陳敏 吳寶瑩

【摘要】

境脈深度學(xué)習(xí)在學(xué)習(xí)狀態(tài)、學(xué)習(xí)過(guò)程與學(xué)習(xí)結(jié)果上呈現(xiàn)出“深層動(dòng)機(jī)—全神貫注、切身體驗(yàn)—高階思維、身份建構(gòu)—實(shí)踐創(chuàng)新”的“三維特質(zhì)”.在綜合分析這些特質(zhì)的基礎(chǔ)上，給出了境脈深度學(xué)習(xí)的基本范式——問(wèn)題解決式學(xué)習(xí)，在問(wèn)題解決式學(xué)習(xí)的兩個(gè)“出口”（課題研究式與項(xiàng)目創(chuàng)作式）中，高中數(shù)學(xué)境脈深度學(xué)習(xí)在實(shí)際操作層面上，更多采取課題研究式學(xué)習(xí)，而專題又是課題研究式學(xué)習(xí)很好的形式.以“多元變量最值問(wèn)題”為例，具體說(shuō)明基于境脈深度學(xué)習(xí)的專題教學(xué)操作路徑，并給出了專題教學(xué)應(yīng)注意的問(wèn)題.

【關(guān)鍵詞】境脈深度學(xué)習(xí)；問(wèn)題解決式；專題教學(xué)

1關(guān)于境脈深度學(xué)習(xí)的認(rèn)識(shí)

境即情境，脈即脈絡(luò).境脈深度學(xué)習(xí)一般是指學(xué)習(xí)者在有邏輯主線、連續(xù)性的脈絡(luò)化情境下，基于問(wèn)題和任務(wù)，深層動(dòng)機(jī)積極主動(dòng)，全神貫注地展開切身體驗(yàn)與高階思維，升級(jí)完善自我認(rèn)知結(jié)構(gòu)，建立關(guān)系、發(fā)生意義的一種學(xué)習(xí)樣態(tài).深度學(xué)習(xí)“深”就“深”在深入知識(shí)內(nèi)核、觸及事物本質(zhì)與學(xué)生心靈，發(fā)生高階思維，并能夠在復(fù)雜的真實(shí)情境下遷移、應(yīng)用與創(chuàng)新，是問(wèn)題解決式學(xué)習(xí).

1.1境脈深度學(xué)習(xí)的“三維特質(zhì)”

學(xué)習(xí)狀態(tài)維度：境脈深度學(xué)習(xí)的學(xué)習(xí)狀態(tài)是具有深層動(dòng)機(jī)的、全神貫注的.這種動(dòng)機(jī)是深層的、內(nèi)在的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)，而不是淺層、外在的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)，是高投入、沉浸式的學(xué)習(xí)狀態(tài)，學(xué)習(xí)者表現(xiàn)為積極思維、主動(dòng)對(duì)話.

過(guò)程質(zhì)量維度：境脈深度學(xué)習(xí)在過(guò)程質(zhì)量上經(jīng)歷切身體驗(yàn)和高階思維兩個(gè)邏輯層次.切身體驗(yàn)指向于學(xué)習(xí)者的感受與觀察、實(shí)踐與操作、感悟與體會(huì)；高階思維指向于學(xué)習(xí)者更為深刻的理解與批判、更為辯證的反思與評(píng)價(jià)、更為靈活的生成與創(chuàng)造.

學(xué)習(xí)結(jié)果維度：境脈深度學(xué)習(xí)在結(jié)果上則表現(xiàn)為身份建構(gòu)與實(shí)踐創(chuàng)新.基于對(duì)事物本質(zhì)意義的理解，學(xué)習(xí)者以高階思維的發(fā)展和實(shí)際問(wèn)題的解決為目標(biāo)，整合重組知識(shí)，積極主動(dòng)地、批判性地學(xué)習(xí)新的知識(shí)、思想觀點(diǎn)與方法，將它們?nèi)谌朐械恼J(rèn)知結(jié)構(gòu)中，建構(gòu)關(guān)系、發(fā)生意義，并能遷移到新的復(fù)雜的真實(shí)情境中實(shí)踐創(chuàng)新，完成真任務(wù)，解決真問(wèn)題.

綜上，境脈深度學(xué)習(xí)在學(xué)習(xí)狀態(tài)、過(guò)程質(zhì)量與學(xué)習(xí)結(jié)果上呈現(xiàn)出“深層動(dòng)機(jī)—全神貫注、切身體驗(yàn)—高階思維、身份建構(gòu)—實(shí)踐創(chuàng)新”的“三維特質(zhì)”.對(duì)于境脈深度學(xué)習(xí)，要用可測(cè)量、可觀察的學(xué)生主體外顯行為動(dòng)詞來(lái)描述其發(fā)展變化，要基于證據(jù)進(jìn)行全程檢測(cè)與評(píng)價(jià)，在學(xué)習(xí)狀態(tài)、過(guò)程質(zhì)量與學(xué)習(xí)結(jié)果各環(huán)節(jié)都要追問(wèn)“三維特質(zhì)出現(xiàn)了嗎？境脈深度學(xué)習(xí)發(fā)生了嗎？何以知道境脈深度學(xué)習(xí)發(fā)生了？”（如圖1）.

1.2境脈深度學(xué)習(xí)的基本范式

對(duì)以上境脈深度學(xué)習(xí)在學(xué)習(xí)狀態(tài)、過(guò)程質(zhì)量與學(xué)習(xí)結(jié)果呈現(xiàn)出的“三維特質(zhì)”分析，不難發(fā)現(xiàn)，境脈深度學(xué)習(xí)的最終指向于遷移應(yīng)用與問(wèn)題解決.境脈深度學(xué)習(xí)是基于問(wèn)題和任務(wù)的，問(wèn)題解決是境脈深度學(xué)習(xí)的出發(fā)點(diǎn)與歸宿，所以問(wèn)題解決式學(xué)習(xí)是境脈深度學(xué)習(xí)的基本范式.簡(jiǎn)單地講，問(wèn)題解決式學(xué)習(xí)的實(shí)質(zhì)是學(xué)生在問(wèn)題解決中學(xué)習(xí)，即在問(wèn)題解決的過(guò)程中學(xué)會(huì)高階思維、學(xué)會(huì)聯(lián)系建構(gòu)、學(xué)會(huì)創(chuàng)新應(yīng)用.

1.3境脈深度學(xué)習(xí)的操作“出口”

指向境脈深度學(xué)習(xí)的問(wèn)題解決式學(xué)習(xí)在操作層面上一般有兩個(gè)“出口”：課題研究式與項(xiàng)目創(chuàng)作式.課題研究式學(xué)習(xí)強(qiáng)調(diào)讓學(xué)生去探究和發(fā)現(xiàn)，學(xué)生搞明白一件事情；項(xiàng)目創(chuàng)作式學(xué)習(xí)強(qiáng)調(diào)讓學(xué)生去實(shí)踐和創(chuàng)作，學(xué)生做成一件事情，包括項(xiàng)目化學(xué)習(xí)、學(xué)科實(shí)踐、綜合學(xué)習(xí)等.鑒于高中數(shù)學(xué)邏輯思維的學(xué)科特點(diǎn)和數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)際情況，在高中數(shù)學(xué)境脈深度學(xué)習(xí)的兩個(gè)“出口”中，往往選擇課題研究式學(xué)習(xí).這里的課題，不同于科研單位立項(xiàng)研究的大課題，而是有研究?jī)r(jià)值的具體數(shù)學(xué)問(wèn)題，如嵌套函數(shù)問(wèn)題、數(shù)列的子數(shù)列問(wèn)題、解析幾何中定點(diǎn)定值問(wèn)題、多元變量代數(shù)式最值問(wèn)題等.

2課題研究式學(xué)習(xí)——專題

既然問(wèn)題解決式學(xué)習(xí)是境脈深度學(xué)習(xí)的基本范式，而課題研究式學(xué)習(xí)又是高中數(shù)學(xué)問(wèn)題解決式學(xué)習(xí)的主要操作“出口”，因此，設(shè)計(jì)或選擇具有研究?jī)r(jià)值的數(shù)學(xué)問(wèn)題至關(guān)重要，在高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中，則表現(xiàn)為基于學(xué)情與考點(diǎn)、根據(jù)教學(xué)的實(shí)際情況適時(shí)設(shè)計(jì)一些切口小、針對(duì)性強(qiáng)的專題問(wèn)題，力求解決復(fù)習(xí)課中的真問(wèn)題，專題教學(xué)的特點(diǎn)就是精準(zhǔn)、實(shí)在、見(jiàn)效快.

選擇怎樣的主題，以怎樣的角度切入，專題復(fù)習(xí)如何實(shí)施，這是專題實(shí)施前教師必須深入思考的問(wèn)題，也是決定境脈深度學(xué)習(xí)是否真正發(fā)生和復(fù)習(xí)效益的關(guān)鍵所在（如圖2）.

2.1專題確定要注意的問(wèn)題

2.1.1要能激發(fā)起學(xué)生主動(dòng)復(fù)習(xí)的深層動(dòng)機(jī)

熟悉的文本、程序化的復(fù)習(xí)套路、題?！瓕W(xué)生在復(fù)習(xí)課中痛苦地掙扎！復(fù)習(xí)課對(duì)于教師最大的挑戰(zhàn)就是如何上出新意，把學(xué)生的復(fù)習(xí)興趣調(diào)動(dòng)起來(lái)，讓學(xué)生真正成為復(fù)習(xí)的主人.“窮則變，變則通”.復(fù)習(xí)課一定要善“變”！有時(shí)，換個(gè)角度，變個(gè)形式，效果就完全不一樣.總之，要設(shè)計(jì)和選擇出能夠有效觸及學(xué)生心靈深處和觸發(fā)興趣、情感的情境與問(wèn)題.

2.1.2要能瞄準(zhǔn)學(xué)生復(fù)習(xí)的“病灶”

專題的設(shè)置就是為了幫助和引導(dǎo)學(xué)生專門解決某個(gè)具體的問(wèn)題，因此在選題時(shí)忌大而統(tǒng)之、虛而不實(shí)，要做到“實(shí)、時(shí)、精、準(zhǔn)”，要能瞄準(zhǔn)學(xué)生復(fù)習(xí)的“病灶”.

2.1.3要能提升學(xué)生問(wèn)題解決的綜合能力

設(shè)置專題的最終目的是提升學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)方法解決問(wèn)題的綜合能力，專題主題的確定不拘形式，可以是知識(shí)點(diǎn)專題，可以是思想方法專題，也可以是題型專題，還可以是作業(yè)中的易錯(cuò)題專題、學(xué)生非智力因素問(wèn)題專題等，但是無(wú)論采取哪種形式，都要注意綜合和整合，設(shè)計(jì)出能夠統(tǒng)攝學(xué)習(xí)目標(biāo)、學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)、學(xué)習(xí)內(nèi)容和學(xué)習(xí)過(guò)程的問(wèn)題，設(shè)計(jì)出具有探究空間與價(jià)值、指向?qū)W生問(wèn)題解決綜合能力提升的問(wèn)題.

2.2專題實(shí)施要注意的問(wèn)題

2.2.1要注意發(fā)揮學(xué)生在復(fù)習(xí)中的主體性

復(fù)習(xí)課中，教師起到示范和指引作用，最重要的是通過(guò)教師的引導(dǎo)，吸引學(xué)生積極參與課堂，從而有效地學(xué)，教師切不可“一言堂”.有了專題，課堂就有了一條明顯的邏輯主線，讓學(xué)生展開思維，立體構(gòu)建.課堂上可以先讓部分學(xué)生交流展示自己的研究情況，然后師生共同進(jìn)行相關(guān)知識(shí)的比較、辨析與歸納.這里指向境脈深度學(xué)習(xí)的學(xué)習(xí)狀態(tài)：深層動(dòng)機(jī)、全神貫注，境脈深度學(xué)習(xí)是觸及學(xué)生心靈深處的學(xué)習(xí)，提倡“以學(xué)習(xí)者為中心”，在民主和諧的氛圍中，學(xué)生主動(dòng)參與、積極思考、民主對(duì)話.

2.2.2要注意知識(shí)和能力形成的結(jié)構(gòu)整體性

設(shè)計(jì)專題的目的是力求找到一條主線串起零散的知識(shí)，因此要注重知識(shí)內(nèi)在的邏輯關(guān)聯(lián)，加強(qiáng)知識(shí)系統(tǒng)內(nèi)部要素之間相互聯(lián)系，這樣才有助于學(xué)習(xí)技能的“遷移”，可以舉一反三、觸類旁通，一定要慎防復(fù)習(xí)的“碎片化”.在專題的實(shí)施過(guò)程中，學(xué)生基于深度理解，以高階思維的發(fā)展和實(shí)際問(wèn)題的解決為目標(biāo)，積極主動(dòng)地、批判性地學(xué)習(xí)新的知識(shí)和思想方法，并將它們?nèi)谌朐械恼J(rèn)知結(jié)構(gòu)中自我建構(gòu)，使得知識(shí)和能力形成整體結(jié)構(gòu)，且能將已有的知識(shí)遷移到新的情境中進(jìn)行實(shí)踐創(chuàng)新.

2.2.3要注意復(fù)習(xí)中知識(shí)的再生性

課堂教學(xué)是教師和學(xué)生共同的生命歷程，是不可重復(fù)的激情與智慧的綜合生成過(guò)程，是預(yù)設(shè)與生成的有機(jī)融合.預(yù)設(shè)是為了更好的生成，復(fù)習(xí)課也當(dāng)如此.同一個(gè)知識(shí)點(diǎn)，同一個(gè)專題，由于每個(gè)學(xué)生都有自己獨(dú)特的思維方式，對(duì)問(wèn)題的分析角度不盡相同，對(duì)問(wèn)題會(huì)有新的看法.在專題教學(xué)中，一方面教師要充分考慮到結(jié)論的豐富性、過(guò)程的開放性和思維的發(fā)散性，關(guān)注課堂生成，敏感于再生性知識(shí)與方法.另一方面，教師也要敏銳準(zhǔn)確地判斷課堂生成的價(jià)值，采取恰當(dāng)?shù)奶幚矸绞椒椒?，兼顧預(yù)設(shè)與生成，以求課堂教學(xué)效益的最優(yōu)化和學(xué)生學(xué)習(xí)發(fā)展的最大化.

3基于境脈深度學(xué)習(xí)的“多元變量最值問(wèn)題”專題教學(xué)

針對(duì)境脈深度學(xué)習(xí)在學(xué)習(xí)狀態(tài)、過(guò)程質(zhì)量與學(xué)習(xí)結(jié)果上呈現(xiàn)出“深層動(dòng)機(jī)—全神貫注、切身體驗(yàn)—高階思維、身份建構(gòu)—實(shí)踐創(chuàng)新”的“三維特質(zhì)”，設(shè)計(jì)以下基于境脈深度學(xué)習(xí)的“多元變量最值問(wèn)題”專題教學(xué).

教學(xué)目標(biāo)與前置評(píng)價(jià)：

學(xué)生深層學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)活躍，能全神貫注地積極主動(dòng)研究；理解多元變量最值問(wèn)題的本質(zhì)，領(lǐng)會(huì)減元的基本思想，能用基本不等式法、換元法、判別式法等基本方法解決常見(jiàn)多元變量最值問(wèn)題；在問(wèn)題解決的過(guò)程中，學(xué)生切身感受，發(fā)展高階思維，能進(jìn)行聯(lián)系建構(gòu)、遷移應(yīng)用與實(shí)踐創(chuàng)新，特別是能在新情境下解決新問(wèn)題，使得境脈深度學(xué)習(xí)真正發(fā)生.

3.1情境引入

引例某公司一年購(gòu)買某種貨物600噸，每次購(gòu)買x噸，運(yùn)費(fèi)為6萬(wàn)元/次，一年的總存儲(chǔ)費(fèi)用為4x萬(wàn)元，要使一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲(chǔ)費(fèi)之和最小，則x的值是．

學(xué)生分析：這是一道物流費(fèi)用的實(shí)際問(wèn)題，首先要明確一年的購(gòu)買次數(shù)是600x，于是總

運(yùn)費(fèi)為600x×6萬(wàn)元，再建立總費(fèi)用目標(biāo)函數(shù)．

學(xué)生解決：總費(fèi)用為y=4x+600x×6=4（x+900x）≥4×2900=240，當(dāng)且僅當(dāng)x=900x，即x=30時(shí)等號(hào)成立．

學(xué)生感悟：數(shù)學(xué)并不神秘遙遠(yuǎn)，它就在我們身邊，數(shù)學(xué)可以解決很多現(xiàn)實(shí)問(wèn)題，我們要善于“用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，用數(shù)學(xué)的思維分析世界，用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)世界.”

設(shè)計(jì)意圖：基于真實(shí)情境，用實(shí)際問(wèn)題引入，激活學(xué)生學(xué)習(xí)深層動(dòng)機(jī)，觸及學(xué)生心靈深處，直抵問(wèn)題本質(zhì)，使學(xué)生掌握用基本不等式這求最值問(wèn)題的最基本方法．

3.2無(wú)約束條件的二元變量最值問(wèn)題

例1（2020揚(yáng)州調(diào)研）已知x＞0，y＞0，則x+yx+16xy的最小值為．

學(xué)生分析：所求變形為x+yx+16xy=x+1x（y+16y），由于x，y彼此無(wú)關(guān)聯(lián)，兩次使用基本不等式即可.

學(xué)生解決：所求變形為x+yx+16xy=x+1x（y+16y）因?yàn)閥＞0，所以y+16y≥2y·16y=8，當(dāng)且僅當(dāng)y=4時(shí)，等號(hào)成立.因?yàn)閤＞0，y+16y≥8，所以x+yx+16xy≥x+8x≥2x·8x=42，當(dāng)且僅當(dāng)x=22時(shí)等號(hào)成立.

所以x+yx+16xy的最小值為42，當(dāng)且僅當(dāng)x=22，y=4時(shí)取到．

學(xué)生感悟：因?yàn)槟繕?biāo)式中變量間彼此獨(dú)立，相互間沒(méi)有制約條件，依據(jù)減元的核心思想，使兩個(gè)無(wú)關(guān)變量彼此分離，把同一變量相對(duì)集中在一起，這時(shí)候從局部看，二元變量的最值問(wèn)題就化歸為一元變量問(wèn)題，兩次使用基本不等式，各個(gè)擊破．

設(shè)計(jì)意圖：切身體驗(yàn)，體會(huì)減元的核心思想的本質(zhì).

變式拓展

已知a＞b＞0，求a2+64b（a-b）的最小值．

解析因?yàn)閎（a-b）≤b+（a-b）22=a24，當(dāng)且僅當(dāng)a=2b時(shí)，等號(hào)成立，

所以a2+64b（a-b）≥a2+64a24≥2a2·4×64a2=32，當(dāng)且僅當(dāng)a=4時(shí)，等號(hào)成立.

所以a2+64b（a-b）的最小值為32，當(dāng)且僅當(dāng)a=4，b=2時(shí)取到．

3.3有約束條件的二元變量最值問(wèn)題

例2設(shè)實(shí)數(shù)x，y滿足x24-y2=1，求3x2-2xy的最小值.

學(xué)生分析1：利用“1”的代換，轉(zhuǎn)化為關(guān)于x，y的齊次式，二元減為一元，再換元，最后用基本不等式解決.

學(xué)生解決1：因?yàn)閤24-y2=1，所以3x2-2xy=3x2-2xyx24-y2=12x2-8xyx2-4y2=12-8yx1-4yx2.

令yx=t，t∈（-12，12），3x2-2xy=12-8t1-4t2=4（2t-3）4t2-1，再令2t-3=m，m∈（-4，-2），t=m+32，于是3x2-2xy=4mm2+6m+8=4m+8m+6≥46-42=6+42，當(dāng)且僅當(dāng)m=-22，y=3-222x時(shí)取等號(hào).所以 3x2-2xy的最小值為6+42.

學(xué)生分析2：利用三角換元，原來(lái)的二元x，y減為一元θ，再換元，最后還是用基本不等式解決.

學(xué)生解決2：因?yàn)閤24-y2=1，所以令x=2secθ，y=tanθ，3x2-2xy=12-8t1-4t2=4（3-sinθ）1-sin2θ，再令3-sinθ=t，下同解法1.

學(xué)生分析3：把條件因式分解，把兩個(gè)因式分別換為新的二元，并得到新二元滿足的關(guān)系式，解出x，y帶入目標(biāo)代數(shù)式，最終轉(zhuǎn)化為新二元變量的最值問(wèn)題.

學(xué)生解決3：因?yàn)閤24-y2=1，所以（x2+y）（x2-y）=1，令x2+y=a，x2-y=b， 則x=a+b，y=a-b2，ab=1， 于是3x2-2xy=2a2+4b2+6≥6+42.當(dāng)且僅當(dāng)a2=2，b2=22時(shí)，等號(hào)成立．

學(xué)生分析4：把條件因式分解，換元后利用方程思想，解出x，y帶入目標(biāo)代數(shù)式，使得原來(lái)二元變量的最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為新一元變量的最值問(wèn)題.

學(xué)生解決4：因?yàn)閤24-y2=1，所以（x2+y）（x2-y）=1，令x2+y=t，則x2-y=1t，

從而x=t+1t，y=12（t-1t），則3x2-2xy=6+2t2+4t2≥6+42，當(dāng)且僅當(dāng)t2=2時(shí)，等號(hào)成立．

學(xué)生感悟：減元是核心思想，換元是變通方法，換元可以是換成新的一元，也可以是換成新的二元.思路一經(jīng)過(guò)兩次換元，雖然過(guò)程相對(duì)有些繁瑣，但是思維發(fā)展自然順暢，是基本的思想方法，屬于通性通法；思路二洞察條件的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，利用三角換元，與思路一沒(méi)有本質(zhì)的區(qū)別；思路三與思路四都是把條件因式分解，利用解方程的思想，唯一的區(qū)別在于思路三是把原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為新的二元問(wèn)題，思路四是把原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為新的一元問(wèn)題，相對(duì)來(lái)說(shuō)思路四更簡(jiǎn)潔一些.

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生經(jīng)歷自己?jiǎn)栴}解決的過(guò)程，比較總結(jié)思想方法，內(nèi)化為自我的認(rèn)識(shí)與能力，發(fā)展其高階思維.

變式拓展

設(shè)實(shí)數(shù)x，y滿足4x2+y2+xy=1，求2x+y的最大值.

解析令2x+y=t，則y=t-2x，帶入4x2+y2+xy=1并整理成關(guān)于x的一元二次方程6x2-3tx+t2-1=0，由于方程有實(shí)數(shù)解，所以判別式Δ≥0，即-2105≤t≤2105，則2x+y的最大值為2105.

當(dāng)然本題也可以把目標(biāo)代數(shù)式平方，利用“1”的代換，構(gòu)造成關(guān)于x，y的齊次式，再換元解決，或者尋找目標(biāo)代數(shù)式的平方與條件的等量關(guān)系，利用基本不等式解決.

3.4二元有約束條件的三元變量最值問(wèn)題

例3已知a＞0，b＞0，c＞2，且a+b=2，那么acb+cab-c2+5c-2的最小值為．

學(xué)生分析：a，b間有制約條件a+b=2， c為獨(dú)立變量，故將所求變形為acb+cab-c2+5c-2=cab+1ab-12+5c-2，先求出ab+1ab的最小值即可.

學(xué)生解決：acb+cab-c2+5c-2=cab+1ab-12+5c-2，因?yàn)閍＞0，b＞0，且a+b=2，所以ab+1ab-12=ab+（a+b）24ab-12=ab+a2+2ab+b24ab-12=5a4b+b4a≥52，當(dāng)且僅當(dāng)b=5a時(shí)等號(hào)成立．

又因?yàn)閏＞2，可得acb+cab-c2+5c-2=cab+1ab-12+5c-2≥52c+5c-2.

又因?yàn)?2c+5c-2=52（c-2）+5c-2+5≥10+5，當(dāng)且僅當(dāng)c=2+2時(shí)等號(hào)成立，

所以acb+cab-c2+5c-2的最小值為10+5.

學(xué)生感悟：本題中有三個(gè)變量，其中兩個(gè)變量間有約束條件，提取公因式后，先求出兩個(gè)變量代數(shù)式的最值，然后使用不等式的性質(zhì)放縮，再使用一次基本不等式.總之，變化的量越多越難解決，孤立變量是一個(gè)不錯(cuò)的主意，如acb+cab-c2+5c-2=cab+1ab-12+5c-2，先不考慮變量c，只要研究有約束條件的二元變量代數(shù)式ab+1ab的最小值，使變量相對(duì)集中.

設(shè)計(jì)意圖：三元變量最值問(wèn)題較二元變量問(wèn)題有一定的難度，設(shè)計(jì)三元變量中只有二元有約束條件的問(wèn)題，為學(xué)生搭設(shè)思維的“腳手架”，考查學(xué)生數(shù)學(xué)思維的靈活性與應(yīng)變性.

3.5三元彼此有約束條件的三元變量最值問(wèn)題

例4已知a＞0，b＞0，c＞0，a2+ab+bc+ca=4，求2a+b+c的最小值.

學(xué)生分析1：把條件因式分解，a2+ab+bc+ca=a+ba+c=4，b，c是可輪換式，可以把c用a、b表示，代入目標(biāo)式中，達(dá)到三元減為二元的目的.

學(xué)生解決1：因?yàn)閍2+ab+bc+ca=a+ba+c=4，所以c=4a+b-a，于是2a+b+c=4a+b+a+b≥4，當(dāng)且僅當(dāng)a+b=2，b=c時(shí)取到等號(hào).所以2a+b+c的最小值為4.

學(xué)生分析2：注意到a2+ab+bc+ca=（a+b）（a+c）=4，（a+b）（a+c）=4，即a+b與a+c的積為定值，所以可以把目標(biāo)2a+b+c用a+b與a+c線性表示，再用基本不等式.

學(xué)生解決2：因?yàn)閍2+ab+bc+ca=a+ba+c=4，所以2a+b+c=a+b+a+c≥2a+ba+c=4

學(xué)生感悟：思路一注意到b，c是可輪換式，可以把c用a，b表示，代入消元，思路自然.而思路二發(fā)現(xiàn)a+b與a+c的積為定值，目標(biāo)2a+b+c用a+b與a+c線性表示可謂妙哉！這是因?yàn)?a+b+c與a+b，a+c的關(guān)系比較簡(jiǎn)單，可以直接線性表示，如果關(guān)系比較復(fù)雜呢？如2a+3b+4c，這時(shí)可以嘗試待定系數(shù)法，令2a+3b+4c=ma+b+na+c=m+na+mb+nc，則m+n=2，m=3，n=4，顯然矛盾！這樣看來(lái)，目標(biāo)式還不是隨便改編的，a，b，c的系數(shù)有一定的制約關(guān)系規(guī)律，即a的系數(shù)是b，c的系數(shù)和，如上面的不成功的改編可以調(diào)整為7a+3b+4c=3a+b+4a+c.

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生經(jīng)歷“嘗試改編—遭遇失敗—分析原因—理性調(diào)整—總結(jié)規(guī)律”的過(guò)程，通過(guò)具體問(wèn)題的解決，由特殊到一般，舉一反三，觸類旁通，主動(dòng)建構(gòu)，認(rèn)知結(jié)構(gòu)逐步完善，這正是我們解題教學(xué)所追求的.

變式拓展

設(shè)a，b，c是三個(gè)正實(shí)數(shù)，且a（a+b+c）=bc，則ab+c的最大值為．

解析由a（a+b+c）=bc，兩邊同除以a2得1+ba+ca=ba·ca，設(shè)x=ba，y=ca，則x+y+1=xy，

ab+c=1x+y，因?yàn)閤+y+1=xy≤x+y22，所以x+y≥2+22，所以ab+c的最大值為2-12．

3.6新情境下的新問(wèn)題

例5已知A，B，C為平面上任意不同的三點(diǎn)，設(shè)BC=a，CA=b，AB=c，則ca+b+bc的最小值為.

學(xué)生分析：分析ca+b+bc的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，由于bc相對(duì)獨(dú)立，所以把ca+b的分子分母同除以c，出現(xiàn)bc，ac，再利用a≤b+c，ac≤bc+1放縮.

學(xué)生解決：因?yàn)閍≤b+c，ac≤bc+1，所以ca+b+bc=1ac+bc+bc≥12bc+1+bc=12bc+12+bc+12-12≥212-12=2-12.所以ca+b+bc的最小值為2-12.

學(xué)生感悟：實(shí)際上這是三元彼此有約束條件的三元變量最值問(wèn)題，只不過(guò)這里的約束條件是隱含的潛在條件a≤b+c，核心思想還是減元，由三元a，b，c減為兩元ac，bc，進(jìn)而再減為一元bc，最后還是利用剛開始引例中最基本的求最值的方法——基本不等式法.

設(shè)計(jì)意圖：在新情境下解決新問(wèn)題是境脈深度學(xué)習(xí)的最高層次與最終結(jié)果呈現(xiàn)，是核心素養(yǎng)發(fā)展的重要標(biāo)志.這一題就是熟悉的代數(shù)問(wèn)題遷移到了平面幾何的新情境下，同時(shí)還考查了學(xué)生挖掘隱含條件的能力.所以能在新情境下解決新問(wèn)題是“境脈深度學(xué)習(xí)發(fā)生了嗎？”的主要評(píng)價(jià)指標(biāo).

變式拓展

如圖3，在△ABC中，已知AB=10，點(diǎn)E，F(xiàn)在AB邊上，且AE=BF=1，CE+CF=10，則tan2A+4tan2B的最小值為．

解析以EF所在直線為x軸，EF的中垂線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系xOy，則E（-4， 0），F(xiàn)（4， 0），A（-5， 0），B（5， 0），因?yàn)镃E+CF=10＞EF=8，所以點(diǎn)C的軌跡是以E，F(xiàn)為焦點(diǎn)，AB為長(zhǎng)軸的橢圓，其方程為x225+y9=1，易證tanA·tanB=925，則tan2A+4tan2B≥2tanA×2tanB=3625（當(dāng)且僅當(dāng)tan2A=4tan2B時(shí)取“=”）．

4結(jié)束語(yǔ)

境脈深度學(xué)習(xí)在學(xué)習(xí)狀態(tài)、過(guò)程質(zhì)量與學(xué)習(xí)結(jié)果上呈現(xiàn)出“深層動(dòng)機(jī)—全神貫注、切身體驗(yàn)—高階思維、身份建構(gòu)—實(shí)踐創(chuàng)新”的“三維特質(zhì)”.在綜合分析這些特質(zhì)的基礎(chǔ)上，我們提出問(wèn)題解決式學(xué)習(xí)是境脈深度學(xué)習(xí)的基本范式，高中數(shù)學(xué)的境脈深度學(xué)習(xí)在實(shí)際操作層面上更多采取課題研究式學(xué)習(xí)，而專題又是課題研究式學(xué)習(xí)很好的形式.事實(shí)上，這些對(duì)境脈深度學(xué)習(xí)逐步深入的認(rèn)識(shí)過(guò)程本身就是境脈深度學(xué)習(xí).我們要基于境脈深度學(xué)習(xí)的特質(zhì)，精心設(shè)計(jì)專題，在教學(xué)中關(guān)注學(xué)生的深層動(dòng)機(jī)，使學(xué)生在問(wèn)題解決中發(fā)展高階思維，促成聯(lián)系建構(gòu)、遷移應(yīng)用與實(shí)踐創(chuàng)新，最終提高學(xué)生在復(fù)雜真實(shí)情境下解決新問(wèn)題的能力，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

參考文獻(xiàn)

科拉·巴格利·馬雷特等.人是如何學(xué)習(xí)的Ⅱ：學(xué)習(xí)者、境脈與文化.裴新寧，王美，鄭太年，譯.上海：華東師范大學(xué)出版社，2021：3.

李松林，賀慧，張燕.深度學(xué)習(xí)究竟是什么樣的學(xué)習(xí).教育科學(xué)研究.2018（10）：54-58.