舒華瑛 張宏江

【摘要】以一道解析幾何問題為例，從“解題思路的探求，解題路徑的探索，問題本質(zhì)的探究”三個方面闡述如何更好地落實數(shù)學學科核心素養(yǎng).給出解析幾何解題教學中提升學生思維能力，發(fā)展學生核心素養(yǎng)的建議.

【關鍵詞】核心素養(yǎng);取勢明道優(yōu)術;數(shù)學解題

1問題提出

高考命題從“知識立意”到“能力立意”再到“素養(yǎng)立意”，對學生提出了新的要求：不僅會解題，而且要知道為什么要這樣解題，更進一步需要反思、總結、歸納解法，以期找到更為科學、簡便的解題路徑.學生從“被動學習”到“主動學習”再到“學會學習”，從而達到終身學習的目標，實現(xiàn)數(shù)學學科核心素養(yǎng)的育人價值.

“取勢、明道、優(yōu)術”是中國古代的哲學思想，就是指“明確方向，把握規(guī)律，辦事有方”．它闡明了做任何事情都應遵循的基本道理，是中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化中的瑰寶，可以成為我們在深化教育領域綜合改革的新形勢下做好數(shù)學教育的指導思想［1］．用于解題中，則是指明確解題方向（取勢）、挖掘明晰本質(zhì)屬性（明道）、優(yōu)化解題方案（優(yōu)術）.這正是學生從“被動學習”到“主動學習”再到“學會學習”，提升學科核心素養(yǎng)的一個基本途徑.

2試題呈現(xiàn)

題目已知雙曲線C：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）過點M（3，1），且焦距為42.

（1）求C的方程；

（2）已知過點P（2，1）的動直線l交C的右支于A，B兩點，Q為線段AB上的一點，且滿足APAQ=BPBQ，證明：點Q總在某定直線上.

本題以雙曲線為載體，以高等幾何中的調(diào)和點列為知識背景，主要通過直線與雙曲線的位置關系，考查數(shù)形結合、函數(shù)與方程、轉化與化歸等思想方法，對學生的邏輯推理、數(shù)學抽象與數(shù)學運算能力都有較高的要求.

3解法探究

3.1取勢——探求解題思路，發(fā)展邏輯推理素養(yǎng)

《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）》提出：通過高中數(shù)學課程的學習，學生能掌握邏輯推理的基本形式，學會有邏輯地思考問題；能夠在比較復雜的情境中把握事物之間的關聯(lián)，把握事物發(fā)展的脈絡；形成重論據(jù)、有條理、合乎邏輯的思維品質(zhì)和理性精神，增強交流能力［2］.

對于第（1）問，可以通過建立參數(shù)a，b的兩個方程，求得雙曲線C的方程；也可以通過參數(shù)a的幾何意義，根據(jù)2a=MF1-MF2，求得雙曲線C的方程為x26-y22=1.

對于第（2）問，要抓住直線與雙曲線的位置關系這一問題本質(zhì)，用坐標運算研究幾何圖形這一基本方法，聯(lián)立直線與雙曲線的方程，將其轉化為二次方程根與系數(shù)的關系.其思維導圖如圖1：

根據(jù)調(diào)和點列與極點極線的關系，以及點P為定點，求得點Q在定直線上.這是此類定點定線問題的高等數(shù)學背景，在數(shù)學競賽中會用到，高考中如果用來解決解答題，需要嚴格的證明.它可以用來驗證解答題的答案，或為其解答提供方向，選擇填空題可以直接運用.這個方法也是教師命制此類問題的依據(jù).

3.3明道——探究問題本質(zhì)，發(fā)展數(shù)學抽象素養(yǎng)

數(shù)學抽象包括：提出數(shù)學命題和模型，形成數(shù)學方法與思想，認識數(shù)學結構與體系.數(shù)學抽象是數(shù)學的基本思想，是形成理性思維的重要基礎，反映了數(shù)學的本質(zhì)特征［2］.

“一題多變”是探究問題本質(zhì)的基本方法.通過“一題多變”，深入挖掘問題的條件、結論、條件與結論的關系，找到問題的本質(zhì)屬性.本題的高等數(shù)學背景是“極點極線”，點P為定點，點Q落在定直線上，該直線就是定點P關于曲線的極線；若條件改為點P落在定直線上，則點Q為定點.抽象出這類問題的基本模型是：已知過點P的直線l交二次曲線C：f（x，y）=0于A，B兩點，點Q（P，Q不重合）在直線AB上.若PAPB=QAQB，且點P為定點，則點Q落在定直線上.反之依然成立.所以此題有如下的改編形式：

4教學建議

4.1重視坐標法在解析幾何中的核心地位

在解析幾何的教學中，通過對解題思路的探求，引導學生熟悉解決解析幾何問題的核心方法——坐標法，梳理解決解析幾何問題的一般路徑（如圖2），提升學生的邏輯推理能力.

4.2重視對研究對象的幾何特征的分析

解析幾何中最重要的數(shù)學思想之一是“數(shù)形結合”.“以數(shù)解形，以形助數(shù)”是數(shù)形結合思想的具體體現(xiàn).因為解析幾何的研究對象是幾何圖形，把握研究對象的幾何特征，是優(yōu)化解題方法，發(fā)展數(shù)學運算素養(yǎng)的重要途徑.所以，教學中要注意“先用幾何眼光觀察，再用坐標法推理、論證和求解”的基本思路，不要忽視“幾何要素分析”這一環(huán).

4.3重視對研究對象的本質(zhì)與解決問題的程序思想方法的探究

《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）》指出：教師應該理解與高中數(shù)學關系密切的高等數(shù)學的內(nèi)容，能夠從更高的觀點理解高中數(shù)學知識的本質(zhì)［2］.教師在高觀點視角下引導學生通過具體實例抽象出問題的一般結構，對問題的本質(zhì)進行探究，加深學生對問題的理解，培養(yǎng)學生融會貫通的能力.教師引導學生對解題過程進行復盤，對解題方法進行反思，形成解決一類問題的程序思想方法.長此以往，學生的抽象素養(yǎng)就會得以發(fā)展.

參考文獻

章建躍，陳向蘭．數(shù)學教育之取勢明道優(yōu)術［J］．數(shù)學通報，2014，53（02）：1-2．

中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學課程標準：2017年版2020年修訂.北京：人民教育出版社，2020.