快與滑?？刂泼嬷睾?并且連續(xù)性系統(tǒng)的控制面不會穿越滑模控制面,連續(xù)性系統(tǒng)的控制面相比于傳統(tǒng)系統(tǒng)控制面更加接近于理想滑模面軌跡,也進一步說明連續(xù)性系統(tǒng)比傳統(tǒng)系統(tǒng)具備更加良好的動態(tài)特性。

4 結(jié) 論

(1)在傳統(tǒng)的電液伺服系統(tǒng)模型基礎(chǔ)上,根據(jù)液壓閥實際工作情況和油流自身特性,給出了連續(xù)性電液伺服模型,減輕了系統(tǒng)在零位附近運動時,活塞桿位移跟蹤的抖振問題。

(2)在滑模控制下,連續(xù)性電液伺服系統(tǒng)的跟蹤效果明顯優(yōu)于傳統(tǒng)模型,控制器的輸出能力也得到一定的緩和,更適合實際情況的控制能力。

(3)電液伺服控制系統(tǒng)是一個復(fù)雜多變性系統(tǒng),單一滑模控制無法將系統(tǒng)指標(biāo)達到理想狀態(tài),因此可以采取多種控制策略相結(jié)合來使整個系統(tǒng)作業(yè)時更加穩(wěn)定、快速和準(zhǔn)確。