勾股定理與其逆定理

田載今

直角三角形的三邊之間具有一種特殊 的數(shù)量關系，即兩條直角邊的平方和等于斜 邊的平方.由此產(chǎn)生了關于直角三角形的一 個重要定理——勾股定理.由于三邊之間的 這種關系為直角三角形獨有，銳角三角形和 鈍角三角形都不具備，所以它又成為判定直 角三角形的依據(jù).由此又產(chǎn)生了關于直角三 角形的另一個重要定理——勾股定理的逆 定理.

一、勾股定理——直角三角形的性質(zhì)定 理

中國古人稱直角三角形的兩條直角邊 分別為“勾”和“股”，稱斜邊為“弦”.在中國古 代數(shù)學著作《周髀算經(jīng)》中，記載了周朝人商 高發(fā)現(xiàn)有一種直角三角形的三邊滿足“勾三，股四，弦五”（即三角形三邊長度之比為3：4： 5）.3，4，5這三個數(shù)滿足32+42=52，這表明這 種直角三角形的勾與股的平方和等于弦的 平方.《周髀算經(jīng)》中還記載了周朝人陳子在 討論測量問題時，提出對直角三角形可用 “勾股各自乘，并以開方除之”的方式計算 弦，其意即“弦=√勾2+股2”.陳子所說的已 不限于“勾三，股四，弦五”這種特殊的直角 三角形了，而是說一般的直角三角形都滿足 “勾2+股2=弦2”.