黃秀英

摘 要：在初中數(shù)學教學中，中考備考是教學的重要任務，是學生對初中數(shù)學知識進行重新整合的過程.在復習過程中，學生能夠進一步理解初中數(shù)學知識本質(zhì)，加強與其他學科的聯(lián)系.二次函數(shù)作為初中數(shù)學的重要知識內(nèi)容，在備考復習中，應當從大概念視角分析，設計大單元教學目標，實現(xiàn)知識向能力轉(zhuǎn)化.作為教師，應當結合數(shù)學核心素養(yǎng)，進一步明確大單元整合的作用.文章結合二次函數(shù)綜合問題的解題思路，探究中考備考的有效策略.

關鍵詞：大單元；整合；初中數(shù)學；中考備考；二次函數(shù)

中圖分類號：G632 文獻標識碼：A 文章編號：1008-0333（2024）08-0019-03

與二次函數(shù)有關的綜合性問題考查的知識點多，求解難度較大，常常以中考壓軸題的形式出現(xiàn).在初中數(shù)學教學中，為了提高學生解答二次函數(shù)綜合問題的能力，教師應做好題型的分類，講解不同題型的解題思路，并結合具體實例，展示解題思路的具體應用，給學生帶來良好的啟發(fā).

1 周長問題

周長問題在二次函數(shù)綜合問題中較為常見，其中求解周長的最大值或最小值是中考的熱點問題.這種類型問題的求解思路為：利用二次函數(shù)與幾何圖形知識判斷需求解圖形的類型，靈活利用一次函數(shù)與二次函數(shù)關系式，求出關鍵點的坐標與線段長度之間的關系.一方面，可考慮構建二次函數(shù)，利用二次函數(shù)性質(zhì)求解；另一方面，可考慮利用相關模型或借助圖形之間的等量代換求解.利用二次函數(shù)性質(zhì)求解時需確定自變量的取值范圍，借助圖形求解時需靈活利用相關圖形的幾何性質(zhì)[1].

例1 已知二次函數(shù)y=ax2+bx+3的圖象與y

（1）求二次函數(shù)的解析式；

（2）P為二次函數(shù)圖象第一象限部分上的一點，且∠PAB=∠OCA，求點P點坐標；

問題（2）的思路：畫出圖象分析，大致確定點P的坐標.設出點P的坐標，構造三角形，通過證明三角形相似構造等量關系，求出未知數(shù)，得出點P的坐標.根據(jù)題意畫出圖象，如圖1所示.利用相似三

問題（3）思路：分析四邊形CEFP由哪幾條線段構成，確定長度不變的線段，將重點放在長度可變的線段上.結合最短路徑模型，通過點的平移、對稱，確定點的具體位置，然后利用一次函數(shù)知識求解.

2 面積問題

求三角形的面積是二次函數(shù)綜合類問題中的重點問題.解答該類問題的關鍵在于靈活運用三角形面積求解公式，其主要思路為：根據(jù)題意確定三角形是特殊三角形還是一般三角形，運用直線和拋物線之間的關系，求出線段長度、點的坐標.求解一般三角形的面積時可采用分割法、補形法，以達到化難為易，順利解題的目的[2].

例2 如圖3，拋物線y=x2+bx+c（b、c為常數(shù)）的頂點為C，與x軸交于A、B兩點，A（1，0），AB=4，點P為線段AB上的動點，過點P作PQ∥BC交AC于點Q.求：（1）該拋物線的解析式；（2）△CPQ面積的最大值.

問題（1）思路：給出的拋物線解析式y(tǒng)=x2+bx+c中含有兩個參數(shù)，并給出其圖象上兩點坐標，采用待定系數(shù)法可求得b、c的值，易得拋物線的解析式為y=x2+2x+3.

問題（2）思路：求出點C的坐標及直線BC、AC的方程.設出點P的坐標，由PQ∥BC，表示出直線PQ的方程，將其和直線AC聯(lián)立，求解點Q的坐標.分別表示出△APC和△APQ的面積，則S△CPQ=S△APC-S△APQ，將問題轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值，易求得S△CPQ的最大值為2.

3 角度問題

二次函數(shù)綜合類問題中的角度問題考查的內(nèi)容主要有：特殊三角形的性質(zhì)，包括直角三角形、等腰三角形、等邊三角形；三角形全等、三角形相似、勾股定理等.解答該類問題的思路為：根據(jù)題意運用直線與拋物線、三角形之間的關系求出相關參數(shù)，必要情況下可以作出輔助線，以三角形相似、全等為依據(jù)，求出線段長度、角度.

例3 如圖4所示，在平面直角坐標系xOy中，拋物線圖象過點A（3，0），B（0，3），且其圖象的對稱軸為直線x=2.如圖動點C，D分別在x軸上方和下方的拋物線上運動，且滿足∠CAO=∠DAO，連接CD和x軸交于點E.求：（1）該拋物線的解析式；（2）當點C、D運動時，∠CEO的度數(shù)是否發(fā)生變化，若不變化求出sin∠CEO的值；若變化，求出∠CEO的變化范圍.

問題（1）思路：設出拋物線的頂點式方程，而后將A、B兩點坐標代入其中，求出對應參數(shù).

問題（2）思路：根據(jù)已知條件畫出函數(shù)圖象，設出C、D兩點坐標，由∠CAO=∠DAO構造相似三角形，利用三角形相似的性質(zhì)確定C、D兩點坐標，利用待定系數(shù)法求出直線CD的方程，然后表示出點E坐標以及sin∠CEO，得出結論.

4 判斷形狀問題

判斷圖形形狀類的二次函數(shù)綜合問題需結合圖形性質(zhì)進行分析.解答該類問題的思路為：根據(jù)題干創(chuàng)設的情境，以直線、二次函數(shù)圖象為依托，求出相關圖形邊或角度，根據(jù)邊、角度關系作出判斷.

例4 如圖6，二次函數(shù)圖象的頂點P（3，3），其與x軸交于點A（6，0），點B在圖象上，OB與二次函數(shù)圖象的對稱軸l交于點M，點M、N關于點P對稱，連接BN、ON.

（1）求該二次函數(shù)解析式；

問題（2）思路：根據(jù)已知條件分別求出點N與點B的坐標，運用兩點間的距離公式求三角形邊長的平方，根據(jù)勾股定理逆定理判斷其形狀即可.

5 結束語

二次函數(shù)綜合問題雖然難度較大，但只要有明確的思路，并不難突破.解答二次函數(shù)綜合問題需具體問題具體分析，靈活運用幾何圖形性質(zhì)、直線與二次函數(shù)圖象之間的內(nèi)在聯(lián)系求出關鍵線段的長與關鍵點的坐標，必要情況下利用三角形全等、三角形相似、勾股定理等知識，便可找到解題切入點.

參考文獻：

［1］ 謝小芳.探究解題思路，貫通教學設計：以二次函數(shù)綜合題的突破為例[J].數(shù)學教學通訊， 2019（26）：3.

[2] 季峰.例談初中數(shù)學二次函數(shù)綜合性題目的解題技巧[J].數(shù)理天地（初中版）， 2022（10）：11-12.