石天然 林子植|江西科技師范大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院

高考是衡量中學(xué)教育質(zhì)量、學(xué)生畢業(yè)和升學(xué)的重要依據(jù)之一，其命制理應(yīng)科學(xué)、權(quán)威并與時(shí)俱進(jìn).作為國際認(rèn)可的考試評(píng)價(jià)項(xiàng)目，中國香港中學(xué)文憑考試（Hong Kong Dioploma of Secondary Education Examination，簡稱DSE，即“香港高考”）試卷可為內(nèi)地高考提供借鑒.數(shù)學(xué)是DSE必考學(xué)科，包括“數(shù)與代數(shù)”“度量、圖形與空間”“數(shù)據(jù)處理”“數(shù)的進(jìn)一步運(yùn)用”四個(gè)板塊.那么，它與內(nèi)地高考數(shù)學(xué)試題有何異同？對(duì)內(nèi)地高考數(shù)學(xué)考試題命制有何啟發(fā)？筆者以高考評(píng)價(jià)體系為指導(dǎo)，選取2023 年全國高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)Ⅰ卷（以下簡稱“新課標(biāo)卷”）與DSE 數(shù)學(xué)試題（以下簡稱“文憑卷”）進(jìn)行對(duì)比分析，得出啟示，下面具體闡述.

一、構(gòu)建分析框架，精準(zhǔn)分析試題

筆者從試題特征的兩大構(gòu)成要素“立意”和“情境”出發(fā)，結(jié)合國內(nèi)外試題研究中普遍采用的研究視角，構(gòu)建了數(shù)學(xué)試題比較研究的分析框架（如圖1所示）.

圖1 數(shù)學(xué)試題比較研究的分析框架

整個(gè)框架分為兩大部分：一是對(duì)試卷結(jié)構(gòu)進(jìn)行對(duì)比分析，具體的分析維度包括試卷組成、題型題量、考試時(shí)間等；二是對(duì)試題特征進(jìn)行對(duì)比分析，具體的分析維度包括立意、情境.其中，“立意”指試題考查的知識(shí)內(nèi)容和認(rèn)知水平，“情境”指試題的情境類型和呈現(xiàn)方式.

（一）試題結(jié)構(gòu)比較分析

新課標(biāo)卷由一份試卷組成，文憑卷則由paper1、paper2 兩份試卷組成，這是試卷數(shù)量的不同，同時(shí)在試卷的整體結(jié)構(gòu)方面，二者也存在很大的差異，具體如表1所示.

表1 新課標(biāo)卷與文憑卷試題整體結(jié)構(gòu)比較

由表1可知，新課標(biāo)卷選擇題與非選擇題題量分別占55%和45%，題型比例平衡確保了試題測量功能的有效發(fā)揮：在選擇題部分，分為單項(xiàng)選擇題和多項(xiàng)選擇題兩類，多項(xiàng)選擇題并未規(guī)定正確選項(xiàng)數(shù)量，在一定程度上提升了試題難度；在非選擇題部分，以填空題和解答題為主，能夠較好地考查學(xué)生解決復(fù)雜數(shù)學(xué)問題的能力，且填空題在一定程度上豐富了試題的類型，有利于開展個(gè)性化的學(xué)習(xí).文憑卷的相關(guān)情況如下：在選擇題部分，只有單項(xiàng)選擇題，雖題量多達(dá)45 道，但分值占比較小，且單獨(dú)分開測試，時(shí)間為75 分鐘；在非選擇題部分，以簡述類的綜合題為主，且設(shè)置的題組間存在密切聯(lián)系，但試題難度較小、答案單一，只能簡單反映考生思維.

綜合而言，新課標(biāo)卷和文憑卷在試題結(jié)構(gòu)上有以下三點(diǎn)差異.一是題型、題量不同：新課標(biāo)卷包括單選題、多選題、填空題和解答題，題量較少；文憑卷包括單選題和簡答題，題量較多.二是單題分值差異較大：新課標(biāo)卷選擇題的單題分值高達(dá)5分，文憑卷單題分值為1分，故以新課標(biāo)卷考查學(xué)生，學(xué)生的總得分受單個(gè)選擇題作答情況的影響較大.三是可用工具不同：新課標(biāo)卷既不允許考生使用計(jì)算器，也不允許考生查閱數(shù)據(jù)手冊(cè)，但往往會(huì)對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行特殊的設(shè)計(jì)；文憑卷允許考生使用計(jì)算器和查閱數(shù)據(jù)手冊(cè)，并提供相關(guān)的數(shù)學(xué)運(yùn)算公式，在題目的設(shè)置上可以專注于數(shù)學(xué)本身，更傾向于直接使用真實(shí)的理論數(shù)據(jù).

（二）試題特征比較分析

相比于試題結(jié)構(gòu)，試題特征更能反映一套試卷的內(nèi)核，也更具有借鑒性.因此，筆者從知識(shí)內(nèi)容、認(rèn)知水平、情境類型、情境呈現(xiàn)方式四個(gè)維度對(duì)新課標(biāo)卷和文憑卷進(jìn)行比較分析.

1.知識(shí)內(nèi)容維度

“一核四層四翼”的高考評(píng)價(jià)體系是高考試題質(zhì)量的評(píng)價(jià)依據(jù)，其將高考考查內(nèi)容凝練為核心價(jià)值、學(xué)科素養(yǎng)、關(guān)鍵能力、必備知識(shí)［1］.必備知識(shí)是形成學(xué)科素養(yǎng)、關(guān)鍵能力和核心價(jià)值的基礎(chǔ)，而數(shù)學(xué)學(xué)科必備知識(shí)又可凝練為數(shù)與代數(shù)、函數(shù)、圖形與幾何、概率與統(tǒng)計(jì)、綜合實(shí)踐五條主線.從這五條主線出發(fā)，筆者對(duì)新課標(biāo)卷與文憑卷進(jìn)行比較，有關(guān)知識(shí)內(nèi)容維度的考查分值占比如圖2所示.

圖2 新課標(biāo)卷與文憑卷知識(shí)內(nèi)容維度分值占比比較

由圖2 可知，在知識(shí)內(nèi)容維度上，新課標(biāo)卷是函數(shù)＞圖形與幾何＞數(shù)與代數(shù)＞概率與統(tǒng)計(jì)＞綜合實(shí)踐，文憑卷是函數(shù)＞圖形與幾何＞數(shù)與代數(shù)＞綜合實(shí)踐＞概率與統(tǒng)計(jì).總體而言，在概率與統(tǒng)計(jì)、綜合實(shí)踐部分，新課標(biāo)卷側(cè)重前者，文憑卷側(cè)重后者，其他方面二者的側(cè)重點(diǎn)基本一致.為深入探析，下面以具體試題為例說明.

例1（DSE-20）如圖3 所示（注：試題中圖序均為編者加），已知正方形ABCD，正五邊形ADEFG，正六邊形AGHIJK，求∠ABK.

圖3

【評(píng)析】這道題考查學(xué)生幾何板塊的知識(shí)，可從正多邊形內(nèi)角和、外角和角度切入分析.在考查幾何問題時(shí)，相比于新課標(biāo)卷，其最直觀的區(qū)別為圖形簡單、題目簡潔，但在考查上依舊能做到面面俱到.

對(duì)具體知識(shí)內(nèi)容的考查側(cè)重點(diǎn)，新課標(biāo)卷和文憑卷也有不同.以“函數(shù)”板塊為例，其不同如下：新課標(biāo)卷側(cè)重于冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)等單個(gè)板塊函數(shù)的應(yīng)用，通過試題剖析各類問題，考查學(xué)生對(duì)函數(shù)公式、性質(zhì)及相關(guān)推導(dǎo)的理解與應(yīng)用，從而達(dá)到促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)思維、推理能力的目的；文憑卷更強(qiáng)調(diào)“函數(shù)”板塊和“圖形與幾何”板塊之間的聯(lián)系，通過對(duì)日常熟悉的圖形加以剖析，引出相關(guān)函數(shù)，進(jìn)而考查函數(shù)的相關(guān)知識(shí)，其考查題量占比多達(dá)30%，說明命題者有意引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注二者之間的聯(lián)系.

2.認(rèn)知水平維度

筆者結(jié)合《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱“《課程標(biāo)準(zhǔn)》”）和香港高考數(shù)學(xué)考試說明中的相關(guān)要求，以及部分學(xué)者的研究，將認(rèn)知水平由低到高分為記憶、理解、運(yùn)用、分析四個(gè)層次［2］.從這四個(gè)層次出發(fā)，筆者對(duì)新課標(biāo)卷與文憑卷進(jìn)行比較，有關(guān)認(rèn)知水平的考查分值占比如圖4所示.

圖4 新課標(biāo)卷與文憑卷認(rèn)知水平維度分值占比比較

由圖4 可知，在認(rèn)知水平維度上，新課標(biāo)卷是運(yùn)用＞理解＞分析＞記憶，文憑卷是分析＞運(yùn)用＞理解＞記憶.從分值占比情況看，兩套試卷在記憶、運(yùn)用兩個(gè)層次差別明顯，新課標(biāo)卷極其重視運(yùn)用的考查，極不重視記憶的考查，而文憑卷在各個(gè)層次的考查分布平均.為深入探析，下面以具體試題為例說明.

例2（DSE-18）已知幾何數(shù)列（等比數(shù)列）α、7、β，且1＜α＜β.

（1）使用log7β表示log7α.

（2）如果logβα、log7β、logαβ是等差數(shù)列，求其公差.

【評(píng)析】這道題考查學(xué)生分析的認(rèn)知水平，在理解、掌握數(shù)列知識(shí)的前提下，要求學(xué)生進(jìn)行變化，分析等比、等差數(shù)列的相關(guān)屬性，從而求解.學(xué)生需要具有較強(qiáng)的推理能力.由于試題的考查是層層遞進(jìn)的，學(xué)生還需要在記憶、理解和應(yīng)用水平達(dá)到很好的發(fā)展后才能求解該題.

綜合來看，二者在認(rèn)知水平上存在差異的內(nèi)在原因是對(duì)學(xué)生的認(rèn)知要求不同.從整體上來看：新課標(biāo)卷注重考查學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力，而不僅僅是對(duì)知識(shí)本身的理解和掌握；文憑卷則不同，不僅各認(rèn)知水平層次占比均勻，部分試題還要求學(xué)生將所學(xué)的知識(shí)進(jìn)行遠(yuǎn)遷移，以解決情境陌生、綜合性強(qiáng)的復(fù)雜問題，這表明文憑卷更注重考查學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)本身的理解、掌握和全面應(yīng)用.

3.情境類型維度

教育學(xué)領(lǐng)域的情境主要可以分為兩大類：第一類是教學(xué)/課堂情境，通常是指教師在教學(xué)活動(dòng)中所創(chuàng)設(shè)的情境；第二類是問題/試題情境，通常是指在教育測量的問項(xiàng)中所出現(xiàn)的情境.《課程標(biāo)準(zhǔn)》指出，問題情境是考查數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的重要載體.情境可分為數(shù)學(xué)情境、現(xiàn)實(shí)情境、科學(xué)情境三個(gè)類型.從這三個(gè)類型出發(fā)，筆者對(duì)新課標(biāo)卷與文憑卷進(jìn)行比較，有關(guān)情境類型的考查分值占比如圖5所示.

圖5 新課標(biāo)卷與文憑卷情境類型維度分值占比比較

分析圖5 可知，在情境類型維度上，二者都是數(shù)學(xué)情境＞現(xiàn)實(shí)情境＞科學(xué)情境，且數(shù)學(xué)情境的占比均在80%以上，遠(yuǎn)大于另兩類情境，但不同的是，新課標(biāo)卷未涉及科學(xué)情境.為深入探析，下面以具體試題為例說明.

例3（DSE-9）下面的莖葉圖（如圖6所示）顯示了一組工人在一周內(nèi)工作時(shí)間的分布，分布區(qū)間為27.

圖6

（1）求上述分布的中位數(shù)及眾數(shù).

（2）若從這群人中隨機(jī)挑選一名工人，求所選出的工人工作時(shí)間超過眾數(shù)的概率.

【評(píng)析】這道題考查學(xué)生“概率”板塊的知識(shí)，通過對(duì)莖葉圖的解讀，還原數(shù)據(jù)，進(jìn)而分析中位數(shù)、眾數(shù)并求解概率.該題以工人工作時(shí)間為背景，符合學(xué)生的認(rèn)知水平，屬于現(xiàn)實(shí)情境的考查.把工作時(shí)間放到現(xiàn)實(shí)情境中考查，可使學(xué)生在解決問題的同時(shí)，加深對(duì)生活環(huán)境的理解.

4.情境呈現(xiàn)方式維度

高考試題要合理創(chuàng)設(shè)情境，設(shè)置新穎的呈現(xiàn)方式，促使學(xué)生主動(dòng)思考，發(fā)現(xiàn)新問題、找到新規(guī)律、得出新結(jié)論.筆者參考陳志輝的劃分標(biāo)準(zhǔn)，將情境呈現(xiàn)方式分為純字母數(shù)字、故事或情節(jié)、圖形或表格、故事與圖表結(jié)合四種形式［3］.從這四種形式出發(fā)，筆者對(duì)新課標(biāo)卷與文憑卷進(jìn)行比較，有關(guān)情境呈現(xiàn)方式的考查分值占比如圖7所示.

圖7 新課標(biāo)卷與文憑卷情境呈現(xiàn)方式維度分值占比比較

分析圖7 可知，在情境呈現(xiàn)方式維度上，二者都是純字母數(shù)字＞故事或情節(jié)＞圖形或表格＞故事與圖表結(jié)合，側(cè)重點(diǎn)一致.在分值占比上，新課標(biāo)卷集中于純字母數(shù)字，其是占比最低的故事與圖表結(jié)合的二十多倍，文憑卷分布較均衡，兩端最值差略大于六倍.為深入探析，下面以具體試題為例說明.

例4（DSE-29）下圖（如圖8 所示）顯示了一些工程師一年培訓(xùn)小時(shí)數(shù)的分布，找出分布上的四分位數(shù).

圖8

【評(píng)析】這道題以“圖形+故事”兩個(gè)角度的情境結(jié)合展開，融合了工程師工作時(shí)間，并給出相關(guān)圖像，十分順暢地引入數(shù)學(xué)問題.學(xué)生需要將題目情境與從圖像獲取的信息相結(jié)合，然后才能求解出問題答案.

綜合而言，二者在情境的呈現(xiàn)方式上有如下不同：新課標(biāo)卷中描述性文字較少，大多數(shù)題目聚焦數(shù)學(xué)本身；文憑卷擅長將情境、試題與圖像結(jié)合，達(dá)到“境—題—像”三位一體，從而幫助學(xué)生從整體上探索問題.

二、基于試題精準(zhǔn)分析的命題啟示

（一）允許使用數(shù)學(xué)工具，落實(shí)“因題設(shè)問”

一個(gè)好題目的關(guān)鍵就是要明確測量的目標(biāo)，達(dá)到測量的預(yù)期結(jié)果，不應(yīng)該受到工具及外在客觀因素的限制.相較于文憑卷試題的設(shè)計(jì)和可用工具的配套，內(nèi)地高考試題在一定程度上受限于外部因素影響，沒有真正落實(shí)“因題設(shè)問”［4］.在數(shù)學(xué)工具的使用上，《課程標(biāo)準(zhǔn)》把“注重信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程的整合”作為高中課程的基本理念之一，并指出要“盡可能使用科學(xué)型計(jì)算器、各種數(shù)學(xué)教育技術(shù)平臺(tái)，加強(qiáng)數(shù)學(xué)教學(xué)與信息技術(shù)的結(jié)合”.因此，高考命題可以考慮允許學(xué)生配套使用數(shù)學(xué)工具，確保試題編制摒棄固化思維，不受客觀因素的限制，真正“發(fā)光發(fā)熱”，落實(shí)“因題設(shè)問”.

（二）倡導(dǎo)知識(shí)融合，加強(qiáng)內(nèi)容橫縱聯(lián)系

數(shù)學(xué)是一門綜合性學(xué)科，數(shù)學(xué)問題大多橫跨多個(gè)領(lǐng)域，高中數(shù)學(xué)知識(shí)體系涉及面廣、聯(lián)系頗多.在橫向方面，它要求學(xué)生能做到從單個(gè)知識(shí)點(diǎn)出發(fā)，通過發(fā)散思維聯(lián)系其他內(nèi)容，形成相關(guān)的知識(shí)網(wǎng)絡(luò).在縱向方面，它要求學(xué)生能以某個(gè)知識(shí)點(diǎn)為主干，串聯(lián)一系列相關(guān)知識(shí)，實(shí)現(xiàn)對(duì)知識(shí)理解的由淺入深.文憑卷比較好地體現(xiàn)了知識(shí)融合，其命題通過加強(qiáng)各板塊知識(shí)間橫向的聯(lián)系，考查學(xué)生的發(fā)散思維與一題多解能力.同時(shí)，文憑卷每年有一定比例的題目屬于中考衍生題，它通過這種方式將數(shù)學(xué)各板塊縱向的知識(shí)連接起來，考查學(xué)生層層遞進(jìn)的思維體系.內(nèi)地高考數(shù)學(xué)試題的命制可借鑒文憑卷的做法，注重融合學(xué)科知識(shí)，平衡好知識(shí)的廣度與深度問題.

（三）均衡思維難度，培養(yǎng)學(xué)生的遷移意識(shí)

數(shù)學(xué)思維指用數(shù)學(xué)思考問題和解決問題的思維活動(dòng)形式，其實(shí)質(zhì)為人腦對(duì)客觀現(xiàn)實(shí)的概括和間接反映，屬于人腦的基本活動(dòng)形式［5］.在認(rèn)知水平與學(xué)科能力上，與新課標(biāo)卷呈現(xiàn)出“知識(shí)面窄但思維難度較大”的特點(diǎn)不同，文憑卷呈現(xiàn)出“知識(shí)面寬但思維難度較小”的特點(diǎn)，重在考查學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)的理解和掌握，即直接運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決熟悉情境下的問題的能力.此外，文憑卷還有很大比例的主觀題，讓學(xué)生設(shè)計(jì)方案、陳述自己的觀點(diǎn)等，著重考查學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)的遷移和應(yīng)用.內(nèi)地高考數(shù)學(xué)試題的命制可借鑒文憑卷的做法，均衡思維難度，進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生自主發(fā)生正向遷移.

（四）關(guān)注時(shí)事熱點(diǎn)，優(yōu)化命題表征方式

數(shù)學(xué)的一大特點(diǎn)是具有極強(qiáng)的抽象性，因此高考試題中需要使用一定數(shù)量的數(shù)學(xué)情境來考查學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力.但是，數(shù)學(xué)建模和數(shù)據(jù)分析等核心素養(yǎng)的培育和考查需要在具體的實(shí)踐活動(dòng)中加以落實(shí)，因此還需要相當(dāng)數(shù)量的真實(shí)世界情境試題.文憑卷試題情境最顯著的特點(diǎn)即情境生活化，這種生活化體現(xiàn)在“工人的工作時(shí)長”“學(xué)生課堂”等具體的生活場景中.通過生活化的情境將數(shù)學(xué)知識(shí)與生活聯(lián)結(jié)，能使數(shù)學(xué)試題更“接地氣”，同時(shí)能在一定程度上考查學(xué)生融合生活經(jīng)驗(yàn)和學(xué)科思維來解決數(shù)學(xué)問題的能力［6］.內(nèi)地高考數(shù)學(xué)試題的命制可借鑒文憑卷的做法，優(yōu)化高考命題的表征方式，關(guān)注時(shí)事熱點(diǎn)，設(shè)置生活化的情境，使不同類型的情境與試題內(nèi)容相輔相成，將“考試”與“育人”有機(jī)融合.