王寶強(qiáng)　王高翔

【摘? 要】 根據(jù)《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022版）》，文章以“多邊形內(nèi)角和”教學(xué)為例，說(shuō)明教師在課堂教學(xué)中落實(shí)新課程標(biāo)準(zhǔn)理念時(shí)要關(guān)注知識(shí)內(nèi)容結(jié)構(gòu)，理清數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)間內(nèi)在聯(lián)系。數(shù)學(xué)教師在課堂教學(xué)中，應(yīng)對(duì)教材進(jìn)行整合和合理開(kāi)發(fā)，使用教材時(shí)應(yīng)具有創(chuàng)造性；采用啟發(fā)式教學(xué)方式引導(dǎo)教學(xué)，預(yù)設(shè)特殊到一般、簡(jiǎn)單到復(fù)雜的問(wèn)題串，教學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)；開(kāi)展探究活動(dòng)，豐富學(xué)生的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，促進(jìn)學(xué)習(xí)方式轉(zhuǎn)變，通過(guò)知識(shí)的前連后引，讓學(xué)生易于整體把握知識(shí)結(jié)構(gòu)，從而提高學(xué)習(xí)效率，促進(jìn)數(shù)學(xué)思維的生成。

【關(guān)鍵詞】 多邊形內(nèi)角和；大單元教學(xué)；思維發(fā)展；啟發(fā)式學(xué)習(xí)

一、義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程的核心素養(yǎng)發(fā)展

在義務(wù)教育階段，數(shù)學(xué)課程的設(shè)計(jì)要落實(shí)立德樹(shù)人的根本任務(wù)，其課程目標(biāo)應(yīng)立足學(xué)生核心素養(yǎng)的全面發(fā)展，突出體現(xiàn)數(shù)學(xué)課程的育人價(jià)值。根據(jù)《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》，數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)涵蓋數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀(guān)想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析等六個(gè)方面。而《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022版）》則明確提出了初中階段核心素養(yǎng)主要表現(xiàn)為抽象能力、運(yùn)算能力、幾何直觀(guān)、空間觀(guān)念、推理能力、數(shù)據(jù)觀(guān)念、模型觀(guān)念、應(yīng)用意識(shí)、創(chuàng)新意識(shí)。

學(xué)生的核心素養(yǎng)主要體現(xiàn)在“三會(huì)”，即用數(shù)學(xué)的眼光觀(guān)察現(xiàn)實(shí)世界、用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界、用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界。在初中階段和高中階段的核心素養(yǎng)培養(yǎng)之間要進(jìn)行有機(jī)銜接，既注重學(xué)生知識(shí)的學(xué)習(xí)和技能訓(xùn)練，又讓學(xué)生參與課堂教學(xué)活動(dòng)，感悟?qū)W習(xí)過(guò)程中的基本思想和方法，積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，從而全面提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

二、拓展性教學(xué)策略在數(shù)學(xué)課堂中的應(yīng)用

使用開(kāi)放性教學(xué)策略，旨在提升學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力和創(chuàng)新意識(shí)。在課堂引入環(huán)節(jié)中，通過(guò)三角形知識(shí)點(diǎn)的思維導(dǎo)圖，引導(dǎo)學(xué)生類(lèi)比三角形的知識(shí)，激發(fā)其對(duì)四邊形探究的興趣。在四邊形及多邊形概念學(xué)習(xí)中，鼓勵(lì)學(xué)生自主總結(jié)，并引導(dǎo)其使用類(lèi)比思維解決問(wèn)題。

關(guān)聯(lián)性教學(xué)策略側(cè)重于多邊形概念之間的關(guān)聯(lián)，通過(guò)層層遞進(jìn)的活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)、歸納相通點(diǎn)，進(jìn)而抽象概括出多邊形的概念。在推導(dǎo)多邊形內(nèi)角和定理時(shí)，從四邊形的內(nèi)角和開(kāi)始，逐步驗(yàn)證猜想，引導(dǎo)學(xué)生在解決問(wèn)題中體會(huì)數(shù)學(xué)的類(lèi)比轉(zhuǎn)化思想方法。

本節(jié)課借助思維導(dǎo)圖，幫助學(xué)生明確探索流程和學(xué)習(xí)主要內(nèi)容；利用希沃白板實(shí)時(shí)展示學(xué)生的課堂練習(xí)及書(shū)寫(xiě)情況，促進(jìn)師生間及生生間的交流互動(dòng)。

三、教學(xué)示例

（一）情境導(dǎo)入

導(dǎo)入設(shè)計(jì)：展示水立方的視頻，同時(shí)呈現(xiàn)一張水立方的一面圖片，讓學(xué)生在圖片上找出熟悉的多邊形。

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)播放視頻，激發(fā)學(xué)生對(duì)祖國(guó)強(qiáng)大國(guó)力的感受，并巧妙融入愛(ài)國(guó)主義教育，樹(shù)立他們的強(qiáng)國(guó)夢(mèng)和愛(ài)國(guó)之心。在水立方的圖片中尋找多邊形，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)源自生活，培養(yǎng)他們的細(xì)心觀(guān)察和抽象思維能力。

（二）單元知識(shí)結(jié)構(gòu)梳理

活動(dòng)1：展示學(xué)生課前準(zhǔn)備的三角形知識(shí)思維導(dǎo)圖，并邀請(qǐng)學(xué)生對(duì)展示的作品進(jìn)行評(píng)價(jià)和討論。

活動(dòng)2：展示多邊形思維導(dǎo)圖，然后引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)三角形的思維導(dǎo)圖進(jìn)行類(lèi)比聯(lián)想，啟發(fā)學(xué)生思考：在關(guān)于多邊形的課程中，他們應(yīng)該研究哪些內(nèi)容？以及如何進(jìn)行這些內(nèi)容的研究？

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)活動(dòng)1和活動(dòng)2，學(xué)生將整理所學(xué)的三角形相關(guān)知識(shí)，培養(yǎng)他們的歸納能力和數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)能力。通過(guò)回顧三角形知識(shí)結(jié)構(gòu)，學(xué)生將類(lèi)比建構(gòu)多邊形的研究?jī)?nèi)容和方向，引導(dǎo)他們了解和掌握平面幾何圖形的研究路徑和方法，積累研究這些圖形的經(jīng)驗(yàn)，并教會(huì)他們學(xué)習(xí)的方法。

（三）多邊形概念

活動(dòng)3：每位學(xué)生準(zhǔn)備兩支筆，在桌面上擺出一個(gè)四邊形，并與同桌共同完成。教師拍攝學(xué)生的作品并上傳，讓其他同學(xué)檢查所擺放的四邊形是否正確。學(xué)生觀(guān)察他們擺放的四邊形，并類(lèi)比三角形的概念，嘗試給出四邊形的定義。

教師根據(jù)學(xué)生的回答，演示如何擺放四根木棒來(lái)構(gòu)成四邊形，并在操作過(guò)程中讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)在同一平面內(nèi)和不在同一平面內(nèi)兩種情況下的四邊形，一個(gè)是平面，一個(gè)是立體。通過(guò)這種方式，學(xué)生能夠自然地理解概念中的難點(diǎn)，并體會(huì)到概念的嚴(yán)謹(jǐn)性。隨后，以表格的形式引導(dǎo)學(xué)生再次嘗試用規(guī)范的語(yǔ)言來(lái)歸納三角形、四邊形、五邊形和多邊形的概念，通過(guò)填表的方式來(lái)減輕概念歸納的難度。

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)類(lèi)比學(xué)習(xí)，學(xué)生能感受到幾何研究的順序性，體會(huì)到幾何圖形中的共性。學(xué)生用自己的語(yǔ)言總結(jié)概念，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)世界的能力；通過(guò)兩種情況的演示，讓學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀(guān)察世界；通過(guò)觀(guān)察學(xué)生可以直觀(guān)地感受到“在同一平面內(nèi)”和“不在同一平面內(nèi)”的不同結(jié)果，讓學(xué)生自然地突破了概念中的難點(diǎn)，并加深了對(duì)概念嚴(yán)謹(jǐn)性的理解。

（四）探究多邊形內(nèi)角和

問(wèn)題1：多邊形研究的要素是什么？

通過(guò)合作，學(xué)生知道多邊形主要從邊、角兩個(gè)角度來(lái)研究。學(xué)生能明確本節(jié)課要研究的內(nèi)容是什么以及研究的方式方法是什么。

問(wèn)題2：三角形、矩形、正方形的內(nèi)角和分別是多少度？為什么？

在課堂教學(xué)中向?qū)W生滲透基本研究思路：由簡(jiǎn)單到復(fù)雜，如從三角形、四邊形到多邊形；由特殊到一般，先研究特殊的圖形，如正方形、矩形，再到一般的四邊形。

問(wèn)題3：關(guān)于四邊形的內(nèi)角和，你有什么猜想？

通過(guò)問(wèn)題2的矩形和正方形的內(nèi)角和，學(xué)生能自然而然地猜想到四邊形的內(nèi)角和的度數(shù)。

問(wèn)題4：你是如何得到這個(gè)猜想？

學(xué)生小組討論，通過(guò)討論來(lái)激發(fā)學(xué)生的上課熱情和積極思考的興趣，培養(yǎng)學(xué)生的合作意識(shí)。

問(wèn)題5：如何驗(yàn)證你的猜想？

學(xué)生拿出手中的學(xué)案紙進(jìn)行驗(yàn)證，并將驗(yàn)證的想法和過(guò)程說(shuō)給同組的小伙伴聽(tīng)，小組派代表展示本組的成果。

如圖1，連接對(duì)角線(xiàn)，將四邊形轉(zhuǎn)化為兩個(gè)三角形，再利用三角形內(nèi)角和定理來(lái)求四邊形內(nèi)角和。

如圖2，將點(diǎn)移動(dòng)到四邊形邊上，依次連接頂點(diǎn)和該點(diǎn)，四邊形內(nèi)角和轉(zhuǎn)化為三個(gè)三角形內(nèi)角和減一個(gè)平角的問(wèn)題，即180°×3-180°=180°×（4-2）。

如圖3，將點(diǎn)移動(dòng)到四邊形內(nèi)部，連接四個(gè)頂點(diǎn)與該點(diǎn)，這時(shí)四邊形內(nèi)角和轉(zhuǎn)化為四個(gè)三角形內(nèi)角減去一個(gè)周角度數(shù)的問(wèn)題，即180°×4-360°=180°×（4-2）。

如圖4，將點(diǎn)移動(dòng)到四邊形外部，連接四個(gè)頂點(diǎn)與該點(diǎn)這時(shí)四邊形內(nèi)角和轉(zhuǎn)化為三個(gè)三角形內(nèi)角和減去一個(gè)三角形內(nèi)角和的問(wèn)題，即180°×3-180°=180°×（4-2）。

通過(guò)上述四種方法的探究，不論用何種證法，四邊形內(nèi)角和都是180°×（4-2），為后面的多邊形的內(nèi)角和推導(dǎo)做鋪墊。

活動(dòng)4：你是否可以運(yùn)用類(lèi)比的方法，探索五邊形、六邊形，以及更多邊形的內(nèi)角和，并觀(guān)察多邊形內(nèi)角和與邊數(shù)之間的關(guān)系？

五邊形內(nèi)角和=180°×（5-2）

六邊形內(nèi)角和=180°×（6-2）

……

n邊形內(nèi)角和=180°×（n-2）

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生在實(shí)踐和思考中推導(dǎo)出四邊形內(nèi)角和，幫助學(xué)生領(lǐng)悟數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)化思想。在研究四邊形的基礎(chǔ)上，激發(fā)學(xué)生思考如何將五邊形、六邊形等多邊形轉(zhuǎn)化為多個(gè)三角形，并持續(xù)延伸至n邊形，引導(dǎo)學(xué)生深入思考多邊形的邊數(shù)與所轉(zhuǎn)化三角形個(gè)數(shù)之間的關(guān)系。在這個(gè)過(guò)程中，學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律，體驗(yàn)到以“退”為“進(jìn)”的解決問(wèn)題策略，培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)文化素養(yǎng)。通過(guò)討論四邊形內(nèi)角和算法在不同位置的變化，拓展學(xué)生思維，促使學(xué)生合作探索四邊形內(nèi)角和的規(guī)律，并觀(guān)察從五邊形、六邊形到n邊形的內(nèi)角和變化規(guī)律，最終推導(dǎo)出多邊形內(nèi)角和定理，深刻體會(huì)多邊形內(nèi)角和與邊數(shù)之間的一次函數(shù)關(guān)系。

（五）運(yùn)用新知

問(wèn)題6：（1）求九邊形內(nèi)角和；（2）一個(gè)多邊形的內(nèi)角和比四邊形的內(nèi)角和多720°，求該多邊形的邊數(shù)；（3）一個(gè)多邊形每個(gè)內(nèi)角都是120°，求該多邊形的邊數(shù)。

設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生練習(xí)中靈活運(yùn)用多邊形內(nèi)角和定理解決問(wèn)題，從而使他們深化對(duì)該定理的理解和內(nèi)化。設(shè)計(jì)的三個(gè)練習(xí)依次由簡(jiǎn)到難，從順向到逆向。第一個(gè)練習(xí)要求學(xué)生直接運(yùn)用內(nèi)角和公式鞏固知識(shí)；第二個(gè)練習(xí)先求解內(nèi)角和，然后逆向運(yùn)用公式；第三個(gè)練習(xí)要求學(xué)生靈活運(yùn)用公式。這三個(gè)練習(xí)都貫穿一個(gè)思想：運(yùn)用已學(xué)知識(shí)將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程，通過(guò)解題過(guò)程提升學(xué)生的解題能力。

（六）課堂小結(jié)

總結(jié)提問(wèn)：本節(jié)課學(xué)習(xí)了什么？你在學(xué)習(xí)哪塊知識(shí)用到什么數(shù)學(xué)思想方法？你覺(jué)得我們后面會(huì)研究什么內(nèi)容？

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)問(wèn)題式總結(jié)，引導(dǎo)學(xué)生回顧本節(jié)課所學(xué)知識(shí)，將新學(xué)習(xí)的內(nèi)容整合到自己的知識(shí)體系中，同時(shí)拓展知識(shí)體系。通過(guò)回顧，學(xué)生不僅鞏固解決問(wèn)題的方法和思想，還能了解到平面幾何圖形研究的歷程，從而為后續(xù)學(xué)習(xí)方向的把握打下基礎(chǔ)。此外，通過(guò)對(duì)平面幾何圖形的研究，學(xué)生能提前了解到圓與多邊形的統(tǒng)一性，為接下來(lái)學(xué)習(xí)圓打下鋪墊。

（七）課后延伸

問(wèn)題設(shè)計(jì)：陳同學(xué)想要為2024在法國(guó)舉辦的奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)設(shè)計(jì)一種內(nèi)角和為2024°的多邊形圖案，你認(rèn)為陳同學(xué)的設(shè)想能做到嗎？

設(shè)計(jì)意圖：本題是拓展性作業(yè)，是課堂活動(dòng)的延伸，通過(guò)設(shè)計(jì)符合生活實(shí)際的情境，幫助學(xué)生進(jìn)一步了解多邊形內(nèi)角和公式，同時(shí)在生活情境中，學(xué)生也能感受到數(shù)學(xué)的趣味性與生活性。

四、教學(xué)啟示

（一）重視結(jié)構(gòu)

根據(jù)新課程標(biāo)準(zhǔn)的要求，為了培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)，教學(xué)必須以整體的視角把握教學(xué)內(nèi)容，積極推動(dòng)單元整體教學(xué)的實(shí)施。這種教學(xué)視角既可以自然單元為整體，又可以知識(shí)單元為整體。在教學(xué)過(guò)程中，需要抓住每個(gè)章節(jié)起始課的教學(xué)契機(jī)，將章節(jié)結(jié)構(gòu)清晰地呈現(xiàn)給學(xué)生，幫助他們理順知識(shí)脈絡(luò)，理解教材編排的意圖，培養(yǎng)他們用數(shù)學(xué)的眼光看待世界的能力。

（二）以法觸類(lèi)

學(xué)習(xí)新知識(shí)時(shí)，都伴隨著相應(yīng)的研究思路、路徑和方法。對(duì)新知的學(xué)習(xí)，學(xué)生可以借助已學(xué)或常見(jiàn)的數(shù)學(xué)思想和方法來(lái)解決問(wèn)題。這樣做有助于學(xué)生以數(shù)學(xué)的視角觀(guān)察、思考和分析問(wèn)題，并能夠發(fā)現(xiàn)并提出問(wèn)題，然后用適當(dāng)?shù)姆椒右越鉀Q。

研究四邊形的內(nèi)容和方法可以類(lèi)比研究三角形的內(nèi)容和方法。例如，可以通過(guò)類(lèi)比三角形的概念來(lái)研究多邊形的概念；利用數(shù)量關(guān)系來(lái)描述位置關(guān)系；采用特殊到一般、簡(jiǎn)單到復(fù)雜等方法來(lái)探究多邊形的內(nèi)角和。這樣的做法貫穿了平面幾何研究的一般思路，有助于教導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)如何思考。

（三）收放有度

根據(jù)新課程標(biāo)準(zhǔn)的要求，教學(xué)方式需要選擇能夠激發(fā)學(xué)生思考的。在學(xué)習(xí)過(guò)程中，學(xué)生應(yīng)該有充足的時(shí)間和空間去思考，去發(fā)現(xiàn)、探究、討論和完成任務(wù)。教師可以設(shè)置一些具有挑戰(zhàn)性的探究活動(dòng)，讓學(xué)生展現(xiàn)他們的思維，激發(fā)他們的創(chuàng)新潛能，以便高效地完成學(xué)習(xí)任務(wù)。

在本課中，教師首先通過(guò)回顧三角形的概念，然后引導(dǎo)學(xué)生類(lèi)比三角形的概念，嘗試總結(jié)出四邊形、五邊形等多邊形的共性，并用規(guī)范的語(yǔ)言描述多邊形。在探究多邊形內(nèi)角和時(shí)，先探討了正方形、四邊形、五邊形等多邊形的內(nèi)角和，然后總結(jié)出一般性的規(guī)律。這兩個(gè)活動(dòng)設(shè)置有層次、有遞進(jìn)，鼓勵(lì)思考和合作，使得不同層次的學(xué)生都能夠參與課堂活動(dòng)，并體驗(yàn)到成功的喜悅。

（四）精細(xì)課后

課后作業(yè)是課堂學(xué)習(xí)的延伸，教師要根據(jù)“雙減”的要求和培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的角度來(lái)設(shè)計(jì)。作業(yè)應(yīng)該體現(xiàn)核心素養(yǎng)，注重學(xué)習(xí)知識(shí)和技能的同時(shí)，也要注重作業(yè)的開(kāi)放性。較高的開(kāi)放性程度可以激發(fā)學(xué)生的探索精神。因此，作業(yè)的設(shè)置需要考慮目標(biāo)和內(nèi)容的一致性，并且要合理精細(xì)。

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