基于聲壓系數(shù)變換的分布式球陣方位估計(jì)

范子璇，魏明洋

（1.南京理工大學(xué)電子工程與光電技術(shù)學(xué)院，江蘇 南京 210094；2.中國科學(xué)院聲學(xué)研究所，北京 100190）

0 引 言

傳聲器陣列通過傳感器陣元將聲音振動信號轉(zhuǎn)換成聲音電信號對信號進(jìn)行時(shí)域、頻域、空域的處理，估計(jì)振動聲源的空間方位。其中平面陣列應(yīng)用最廣泛，在時(shí)域利用到達(dá)時(shí)間差（time difference of arrival，TDOA）進(jìn)行定位是常見的做法［1］。而在室外場景（如路口）的目標(biāo)聲源方位估計(jì)中，算法需要較好的全空間指向能力和方位分辨力。球面?zhèn)髀暺麝嚵芯哂腥S對稱結(jié)構(gòu)，對空間任意方向有相同指向性，并能通過球諧波分解實(shí)現(xiàn)高分辨的方位估計(jì)。因而，相比于平面陣列，球面陣更適用于室外場景。

在基于球面陣列的方位估計(jì)算法中，Meyer J等人［2］基于聲場分解提出了球面陣列的波束形成算法，可以在不改變波束形狀的前提下掃描三維空間中任意方向。Sun H等人［3］針對球面聲場提出了陣列響應(yīng)優(yōu)化算法，將陣列加權(quán)向量設(shè)計(jì)問題轉(zhuǎn)化為約束問題。同時(shí)，他提出了基于球諧波域的分布式聲學(xué)傳感器（distributed acoustic sensor，DAS）、最小方差無失真響應(yīng)（minimum variance distortionless response，MVDR）和多重信號分類（multiple signal classification，MUSIC）算法對房間內(nèi)的直達(dá)聲和早期反射聲進(jìn)行方位估計(jì)［4］。Jorgen H［5］提出濾波求和算法，對有限脈沖響應(yīng)濾波器施加約束條件，以擴(kuò)大球面陣波束形成的動態(tài)范圍。

單個(gè)球面?zhèn)髀暺麝嚵须m然具有良好的方位性能，但在室外的遠(yuǎn)場中十分受限。首先，單個(gè)球陣列只能還原局部聲場，當(dāng)聲源距離陣列較遠(yuǎn)時(shí)，接收信號的信噪比低，聲場還原難度大；其次，聲場的空間分辨率和估計(jì)精度都與傳感器數(shù)量成正比，而在半徑約束情況下的單個(gè)球面上能布放的傳聲器數(shù)量存在上限。為了準(zhǔn)確還原更大的聲場來估計(jì)聲源方位，分布式陣列因大尺寸和靈活的布放成為新選擇。多節(jié)點(diǎn)定位的研究方向眾多［6］，但有關(guān)分布式的球陣列，目前的探索較少。其中，Wang F等人［7］通過分布式球陣列對寬帶聲源定位，分析了分布式傳聲器陣列的子陣數(shù)和子陣半徑對聲源識別的影響。Pan X等人［8］提出一種基于多個(gè)開球陣列的寬帶聲源方位估計(jì)算法，采取同心球陣列裝置，增大了工作頻率范圍，降低了計(jì)算復(fù)雜度。

有鑒于此，本文針對分布式球面?zhèn)髀暺麝嚵械牟挤藕头轿还烙?jì)問題展開相關(guān)研究。提出了一種基于加法定理的方位估計(jì)算法，分析了模態(tài)截?cái)嚯A數(shù)以及子球陣的分布位置對算法的影響。最后在低頻相干平面波聲源場景下進(jìn)行了仿真驗(yàn)證。

1 分布式球陣?yán)碚撃Ｐ?/h2>

1.1 聲場的球諧波域表達(dá)

基于單位球的函數(shù)可以用加權(quán)的球諧波函數(shù)（θ，φ）來表達(dá)，n階m次的球諧波函數(shù)定義為

式中θ為俯仰角，φ為方位角，Pmn（）為連帶勒讓德函數(shù)。假設(shè)聲源是單位幅度的遠(yuǎn)場平面波，入射角為（θk，φk），令r＝（r，θr，φr）表示球心位于坐標(biāo)原點(diǎn)的球形有界區(qū)域內(nèi)的任一觀測點(diǎn)，則r處的聲壓可以表示［9］為

式中jn（kr）為球貝塞爾函數(shù)，k＝（k，θk，φk）為來波的波數(shù)向量，k為波數(shù)。

1.2 聲壓系數(shù)變換

聲壓的表達(dá)式與球心位置有關(guān)，假設(shè)空間Z中某一點(diǎn)Q相對于原點(diǎn)o的位置為R＝（R，θR，φR），相對于q點(diǎn)Rq（Rq，θq，φq）的位置為r＝（r，θr，φr），具體位置表示如圖1所示。

圖1 聲場轉(zhuǎn)移示意

聲壓以原點(diǎn)為中心在球諧域展開和以q為中心在球諧域展開的表達(dá)式分別如下

其中，（k）和（k）為基于o和q參考點(diǎn)的聲壓系數(shù)，展開表達(dá)式如下

定義jv（kr）Yvμ（θr，φr）和jn（kR）Ynm（θR，φR）為聲壓的基函數(shù)。

根據(jù)加法定理［10］，原點(diǎn)處的基函數(shù)表達(dá)式可以通過不在原點(diǎn)處的基函數(shù)乘以轉(zhuǎn)移矩陣T得到。將各子陣處的基函數(shù)轉(zhuǎn)移到全局原點(diǎn)處的表達(dá)式為

T矩陣的維度由轉(zhuǎn)移前后的截?cái)嚯A數(shù)共同決定，聲場轉(zhuǎn)移前在q處的階數(shù)為V，聲場轉(zhuǎn)移后在o處的階數(shù)為N。T矩陣中每一個(gè)元素表達(dá)式如下

其中，G（n，m；v，-μ，l）為Gaunt系數(shù)，截?cái)嚯A數(shù)l＝n＋v＋1。最終，聲壓系數(shù)的轉(zhuǎn)移關(guān)系為

1.3 聲壓系數(shù)的N階估計(jì)

圖1所示的Q點(diǎn)處聲壓不僅受聲源影響，還包含了高斯白噪聲n的干擾，因此將Q點(diǎn)的實(shí)際聲壓表達(dá)如下

將上述頻域的聲壓轉(zhuǎn)換到球諧波域，取截?cái)嚯A數(shù)N，可得到下式

在與他人溝通的角色上，69.60%的大學(xué)生持有積極情感，以強(qiáng)調(diào)人際交往中的主動性、指引他人為價(jià)值取向；30.40%的大學(xué)生持消極情感，以強(qiáng)調(diào)人際交往中的被動性為價(jià)值取向。

其中，-n≤m≤n，0≤n≤N，xnm∈C（N＋1）2。因?yàn)門矩陣具有正交性，nnm依然服從高斯分布。等式（11）兩邊同時(shí)除以jn（kR）可得

設(shè)?∈NC（0，Σ），Σ∈C（N＋1）2×（N＋1）2，令S為T-1，則

根據(jù)貝葉斯估計(jì)準(zhǔn)則［11］可得：條件概率服從NC（，Σ）。假定q處的聲壓系數(shù)的先驗(yàn)概率服從NC（0，），設(shè)Ψ為SHS，則可得：后驗(yàn)概率的均值為：S（Ψ＋）-1x，協(xié)方差矩陣為［I-S（Ψ＋）-1SH］。而o處的聲壓系數(shù)的先驗(yàn)概率服從NC（0，I），后驗(yàn)概率分布的均值為Ψ（Ψ＋）-1x，因此，通過T矩陣轉(zhuǎn)移得到的原點(diǎn)處的聲壓系數(shù)估計(jì)為

2 分布式球陣的方位估計(jì)

2.1 方位譜估計(jì)

本文希望從聲壓系數(shù)所示的球諧波系數(shù)中提取信號的方位信息。定義濾波器h（θ，φ），根據(jù)球諧波函數(shù)的正交性，令濾波器系數(shù)為

在實(shí)際應(yīng)用中，通過估計(jì)得到的聲壓系數(shù)＾α（o）k獲取聲源方位。通過濾波器后的方位譜輸出表達(dá)為

式中（k）為聲壓系數(shù)的樣本協(xié)方差矩陣，L為估計(jì)樣本協(xié)方差矩陣（k）所用的快拍數(shù)。方位譜的峰值所在即為估計(jì)得到的聲源方向。

2.2 分布半徑優(yōu)化

圖2所示的陣形設(shè)計(jì)采用4 個(gè)由32 只傳聲器均勻排布的子球陣，分別放置在正四面體的頂點(diǎn)位置，即令4 個(gè)子陣也在以分布半徑Rq為半徑的球面上均勻放置。

圖2 4 個(gè)子陣球心位于正四面體頂點(diǎn)

對于任一子球，在球貝塞爾函數(shù)jl（kRq）的取值近似0點(diǎn)的情況下，該子球轉(zhuǎn)移到原點(diǎn)處的球諧聲壓系數(shù)即無法分辨多個(gè)聲源。而假若jl（kRq）的取值在任意階數(shù)l上都不接近于0，則能夠分辨多個(gè)聲源。本節(jié)提出一種優(yōu)化方案，即對有貝塞爾零點(diǎn)問題的子球的波束輸出賦予小權(quán)重，對沒有貝塞爾病態(tài)零點(diǎn)問題的子球的波束輸出賦予大權(quán)重。具體權(quán)重取值為各子球貝塞爾函數(shù)的最小值

為避免在選取4 個(gè)不同分布半徑的時(shí)候，4 個(gè)子球都遭遇貝塞爾零點(diǎn)的情況，下面對各子陣分布半徑，（p＝1，2，3，4）的選取進(jìn)行優(yōu)化。設(shè)＝ap，a1＝1，1 ＜a2，a3，a4＜2，優(yōu)化對象a＝［a2，a3，a4］，優(yōu)化目標(biāo)為

通過上述準(zhǔn)則，找到弱化貝塞爾零點(diǎn)影響的最優(yōu)半徑比例aopt。

3 仿真實(shí)驗(yàn)

3.1 截?cái)嚯A數(shù)對聲場重放精度影響分析

假定一個(gè)單位振幅的聲源來波方向（θk，φk）為（45°，15°），波數(shù)k為10，分布式陣列的最大半徑范圍R為1 m，即需要重放的聲場的半徑范圍為1 m。聲場還原情況隨系數(shù)轉(zhuǎn)移到原點(diǎn)后的截?cái)嚯A數(shù)N的變化如圖3所示。由圖3（a）可見，能夠還原的聲場范圍半徑R超出1 m。而圖3（b）中還原的聲場范圍正好為1 m的圓，在圓圈之外的范圍內(nèi)，正弦波的線條扭曲，說明1 m以外的聲場無法準(zhǔn)確重放。圖3（c）中還原的聲場不能覆蓋半徑1 m 的圓?？芍晥鲞€原的條件為截?cái)嚯A數(shù)N≥kR。

圖3 不同階數(shù)下聲場重放示意

3.2 相干聲源方位估計(jì)與分布半徑選取

采用對于位于（35°，15°）和位于（-35°，-15°）方位上的500 Hz相干聲源進(jìn)行測向。其中，子陣的半徑設(shè)定為0.15 m，陣列中心位于坐標(biāo)原點(diǎn)，陣列接收功率為20 dB 的高斯白噪聲，時(shí)域快拍數(shù)L為100。為對比分布式陣列與單球陣列測向性能的差別，并觀察分布半徑Rq對相干聲源測向性能的影響，采用2.1節(jié)的方法對多種情況分別輸出方位譜圖。單球陣列和選取不同分布半徑的分布式陣列測向圖如圖4所示。

圖4 相干聲源測向圖

由圖4（a）可見，單球陣列無法在500 Hz的頻率上分辨位于（35°，15°）和（-35°，-15°）的相干聲源。圖4（b）～圖4（h）則顯示隨分布半徑的增大，陣列對聲源的分辨力提高。然而，圖4（e）～圖4（h）表明，在分布半徑進(jìn)一步增大時(shí)，并沒有隨著前面的規(guī)律持續(xù)提高分辨力，反而在Rq為1.5 m和2 m時(shí)急劇下降?？傊?，在部分分布半徑下，多球陣列能夠分辨該聲源，在另外的分布半徑下則不能。分析認(rèn)為，在半徑增大的過程中，截?cái)嚯A數(shù)隨之增高，因此貝塞爾函數(shù)擁有更多零點(diǎn)頻率，導(dǎo)致在Rq為1.5 m和2 m時(shí)無法分辨該聲源。

如果采用2.2節(jié)中的分布方式，即陣列各子陣選擇不同的分布半徑，按式（18）計(jì)算子陣加權(quán)系數(shù)。分析取最優(yōu)值時(shí)陣列總的貝塞爾零點(diǎn)情況。因?yàn)樵O(shè)計(jì)的應(yīng)用場景為室外低頻信號，因此仿真設(shè)定波數(shù)k∈［7，12］，取∈［0，2］，考慮到a的選擇與的離散精度μ有關(guān)，μ取0.1。仿真顯示最優(yōu)半徑比為aopt＝［1.2，1.5，1.6］。當(dāng)aopt是μ為0.1時(shí)，J（α）取得最大值時(shí)的4 個(gè)子球半徑比例。探究J（α）隨半徑比例a的變化趨勢，為了便于作圖觀察，將a從三維降至一維，先研究在僅考慮2 個(gè)子球的情況下，J（α）受分布半徑比例變化的影響，即測試在2 個(gè)子球的分布半徑差異化時(shí)，貝塞爾零點(diǎn)問題是否有所緩解。對分別再取離散精度μ為0.01、0.001，觀察aopt是否隨著離散精度的提高在［1，2］范圍內(nèi)趨近于最優(yōu)點(diǎn)。結(jié)果如圖5所示。

圖5 雙球分布半徑比例取不同離散精度對比

由圖5可見，J（α）隨半徑比例的變化曲線并不因?yàn)殡x散精度的變高而越來越平滑或不斷趨近局部最優(yōu)點(diǎn)，反而發(fā)生更加陡峭的變化。這表明，離散精度對該問題的最優(yōu)取值影響很大，無法找到一個(gè)最優(yōu)的半徑比例取值使陣列避免或削弱貝塞爾函數(shù)零點(diǎn)帶來的影響。因此，該仿真實(shí)驗(yàn)證明分布半徑之間的相對取值優(yōu)化不能直接規(guī)避貝塞爾零點(diǎn)。本文在實(shí)際應(yīng)用中只能選擇限定分布半徑的絕對取值，例如規(guī)定部分子陣的分布半徑必須小于1 m，然后再采用對這部分子陣的方位譜輸出賦予大的權(quán)重，其余子陣的方位譜輸出賦予小的權(quán)重的方式進(jìn)行最終的聲源測向。

4 結(jié) 論

針對分布式球面?zhèn)髀暺麝嚵械牟挤藕头轿还烙?jì)問題，本文提出了一種基于聲壓系數(shù)變換的分布式方位估計(jì)算法，利用球諧波函數(shù)軸對稱加法定理將分布式子球的球心聲壓系數(shù)變換到坐標(biāo)原點(diǎn)，再利用球諧波函數(shù)正交性估計(jì)來波方位。為降低球貝塞爾函數(shù)零點(diǎn)對方位估計(jì)的影響，提出了一種基于子陣分布半徑優(yōu)化的聲壓系數(shù)加權(quán)變換算法。仿真表明，基于聲壓系數(shù)變換的方位估計(jì)算法能有效提升低頻信號的方位估計(jì)分辨率，對于路口異常聲檢測場景下的方位估計(jì)有顯著意義。