［摘? 要］ 在HPM視角下的教學中，教師應基于“大觀念、大主題、大單元”的教學理念，準確把握數(shù)學史料的“深度”，構建符合學生認知規(guī)律、適合學生認知結構的教學活動，讓學生體會和感悟數(shù)系擴充的原則，實現(xiàn)數(shù)集的再一次擴充. 同時，設置合適的問題串，使學生在新概念生成的過程中，提高自己的理性思維能力，實現(xiàn)對概念的自主探究.

［關鍵詞］ HPM；數(shù)系擴充；復數(shù)概念；概念教學；大觀念

HPM是History and Pedagogy of Mathematics的簡稱，即數(shù)學史與數(shù)學教育. HPM領域中有一項非常重要的工作，即在數(shù)學教學中融入數(shù)學史，通過直接展現(xiàn)歷史、間接借鑒歷史或者深度挖掘歷史背景（數(shù)學生活、數(shù)學文化等），體現(xiàn)數(shù)學知識自然產生和發(fā)展的過程，強調合理地發(fā)現(xiàn)問題、分析問題和解決問題. 在HPM視角下的數(shù)學教學可以給學生還原數(shù)學知識產生和發(fā)展的過程，還原歷史“真相”. 但是，有的數(shù)學概念產生的歷史過程漫長且思維難度很大，對于高中生而言，如果處理不好，會讓他們的思維在歷史問題中輾轉而無法自拔，造成喧賓奪主，達不到預期的教學效果. 這個時候，就需要教師深入了解數(shù)學史，挖掘其本質，構建符合學生認知規(guī)律、適合學生認知結構的教學情境展開教學活動［1］.

“數(shù)系的擴充和復數(shù)的概念”是人教A版必修第二冊7.1節(jié)的內容. 《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）》提出：“復數(shù)是一類重要的運算對象，有廣泛的運用. 本單元的學習，可以幫助學生通過方程求解，理解引入復數(shù)的必要性，了解數(shù)系的擴充，掌握復數(shù)的表示、運算及其幾何意義.”下面，筆者對本節(jié)課教學進行分析，供同行參考指正.

教學現(xiàn)狀及分析

1. 問題情境的創(chuàng)設沒有體現(xiàn)引入復數(shù)的必要性

概念的產生要么是生活、生產的需要，要么是數(shù)學內部解決問題的需要. 在引入復數(shù)的過程中，部分教師從解方程的角度用如下幾個問題去引導學生：①在自然數(shù)集內求關于x的方程x+1=0的解；②在整數(shù)集內求關于x的方程2x+1=0的解；③在有理數(shù)集內求關于x的方程x2=2的解；④在實數(shù)集內求關于x的方程x2=-1的解. 這些問題看似十分符合學生的認知規(guī)律——讓學生一步一步認識到如果在原數(shù)集范圍內方程無解，那么就需要對數(shù)集進行擴充，使方程在新的數(shù)集范圍內有解——但是根據(jù)學生的認知基礎，學生為什么會考慮方程如何才能有解，且學生會認為關于x的方程x2=-1在實數(shù)集內無解是再正常不過的一件事，為什么還要對它們進行研究. 整個情境不僅不符合復數(shù)發(fā)生和發(fā)展的過程，也沒有體現(xiàn)引入復數(shù)的必要性，這只是教師為了情境而創(chuàng)設情境.

還有部分教師采用的是意大利數(shù)學家卡爾丹提出的一個問題：將10分為兩部分，使兩部分的乘積等于40，這兩部分分別是多少？在實際課堂中，學生是這樣解答的：設這兩部分分別為x，y，則x+y=10，

xy=40，對其進行化簡可得x2-10x+40=0. 因為Δ<0，所以一元二次方程x2-10x+40=0無實數(shù)解，也就是不存在實數(shù)滿足方程x2-10x+40=0. 這個時候，教師話鋒一轉：為什么這樣的方程無實數(shù)解呢？更有教師提出：函數(shù)y=x2-10x+40的圖象表明方程x2-10x+40=0的兩根之和為函數(shù)圖象對稱軸上點的橫坐標的2倍，兩根之積為函數(shù)圖象與y軸交點的縱坐標，我們可以清楚地看到兩根之和與積所在的位置，卻找不到這兩根……它們都去哪兒了呢？眾所周知，在初中，學生學習根與系數(shù)的關系時，教師都會強調利用根與系數(shù)的關系無法說明根的存在性；同時，像x2-10x+40=0這樣的方程沒有實數(shù)解在學生的心中已是定論，那么還有討論的必要嗎？教師在這個時候提出這樣的問題，對學生而言，其實就是多此一舉，沒有繼續(xù)研究的必要，也就是說這樣的問題情境是不符合學生認知規(guī)律的.

2. 數(shù)系擴充的學習過程缺少方法論的研究

在實際教學中，部分教師采用一系列解方程的問題情境，因為沒有更深入的研究，所以講授的僅僅是數(shù)集的擴充，而不是數(shù)系的擴充.即講解時，只關心有沒有擴充到復數(shù)集，而不關心為什么要擴充到復數(shù)集，擴充的數(shù)是哪些數(shù)，擴充的原則是什么. 使得整個講授過程缺少了思想，失去了靈魂，學生學習完本節(jié)課內容后，沒有獲得研究此類問題的經驗和方法，以及可持續(xù)學習的能力.

3. 相關數(shù)學符號的引入邏輯的表述不準確

有些教師在引入虛數(shù)單位“i”之前，在“自然數(shù)集→整數(shù)集→有理數(shù)集→實數(shù)集”的擴充過程中，逐步滲透分數(shù)線“—”和根號“”的由來，類比引入虛數(shù)單位“i”，看起來似乎合情合理，但是仔細思考后就會發(fā)現(xiàn)，分數(shù)線“—”和根號“”代表的都是一種運算，而虛數(shù)單位“i”則不是，它僅僅是一個單位符號.

鑒于上述課堂教學的不足之處，結合學生的認知結構和認知規(guī)律，筆者在HPM視角下，基于“大觀念、大主題、大單元”的教學理念，提煉數(shù)學史中相關內容的思想方法，把不符合學生認知結構和認知規(guī)律的內容加工成為能被學生接受且不失發(fā)現(xiàn)數(shù)學問題本質的教學情境，重新組織本節(jié)課教學過程.

我的教學過程

1. 教學目標

（1）了解引入復數(shù)的必要性.

（2）了解數(shù)系擴充的一般規(guī)則，了解從實數(shù)系擴充到復數(shù)系的過程，感受數(shù)系擴充過程中理性思維的作用，提升數(shù)學抽象、邏輯推理等素養(yǎng).

（3）理解復數(shù)的代數(shù)形式，理解復數(shù)的概念，理解復數(shù)相等的含義.

2. 教學重點和難點

重點：實數(shù)系擴充到復數(shù)系的一般規(guī)則，理解復數(shù)的概念.

難點：對數(shù)系擴充的基本原則以及虛數(shù)單位i的理解.

關于這節(jié)課的幾點思考

1. 準確把握數(shù)學史料中的“深度”，依據(jù)學生認知規(guī)律重建適合學生認知結構的問題情境

《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）》明確指出：“高中數(shù)學教學以發(fā)展學生數(shù)學學科核心素養(yǎng)為導向，創(chuàng)設合適的教學情境，啟發(fā)學生思考，引導學生把握數(shù)學內容的本質.”創(chuàng)設符合學生認知規(guī)律的問題情境，是提高學生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題能力的有效通道.

本節(jié)課中，筆者沒有從復雜的解三次方程公式的產生過程說起，而是利用學生可接受的對方程x3-15x-4=0的求解，分析學生因式分解的解法和在學生認知能力范圍內的數(shù)學家的求解過程，發(fā)現(xiàn)解是一樣，但是求解過程中出現(xiàn)了現(xiàn)有知識結構中無法解釋的一個問題，引發(fā)學生思考，誘發(fā)學生提出問題，讓學生體會到了引入復數(shù)集的必要性.在數(shù)系擴充過程中，筆者沿著數(shù)學家們的足跡，引導學生進行“自然數(shù)集→整數(shù)集→有理數(shù)集→實數(shù)集”的擴充，在擴充過程中體會數(shù)學家們的數(shù)學思想，正是這樣一個符合學生認知規(guī)律、適合學生認知結構的問題情境的創(chuàng)設，讓學生感受到了探究的樂趣，也實現(xiàn)了學生主動積極積累從實數(shù)集擴充到復數(shù)集所需要的基本活動經驗.

2. 結合概念的生成過程，培養(yǎng)學生的理性思維能力

理性思維是人類思維的一種高級形式，它是建立在證據(jù)和邏輯推理上的一種思維能力. 在培養(yǎng)人的理性思維、科學精神，促進個人智力發(fā)展的過程中，數(shù)學發(fā)揮著不可替代的作用，而這正是學生用數(shù)學的眼光觀察世界、用數(shù)學的思維思考世界、用數(shù)學的語言表達世界必須具備的思維品格.

本節(jié)課中，筆者通過解三次方程提出疑問，啟發(fā)學生大膽猜想、理性思考疑問，帶領學生進行合作探究，回顧已知的數(shù)系發(fā)展的基本知識，反思數(shù)系發(fā)展涉及的基本思想、基本活動經驗和基本技能，讓學生理性思考必須無中生有一些“新數(shù)”以及引入“新數(shù)”的原則，體會數(shù)學理性思考所帶來的魅力. 合理引入虛數(shù)單位，整體認識復數(shù)的代數(shù)形式以及復數(shù)的分類標準，這些正是學生對數(shù)系擴充進行理性思考的結果. 這樣一個認知過程，也是培養(yǎng)學生理性思維能力的一個過程.

3. 設置合適的問題串，實現(xiàn)學生對概念的自主研究

有的教師在概念教學中常常采用“一個定義、三項注意”的形式，課堂結束后，自我感覺概念講得很清楚，學生聽得很明白. 但這樣的教學方式沒有讓學生感受到數(shù)學的魅力，更沒有給學生帶來繼續(xù)探究下去的動力. 長此以往，學生就會感覺數(shù)學學習枯燥且乏味. 因此，教師在概念教學中，要努力探索概念背后的深層次的數(shù)學問題，讓學生成為問題探究的主體；提出的有價值的問題要符合學生的認知規(guī)律，體現(xiàn)層次性，讓學生在發(fā)現(xiàn)、提出、分析和解決問題的過程中，親身經歷概念生成和生長的過程，實現(xiàn)學生對概念的自主研究.

本節(jié)課中，筆者深入探索復數(shù)產生的過程，精心設置了11個問題，組成問題串. 通過問題“在實數(shù)范圍內解關于x的方程x3-15x-4=0”“對于這樣的解法你有什么疑惑嗎”，引導學生進行理性思辨，自主探索問題產生的原因.當學生發(fā)現(xiàn)問題的本質后，筆者又提出問題“那我們如何來研究它呢”，引導學生大膽猜想“我們認知范圍內的數(shù)不夠用了，該怎么辦呢”，促使學生積極思考要對數(shù)集進行擴充. 問題“在數(shù)集的每一次擴充過程中，我們都是在原來數(shù)集的基礎上添加一些‘新數(shù)，這些‘新數(shù)需要滿足什么樣的條件才會被引入”的提出，帶領學生理性思考數(shù)系擴充的目的和原則. 而問題6、問題7、問題8、問題9、問題10、問題11的提出與解決，正是學生應用已掌握的基本活動經驗進行自主探究并完成了實數(shù)集到復數(shù)集的擴充.這樣一個問題串的設置，實現(xiàn)了學生對概念的自主探究.

4. 深度把握“大觀念、大主題、大單元”的教學理念，促進數(shù)學學科整體性、系統(tǒng)性和聯(lián)系性的發(fā)展

數(shù)學是一門邏輯性很強的系統(tǒng)性學科，大家總是想從不斷變化的問題中找到不變的、永恒的規(guī)律. 這就要求教師站在更高的角度來思考和理解知識，通盤考慮整個學段的知識，突破單元知識的壁壘，認清單元知識的內在聯(lián)系，重組、整合單元知識，形成完整的知識鏈，并在平時的教學中主動帶領學生構建具有“大觀念”的“大主題”和“大單元”的知識體系［3］，讓學生在學習過程中，不僅僅能學到知識，還能提煉思想方法，更重要的是促進數(shù)學學科整體性、系統(tǒng)性和聯(lián)系性的發(fā)展.

本節(jié)課中，學生提出負數(shù)無法開平方后，筆者并沒有馬上給出復數(shù)的相關定義，而是提出“之前我們有沒有遇到過類似這樣的問題”，引導學生回顧以前學習過程中有無相關聯(lián)的問題，這些問題的研究思路和解決方法是什么.比如學生學習完指數(shù)函數(shù)后，又會對對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)以及三角函數(shù)等基本函數(shù)進行研究，教師在引導中要主動提出：我們研究一個新函數(shù)時，都會研究函數(shù)的哪些內容呢？以此幫助學生建立“大觀念、大主題、大單元”下的探索方向. 學生在這樣的引導下，能很快回憶到研究函數(shù)的“兩域四性一圖”（即定義域、值域、單調性、對稱性、周期性、有界性和圖象）. 引導學生從“自然數(shù)集→整數(shù)集→有理數(shù)集→實數(shù)集”進行擴充后，學生不會自覺提出“要研究運算律”這樣的問題，此時筆者提出“在數(shù)集的每一次擴充過程中，我們都是在原來數(shù)集的基礎上添加一些‘新數(shù)，這些‘新數(shù)需要滿足什么樣的條件才會被引入”這個問題，引導學生回顧剛學習的向量的研究過程，即“定義→表示→關注特殊元→兩元關系及分類→構造運算（運算律）及性質→應用”——這是我們研究新定義的一個基本研究思路，從而讓學生明確本節(jié)課的研究對象和內容. 在課堂小結中，筆者帶領學生回顧研究思路：“數(shù)學家發(fā)現(xiàn)問題→探究問題的本質→回顧數(shù)學發(fā)展史中有沒有類似問題的出現(xiàn)，是如何解決的→對研究方法進行類比，得到新的數(shù)集，完成數(shù)系的再一次擴充.”對研究思路的明確是教師對基于“大觀念”的“大主題”和“大單元”的理解，對新舊知識進行合理融合、逐漸滲透，讓學生在一次又一次的探究過程中，感受到數(shù)學知識的整體性、系統(tǒng)性和聯(lián)系性的重要.

結束語

HPM視角下問題情境的創(chuàng)設是引導學生經歷知識發(fā)生和發(fā)展的重要途徑.在實際教學中，教師要對數(shù)學史進行合理的梳理和取舍，使數(shù)學史能真正融入課堂. 教師在“大觀念、大主題、大單元”的教學理念的指導下，主動引導學生經歷數(shù)學概念和數(shù)學思想方法發(fā)生和發(fā)展的過程，促使學生積極主動地進行理性思考，積累基本的數(shù)學思維和實踐的經驗，為學生可持續(xù)學習、終身學習打下良好的知識和能力基礎.

參考文獻：

［1］ 呂天璽，王光明. 基于數(shù)學核心素養(yǎng)的“復數(shù)”教學設計［J］. 數(shù)學通報，2018（06）：39-43.

［2］ 宋金棟. 有價值的問題促成新知的探究與構建——“數(shù)系的擴充與復數(shù)的概念”教學探索［J］. 中學數(shù)學教學參考（上旬），2021（06）：39-41.

［3］ 王佳，蔣曉東. 從“復數(shù)”發(fā)展史角度探究“數(shù)系擴充及復數(shù)的概念”一課的教學［J］. 中學數(shù)學教學參考（上旬），2022（01）：35-37.

基金項目：江蘇省教育科學“十四五”規(guī)劃2021年度青年教師專項課題“新課程標準下的初高中數(shù)學銜接的過渡研究”（C-c/2021/02/91）.

作者簡介：呂兆勇（1978—），中小學高級教師，張家港市學科帶頭人，從事數(shù)學教育教學研究工作.